En geometría , cualquier hiperplano H de un espacio proyectivo P puede tomarse como un hiperplano en el infinito . Entonces el conjunto complemento P ∖ H se llama espacio afín . Por ejemplo, si ( x 1 , ..., x n , x n +1 ) son coordenadas homogéneas para el espacio proyectivo de n dimensiones, entonces la ecuación x n +1 = 0 define un hiperplano en el infinito para el afín de n dimensiones espacio con coordenadas ( x 1 , ..., x n ) . H también se llama hiperplano ideal .
De manera similar, partiendo de un espacio afín A , cada clase de rectas paralelas puede asociarse con un punto en el infinito . La unión de todas las clases de paralelos constituye los puntos del hiperplano en el infinito. Unir los puntos de este hiperplano (llamados puntos ideales ) a A lo convierte en un espacio proyectivo de n dimensiones, como el espacio proyectivo real R P n .
Al agregar estos puntos ideales, todo el espacio afín A se completa en un espacio proyectivo P , que puede denominarse terminación proyectiva de A. Cada subespacio afín S de A se completa hasta un subespacio proyectivo de P sumando a S todos los puntos ideales correspondientes a las direcciones de las líneas contenidas en S. Los subespacios proyectivos resultantes a menudo se denominan subespacios afines del espacio proyectivo P , a diferencia de los subespacios infinitos o ideales , que son los subespacios del hiperplano en el infinito (sin embargo, son espacios proyectivos, no espacios afines).
En el espacio proyectivo, cada subespacio proyectivo de dimensión k cruza el hiperplano ideal en un subespacio proyectivo "en el infinito" cuya dimensión es k − 1 .
Un par de hiperplanos afines no paralelos se cruzan en un subespacio afín de dimensión n − 2 , pero un par paralelo de hiperplanos afines se cruzan en un subespacio proyectivo del hiperplano ideal (la intersección se encuentra en el hiperplano ideal). Así, los hiperplanos paralelos, que no se encontraban en el espacio afín, se cruzan en la terminación proyectiva debido a la adición del hiperplano en el infinito.