Funcional (matemáticas)

Tipos de aplicaciones en matemáticas

La función de longitud de arco tiene como dominio el espacio vectorial de curvas rectificables (un subespacio de ) y genera un escalar real. Este es un ejemplo de función no lineal. ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}$

La integral de Riemann es una funcional lineal en el espacio vectorial de funciones definidas en [ a , b ] que son integrables mediante Riemann de a a b .

En matemáticas , una función es un tipo determinado de función . La definición exacta del término varía según el subcampo (y a veces incluso según el autor).

• En álgebra lineal , es sinónimo de una forma lineal , que es una aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares (es decir, es un elemento del espacio dual ) ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
• En el análisis funcional y campos relacionados, se refiere a una aplicación de un espacio en el campo de números reales o complejos . ^{[2] [3]} En el análisis funcional, el término funcional lineal es sinónimo de forma lineal ; ^{[3] [4] [5]} es decir, es una aplicación lineal de valor escalar. Dependiendo del autor, se puede suponer o no que dichas aplicaciones son lineales o que están definidas en todo el espacio ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• En informática , es sinónimo de función de orden superior , que es una función que toma una o más funciones como argumentos o las devuelve. ^{[ cita requerida ]}

Este artículo se centra principalmente en el segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, que es más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo aparte, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo de informática sobre funciones de orden superior .

En el caso en que el espacio sea un espacio de funciones, el funcional es una "función de una función", ^[6] y algunos autores antiguos incluso definen el término "funcional" como "función de una función". Sin embargo, el hecho de que sea un espacio de funciones no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición antigua ya no es predominante. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El término tiene su origen en el cálculo de variaciones , en el que se busca una función que minimice (o maximice) una función dada. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral temporal del lagrangiano .

Detalles

Dualidad

La asignación es una función, donde es un argumento de una función. Al mismo tiempo, la asignación de una función al valor de la función en un punto es una funcional ; aquí, es un parámetro . $${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f.}$ $${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$$ ${\displaystyle x_{0}}$

Siempre que sea una función lineal de un espacio vectorial al campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí y, en el análisis funcional, ambos se denominan funcionales lineales . ${\displaystyle f}$

Integral definida

Las integrales como esta forman una clase especial de funciones. Transforman una función en un número real, siempre que éste tenga un valor real. Algunos ejemplos son: $${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$

• el área debajo del gráfico de una función positiva ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}$$
• ${\displaystyle L^{p}}$norma de una función en un conjunto ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}$$
• la longitud del arco de una curva en el espacio euclidiano bidimensional $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}$$

Espacios interiores de productos

Dado un espacio de producto interno y un vector fijo, la función definida por es una función lineal en El conjunto de vectores tal que es cero es un subespacio vectorial de llamado espacio nulo o núcleo de la función, o el complemento ortogonal de denotado ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in X,}$ ${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\vec {y}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}$

Por ejemplo, tomar el producto interno con una función fija define una función (lineal) en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en ${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}$ $${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$$

Localidad

Si el valor de una función se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego sumarlos para encontrar el valor total, la función se denomina local. De lo contrario, se denomina no local. Por ejemplo: es local mientras que es no local. Esto ocurre comúnmente cuando las integrales aparecen por separado en el numerador y el denominador de una ecuación, como en los cálculos del centro de masa. $${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$$

Ecuaciones funcionales

El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación entre funcionales puede leerse como una "ecuación a resolver", siendo las soluciones en sí mismas funciones. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de incógnitas variables, como cuando se dice que una función aditiva es aquella que satisface la ecuación funcional de Cauchy : ${\displaystyle F=G}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.}$$

Derivada e integración

Las derivadas funcionales se utilizan en la mecánica de Lagrange . Son derivadas de funcionales, es decir, contienen información sobre cómo cambia un funcional cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.

Richard Feynman utilizó las integrales funcionales como idea central en su formulación de la mecánica cuántica basada en la historia . Este uso implica una integral que se toma sobre un espacio de funciones .

Véase también

• Forma lineal  : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares
• Optimización (matemáticas)  – Estudio de algoritmos matemáticos para problemas de optimización.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Tensor  – Objeto algebraico con aplicaciones geométricas

Referencias

1. Lang 2002, p. 142 "Sea E un módulo libre sobre un anillo conmutativo A . Consideramos a A como un módulo libre de rango 1 sobre sí mismo. Por el módulo dual E ^∨ de E nos referiremos al módulo Hom( E , A ). Sus elementos se llamarán funcionales . Por lo tanto, un funcional sobre E es una función A -lineal f  : E → A ."
2. Kolmogorov y Fomin 1957, p. 77 "Una función numérica f ( x ) definida en un espacio lineal normado R se llamará funcional . Se dice que una función f ( x ) es lineal si f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) donde x , y ∈ R y α, β son números arbitrarios".
3. Wilansky 2008, pág. 7.
4. Axler (2014) pág. 101, §3.92
5. Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Funcional lineal", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
6. Kolmogorov & Fomin 1957, pp. 62-63 "Una función real en un espacio R es una aplicación de R en el espacio R ¹ (la línea real). Así, por ejemplo, una aplicación de R ⁿ en R ¹ es una función real ordinaria de n variables. En el caso en que el espacio R en sí mismo consiste en funciones, las funciones de los elementos de R suelen llamarse funcionales ".

• Axler, Sheldon (18 de diciembre de 2014), Linear Algebra Done Right , Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.), Springer (publicado en 2015), ISBN 978-3-319-11079-0
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . Dover Books on Mathematics. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2.OCLC 912495626  .
• Lang, Serge (2002), "III. Módulos, §6. El espacio dual y el módulo dual", Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 142-146, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4.OCLC 227923899  .
• Sobolev, VI (2001) [1994], "Funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Funcional lineal en el laboratorio n
• Funcional no lineal en el laboratorio n
• Rowland, Todd. "Funcional". MathWorld .
• Rowland, Todd. "Funcionalidad lineal". MathWorld .