En matemáticas , el plano proyectivo complejo , habitualmente denominado P 2 ( C ) o CP 2 , es el espacio proyectivo complejo bidimensional . Es una variedad compleja de dimensión compleja 2, descrita por tres coordenadas complejas.
donde, sin embargo, se identifican los triples que difieren por un reescalamiento general:
Es decir, se trata de coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva .
Los números de Betti del plano proyectivo complejo son
La dimensión media 2 se explica por la clase de homología de la línea proyectiva compleja, o esfera de Riemann , que se encuentra en el plano. Los grupos de homotopía no triviales del plano proyectivo complejo son . El grupo fundamental es trivial y todos los demás grupos de homotopía superiores son los de la 5-esfera, es decir, torsión.
En geometría biracional , una superficie racional compleja es cualquier superficie algebraica biracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo. Se sabe que cualquier variedad racional no singular se obtiene del plano mediante una secuencia de transformaciones de explosión y sus inversas ('explosión hacia abajo') de curvas, que deben ser de un tipo muy particular. Como caso especial, una cuádrica compleja no singular en P 3 se obtiene del plano mediante la explosión de dos puntos a curvas, y luego la explosión hacia abajo de la línea a través de estos dos puntos; la inversa de esta transformación se puede ver tomando un punto P en la cuádrica Q , la explosión y la proyección sobre un plano general en P 3 trazando líneas a través de P .
El grupo de automorfismos biracionales del plano proyectivo complejo es el grupo de Cremona .
Como variedad de Riemann , el plano proyectivo complejo es una variedad de 4 dimensiones cuya curvatura seccional está comprimida en un cuarto, pero no estrictamente. Es decir, alcanza ambos límites y, por lo tanto, evita ser una esfera, como requeriría de otro modo el teorema de la esfera . Las normalizaciones rivales son que la curvatura esté comprimida entre 1/4 y 1; alternativamente, entre 1 y 4. Con respecto a la primera normalización, la superficie incrustada definida por la línea proyectiva compleja tiene una curvatura gaussiana de 1. Con respecto a la segunda normalización, el plano proyectivo real incrustado tiene una curvatura gaussiana de 1.
Una demostración explícita de los tensores de Riemann y Ricci se da en la subsección n = 2 del artículo sobre la métrica del Estudio de Fubini .
