En matemáticas , un grupo kleiniano es un subgrupo discreto del grupo de isometrías que preservan la orientación del 3-espacio hiperbólico H 3 . Este último, identificable con PSL(2, C ) , es el grupo cociente de las matrices complejas 2 por 2 de determinante 1 por su centro , que consiste en la matriz identidad y su producto por −1 . PSL(2, C ) tiene una representación natural como transformaciones conformes que preservan la orientación de la esfera de Riemann , y como transformaciones conformes que preservan la orientación de la bola unitaria abierta B 3 en R 3 . El grupo de transformaciones de Möbius también está relacionado como el grupo de isometrías que no preservan la orientación de H 3 , PGL(2, C ) . Por lo tanto, un grupo kleiniano puede considerarse como un subgrupo discreto que actúa sobre uno de estos espacios.
La teoría de los grupos kleinianos generales fue fundada por Felix Klein (1883) y Henri Poincaré (1883), quienes los bautizaron en honor a Felix Klein . El caso especial de los grupos de Schottky había sido estudiado unos años antes, en 1877, por Schottky.
Una definición moderna del grupo kleiniano es la de un grupo que actúa sobre la esfera 3 como un grupo discreto de isometrías hiperbólicas. El espacio hiperbólico 3-espacial tiene un límite natural; en el modelo de esfera, este puede identificarse con la esfera 2-sférica. La llamamos esfera en el infinito y la denotamos por . Una isometría hiperbólica se extiende a un homeomorfismo conforme de la esfera en el infinito (y a la inversa, cada homeomorfismo conforme en la esfera en el infinito se extiende únicamente a una isometría hiperbólica en la bola por extensión de Poincaré. Es un resultado estándar del análisis complejo que los homeomorfismos conformes en la esfera de Riemann son exactamente las transformaciones de Möbius , que además pueden identificarse como elementos del grupo lineal proyectivo PGL(2, C ). Por lo tanto, un grupo kleiniano también puede definirse como un subgrupo Γ de PGL(2, C ). Clásicamente, se requería que un grupo kleiniano actuara de manera discontinua correctamente en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann, pero el uso moderno permite cualquier subgrupo discreto.
Cuando Γ es isomorfo al grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica , entonces el espacio cociente H 3 /Γ se convierte en un modelo kleiniano de la variedad. Muchos autores utilizan los términos modelo kleiniano y grupo kleiniano indistintamente, dejando que uno represente al otro.
La discreción implica que los puntos en el interior del 3-espacio hiperbólico tienen estabilizadores finitos y órbitas discretas bajo el grupo Γ. Por otro lado, la órbita Γ p de un punto p normalmente se acumulará en el límite de la bola cerrada .
El conjunto de puntos de acumulación de Γ p en se denomina conjunto límite de Γ y se denota habitualmente como . El complemento se denomina dominio de discontinuidad o conjunto ordinario o conjunto regular . El teorema de finitud de Ahlfors implica que si el grupo se genera finitamente, entonces es un orbifold de superficie de Riemann de tipo finito.
La bola unitaria B 3 con su estructura conforme es el modelo de Poincaré del espacio tridimensional hiperbólico . Cuando lo pensamos métricamente, con unidades métricas
es un modelo del espacio hiperbólico tridimensional H 3 . El conjunto de autoaplicaciones conformes de B 3 se convierte en el conjunto de isometrías (es decir, aplicaciones que preservan la distancia) de H 3 bajo esta identificación. Dichas aplicaciones se limitan a las autoaplicaciones conformes de , que son transformaciones de Möbius . Existen isomorfismos
Los subgrupos de estos grupos que consisten en transformaciones que preservan la orientación son todos isomorfos al grupo de matrices proyectivas: PSL(2, C ) a través de la identificación habitual de la esfera unitaria con la línea proyectiva compleja P 1 ( C ).
Hay algunas variaciones de la definición de un grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL(2, C ).2 (es decir, de PSL(2, C ) extendido por conjugaciones complejas), en otras palabras, que tengan elementos que inviertan la orientación, y a veces se supone que son finitamente generados , y a veces se requiere que actúen de manera discontinua de manera adecuada en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann.
Un grupo de Bianchi es un grupo kleiniano de la forma PSL(2, O d ), donde es el anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario para un entero positivo libre de cuadrados .
Un grupo kleiniano se denomina elemental si su conjunto límite es finito, en cuyo caso el conjunto límite tiene 0, 1 o 2 puntos. Entre los ejemplos de grupos kleinianos elementales se incluyen los grupos kleinianos finitos (con un conjunto límite vacío) y los grupos kleinianos cíclicos infinitos.
Un grupo kleiniano se denomina reducible si todos sus elementos tienen un punto fijo común en la esfera de Riemann. Los grupos kleinianos reducibles son elementales, pero algunos grupos kleinianos finitos elementales no son reducibles.
Cualquier grupo fuchsiano (un subgrupo discreto de PSL(2, R )) es un grupo kleiniano y, a la inversa, cualquier grupo kleiniano que preserve la línea real (en su acción sobre la esfera de Riemann) es un grupo fuchsiano. De manera más general, todo grupo kleiniano que preserve un círculo o una línea recta en la esfera de Riemann es conjugado a un grupo fuchsiano.
Un grupo kleiniano que conserva una curva de Jordan se denomina grupo cuasi-fucsiano . Cuando la curva de Jordan es un círculo o una línea recta, estos son simplemente conjugados a grupos fucsianos bajo transformaciones conformes. Los grupos cuasi-fucsianos finitamente generados son conjugados a grupos fucsianos bajo transformaciones cuasi-conformes. El conjunto límite está contenido en la curva de Jordan invariante, y si es igual a la curva de Jordan, se dice que el grupo es de la primera clase , y en caso contrario se dice que es de la segunda clase .
Sean C i los círculos límite de una colección finita de discos cerrados disjuntos. El grupo generado por inversión en cada círculo tiene como conjunto límite un conjunto de Cantor y el cociente H 3 / G es un orbifold especular con un espacio subyacente que es una bola. Está doblemente cubierto por un cuerpo de asa ; el subgrupo de índice 2 correspondiente es un grupo kleiniano llamado grupo de Schottky .
Sea T una teselación periódica del espacio tridimensional hiperbólico. El grupo de simetrías de la teselación es un grupo kleiniano.
El grupo fundamental de cualquier 3-variedad hiperbólica orientada es un grupo kleiniano. Hay muchos ejemplos de estos, como el complemento de un nudo en forma de 8 o el espacio de Seifert-Weber . Por el contrario, si un grupo kleiniano no tiene elementos de torsión no triviales, entonces es el grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica.
Un grupo kleiniano se denomina degenerado si no es elemental y su conjunto límite es simplemente conexo. Dichos grupos pueden construirse tomando un límite adecuado de grupos cuasi-fucsianos tales que uno de los dos componentes de los puntos regulares se contraiga hasta el conjunto vacío; estos grupos se denominan simplemente degenerados . Si ambos componentes del conjunto regular se contraen hasta el conjunto vacío, entonces el conjunto límite se convierte en una curva que llena el espacio y el grupo se denomina doblemente degenerado . La existencia de grupos kleinianos degenerados fue demostrada por primera vez indirectamente por Bers (1970), y el primer ejemplo explícito fue encontrado por Jørgensen. Cannon y Thurston (2007) dieron ejemplos de grupos doblemente degenerados y curvas que llenan el espacio asociadas a mapas pseudo-Anosov .
