En geometría , un punto en el infinito o punto ideal es un punto límite idealizado en el "final" de cada línea.
En el caso de un plano afín (incluido el plano euclidiano ), hay un punto ideal para cada línea de líneas paralelas del plano. La unión de estos puntos produce un plano proyectivo , en el que no se puede distinguir ningún punto, si "olvidamos" qué puntos se agregaron. Esto es válido para una geometría sobre cualquier cuerpo y, más generalmente, sobre cualquier anillo de división . [1]
En el caso real, un punto en el infinito completa una línea en una curva topológicamente cerrada. En dimensiones superiores, todos los puntos en el infinito forman un subespacio proyectivo de una dimensión menor que la del espacio proyectivo completo al que pertenecen. También se puede agregar un punto en el infinito a la línea compleja (que puede considerarse como el plano complejo), convirtiéndola así en una superficie cerrada conocida como línea proyectiva compleja, C P 1 , también llamada esfera de Riemann (cuando se asignan números complejos a cada punto).
En el caso de un espacio hiperbólico , cada línea tiene dos puntos ideales distintos . Aquí, el conjunto de puntos ideales toma la forma de una cuádrica .
En un espacio afín o euclidiano de mayor dimensión, los puntos en el infinito son los puntos que se suman al espacio para obtener la completitud proyectiva . [ cita requerida ] El conjunto de los puntos en el infinito se denomina, dependiendo de la dimensión del espacio, línea en el infinito , plano en el infinito o hiperplano en el infinito , en todos los casos un espacio proyectivo de una dimensión menos. [2]
Así como un espacio proyectivo sobre un cuerpo es una variedad algebraica suave , lo mismo sucede con el conjunto de puntos en el infinito. De manera similar, si el cuerpo base es el cuerpo real o el cuerpo complejo, el conjunto de puntos en el infinito es una variedad .
En el dibujo artístico y en la perspectiva técnica, la proyección sobre el plano del cuadro del punto en el infinito de una clase de líneas paralelas se denomina su punto de fuga . [3]
En geometría hiperbólica , los puntos en el infinito se denominan típicamente puntos ideales . [4] A diferencia de las geometrías euclidiana y elíptica , cada línea tiene dos puntos en el infinito: dada una línea l y un punto P no en l , los paralelos límite derecho e izquierdo convergen asintóticamente a diferentes puntos en el infinito.
Todos los puntos en el infinito juntos forman el absoluto de Cayley o límite de un plano hiperbólico .
La simetría de puntos y líneas surge en un plano proyectivo: así como un par de puntos determina una línea, un par de líneas determina un punto. La existencia de líneas paralelas lleva a establecer un punto en el infinito que representa la intersección de estas paralelas. Esta simetría axiomática surgió de un estudio de la perspectiva gráfica donde una proyección paralela surge como una proyección central donde el centro C es un punto en el infinito, o punto figurativo . [5] La simetría axiomática de puntos y líneas se llama dualidad .
Aunque un punto en el infinito se considera a la par de cualquier otro punto de un rango proyectivo , en la representación de puntos con coordenadas proyectivas se nota una distinción: los puntos finitos se representan con un 1 en la coordenada final mientras que un punto en el infinito tiene un 0 allí. La necesidad de representar puntos en el infinito requiere que se necesite una coordenada adicional más allá del espacio de puntos finitos.
Esta construcción puede generalizarse a espacios topológicos . Pueden existir diferentes compactificaciones para un espacio dado, pero cualquier espacio topológico admite la extensión de Alexandroff , también llamada compactificación de un punto cuando el espacio original no es en sí mismo compacto . La línea proyectiva (sobre un cuerpo arbitrario) es la extensión de Alexandroff del cuerpo correspondiente. Por lo tanto, el círculo es la compactificación de un punto de la línea real , y la esfera es la compactificación de un punto del plano. Los espacios proyectivos P n para n > 1 no son compactificaciones de un punto de los espacios afines correspondientes por la razón mencionada anteriormente en § Geometría afín, y las completaciones de espacios hiperbólicos con puntos ideales tampoco son compactificaciones de un punto.