Radio de convergencia

Dominio de convergencia de series de potencias

En matemáticas , el radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del disco más grande en el centro de la serie en el que converge la serie . Es un número real no negativo o . Cuando es positivo, la serie de potencias converge de manera absoluta y uniforme en conjuntos compactos dentro del disco abierto de radio igual al radio de convergencia, y es la serie de Taylor de la función analítica a la que converge. En caso de múltiples singularidades de una función (las singularidades son aquellos valores del argumento para los cuales la función no está definida), el radio de convergencia es la más corta o mínima de todas las distancias respectivas (que son todos números no negativos) calculadas desde el centro del disco de convergencia hasta las singularidades respectivas de la función. ${\displaystyle \infty }$

Definición

Para una serie de potencias f definida como:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}$

dónde

• a es una constante compleja , el centro del disco de convergencia,
• c _n es el n -ésimo coeficiente complejo, y
• z es una variable compleja.

El radio de convergencia r es un número real no negativo o tal que la serie converge si ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle |z-a|<r}$

y diverge si

${\displaystyle |z-a|>r.}$

Algunos pueden preferir una definición alternativa, ya que la existencia es obvia:

${\displaystyle r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}}$

En el límite, es decir, donde | z  −  a | = r , el comportamiento de la serie de potencias puede ser complicado, y la serie puede converger para algunos valores de z y divergir para otros. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todos los números complejos z . ^[1]

Encontrar el radio de convergencia

Se plantean dos casos:

• El primer caso es teórico: cuando se conocen todos los coeficientes , se toman ciertos límites y se encuentra el radio preciso de convergencia. ${\displaystyle c_{n}}$
• El segundo caso es práctico: cuando se construye una solución de serie de potencias para un problema difícil, normalmente sólo se conoce un número finito de términos en una serie de potencias, desde un par de términos hasta cien términos. En este segundo caso, la extrapolación de un gráfico permite estimar el radio de convergencia.

Radio teórico

El radio de convergencia se puede hallar aplicando la prueba de la raíz a los términos de la serie. La prueba de la raíz utiliza el número

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|}$

"lim sup" denota el límite superior . La prueba de la raíz establece que la serie converge si C  < 1 y diverge si  C  > 1. De ello se deduce que la serie de potencias converge si la distancia de z al centro a es menor que

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

y diverge si la distancia excede ese número; esta afirmación es el teorema de Cauchy-Hadamard . Nótese que r  = 1/0 se interpreta como un radio infinito, lo que significa que f es una función entera .

El límite involucrado en la prueba de razón suele ser más fácil de calcular y, cuando ese límite existe, demuestra que el radio de convergencia es finito.

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Esto se muestra a continuación. La prueba de proporción dice que la serie converge si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

Eso es equivalente a

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Estimación práctica del radio en el caso de coeficientes reales

Gráficos de la función La línea verde sólida es la asíntota recta en el gráfico de Domb-Sykes, ^[2] gráfico (b), que intercepta el eje vertical en −2 y tiene una pendiente de +1. Por lo tanto, hay una singularidad en y, por lo tanto, el radio de convergencia es ${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\displaystyle \varepsilon =-1/2}$ ${\displaystyle r=1/2.}$

Por lo general, en aplicaciones científicas, solo se conoce un número finito de coeficientes. Normalmente, a medida que aumenta, estos coeficientes se establecen en un comportamiento regular determinado por la singularidad limitante del radio más cercana. En este caso, se han desarrollado dos técnicas principales, basadas en el hecho de que los coeficientes de una serie de Taylor son aproximadamente exponenciales con una razón donde r es el radio de convergencia. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/r}$

• El caso básico es cuando los coeficientes comparten finalmente un signo común o alternan en signo. Como se señaló anteriormente en el artículo, en muchos casos existe el límite, y en este caso . Negativo significa que la singularidad que limita la convergencia está en el eje negativo. Estime este límite, trazando el frente a , y extrapole gráficamente a (efectivamente ) a través de un ajuste lineal . La intersección con estima el recíproco del radio de convergencia, . Este gráfico se llama gráfico de Domb-Sykes . ^[3] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle n=\infty }$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
• El caso más complicado es cuando los signos de los coeficientes tienen un patrón más complejo. Mercer y Roberts propusieron el siguiente procedimiento. ^[4] Definir la secuencia asociada Graficar los muchos conocidos finitos versus y extrapolar gráficamente a mediante un ajuste lineal. La intersección con estima el recíproco del radio de convergencia, . $${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
  Este procedimiento también estima otras dos características de la singularidad limitante de convergencia. Supongamos que la singularidad más cercana es de grado y tiene un ángulo con el eje real. Entonces, la pendiente del ajuste lineal dado anteriormente es . Además, graficamos frente a , entonces un ajuste lineal extrapolado a tiene intersección en . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pm \theta }$ ${\displaystyle -(p+1)/r}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$ ${\textstyle 1/n^{2}}$ ${\textstyle 1/n^{2}=0}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Radio de convergencia en análisis complejo

Una serie de potencias con un radio de convergencia positivo puede convertirse en una función holomorfa tomando como argumento una variable compleja. El radio de convergencia puede caracterizarse mediante el siguiente teorema:

El radio de convergencia de una serie de potencias f centrada en un punto a es igual a la distancia desde a hasta el punto más cercano donde f no puede definirse de una manera que lo haga holomorfo.

El conjunto de todos los puntos cuya distancia a a es estrictamente menor que el radio de convergencia se llama disco de convergencia .

Radio de convergencia (blanco) y aproximaciones de Taylor (azul) para . ${\displaystyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

El punto más cercano significa el punto más cercano en el plano complejo , no necesariamente en la línea real, incluso si el centro y todos los coeficientes son reales. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

no tiene singularidades en la recta real, ya que no tiene raíces reales. Su serie de Taylor alrededor de 0 está dada por ${\displaystyle 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

La prueba de la raíz muestra que su radio de convergencia es 1. De acuerdo con esto, la función f ( z ) tiene singularidades en ± i , que están a una distancia 1 de 0.

Para una prueba de este teorema, véase analiticidad de funciones holomorfas .

Un ejemplo sencillo

La función arcotangente de la trigonometría se puede desarrollar en una serie de potencias:

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

Es fácil aplicar la prueba de la raíz en este caso para encontrar que el radio de convergencia es 1.

Un ejemplo más complicado

Considere esta serie de potencias:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

donde los números racionales B _n son los números de Bernoulli . Puede resultar complicado tratar de aplicar la prueba de la razón para hallar el radio de convergencia de esta serie. Pero el teorema de análisis complejo enunciado anteriormente resuelve rápidamente el problema. En z = 0, en efecto no hay singularidad ya que la singularidad es removible . Por lo tanto, las únicas singularidades no removibles se encuentran en los otros puntos donde el denominador es cero. Resolvemos

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

recordando que si z = x + iy y e ^iy = cos( y ) + i sin( y ) entonces

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

y luego tomamos x e y como reales. Como y es real, el valor absoluto de cos( y ) + i sen( y ) es necesariamente 1. Por lo tanto, el valor absoluto de e ^z puede ser 1 solo si e ^x es 1; como x es real, eso sucede solo si x = 0. Por lo tanto, z es puramente imaginaria y cos( y ) + i sen( y ) = 1 . Como y es real, eso sucede solo si cos( y ) = 1 y sen( y ) = 0, de modo que y es un múltiplo entero de 2 π . En consecuencia, los puntos singulares de esta función ocurren en

z = un múltiplo entero distinto de cero de 2 π i .

Las singularidades más cercanas a 0, que es el centro de la expansión de la serie de potencias, están en ±2 π i . La distancia desde el centro hasta cualquiera de esos puntos es 2 π , por lo que el radio de convergencia es 2 π .

Convergencia en la frontera

Si la serie de potencias se desarrolla alrededor del punto a y el radio de convergencia es r , entonces el conjunto de todos los puntos z tales que | z − a | = r es un círculo llamado el límite del disco de convergencia. Una serie de potencias puede divergir en cada punto del límite, o divergir en algunos puntos y converger en otros puntos, o converger en todos los puntos del límite. Además, incluso si la serie converge en todas partes del límite (incluso de manera uniforme), no necesariamente converge de manera absoluta.

Ejemplo 1: La serie de potencias para la función f ( z ) = 1/(1 − z ) , desarrollada alrededor de z = 0 , que es simplemente

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

tiene un radio de convergencia de 1 y diverge en cada punto del límite.

Ejemplo 2: La serie de potencias para g ( z ) = −ln(1 − z ) , desarrollada alrededor de z = 0 , que es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

tiene un radio de convergencia de 1 y diverge para z = 1 pero converge para todos los demás puntos del límite. La función f ( z ) del Ejemplo 1 es la derivada de g ( z ) .

Ejemplo 3: La serie de potencias

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

tiene un radio de convergencia de 1 y converge en todas partes en el límite de forma absoluta. Si h es la función representada por esta serie en el disco unitario, entonces la derivada de h ( z ) es igual a g ( z )/ z con g del Ejemplo 2. Resulta que h ( z ) es la función dilogarítmica .

Ejemplo 4: La serie de potencias

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

tiene un radio de convergencia 1 y converge uniformemente en todo el límite | z | = 1 , pero no converge absolutamente en el límite. ^[5]

Tasa de convergencia

Si ampliamos la función

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

alrededor del punto x = 0, descubrimos que el radio de convergencia de esta serie es lo que significa que esta serie converge para todos los números complejos. Sin embargo, en las aplicaciones, a menudo uno está interesado en la precisión de una respuesta numérica . Tanto el número de términos como el valor en el que se evaluará la serie afectan la precisión de la respuesta. Por ejemplo, si queremos calcular sin(0.1) con una precisión de hasta cinco decimales, solo necesitamos los dos primeros términos de la serie. Sin embargo, si queremos la misma precisión para x = 1, debemos evaluar y sumar los primeros cinco términos de la serie. Para sin(10) , se requieren los primeros 18 términos de la serie, y para sin(100) necesitamos evaluar los primeros 141 términos. ${\displaystyle \infty }$

Entonces, para estos valores particulares, la convergencia más rápida de una expansión en serie de potencias está en el centro, y a medida que uno se aleja del centro de convergencia, la tasa de convergencia se desacelera hasta que se alcanza el límite (si existe) y se cruza, en cuyo caso la serie divergirá.

Abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet

Un concepto análogo es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Una serie de este tipo converge si la parte real de s es mayor que un número particular dependiendo de los coeficientes a _n : la abscisa de convergencia.

Notas

1. Análisis Matemático-II. Medios de Krishna Prakashan. 16 de noviembre de 2010.
2. Véase la Figura 8.1 en: Hinch, EJ (1991), Perturbation Methods , Cambridge Texts in Applied Mathematics, vol. 6, Cambridge University Press, pág. 146, ISBN 0-521-37897-4
3. Domb, C.; Sykes, MF (1957), "Sobre la susceptibilidad de un ferromagnético por encima del punto de Curie", Proc. R. Soc. Lond. A , 240 (1221): 214–228, Bibcode :1957RSPSA.240..214D, doi :10.1098/rspa.1957.0078, S2CID  119974403
4. Mercer, GN; Roberts, AJ (1990), "Una descripción de la dispersión de contaminantes en canales con propiedades de flujo variables mediante una variedad central", SIAM J. Appl. Math. , 50 (6): 1547–1565, doi :10.1137/0150091
5. Sierpiński, W. (1918). "O szeregu potęgowym, który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie". Prace Matematyczno-Fizyczne . 29 (1): 263–266.

Referencias

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Variables complejas y aplicaciones , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias ; Shakarchi, Rami (2003), Análisis complejo , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

Véase también

• Teorema de Abel
• Pruebas de convergencia
• Prueba de raíz

Enlaces externos

• ¿Qué es el radio de convergencia?