Función de varias variables complejas

Type of mathematical functions

La teoría de funciones de varias variables complejas es la rama de las matemáticas que estudia las funciones definidas en el espacio de coordenadas complejo , es decir, n -tuplas de números complejos . El campo que estudia las propiedades de estas funciones se denomina varias variables complejas (y espacio analítico ), que la Clasificación Asignatura de Matemáticas tiene como encabezamiento de nivel superior. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Al igual que en el análisis complejo de funciones de una variable , que es el caso n = 1 , las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables z _i . Equivalentemente, son límites localmente uniformes de polinomios ; o soluciones localmente integrables al cuadrado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann n -dimensionales. ^{[1] [2] [3]} Para una variable compleja, cada dominio ^{[nota 1]} ( ), es el dominio de holomorfía de alguna función, en otras palabras, cada dominio tiene una función para la cual es el dominio de la holomorfía. ^{[4] [5]} Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios ( ) que no son el dominio de la holomorfía de ninguna función, y por lo tanto no siempre es el dominio de la holomorfía, por lo que el dominio de la holomorfía es uno de los temas en este campo. ^[4] El parcheo de los datos locales de funciones meromórficas , es decir, el problema de crear una función meromórfica global a partir de ceros y polos, se denomina problema de Cousin. Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son fundamentalmente importantes para el estudio de variedades complejas compactas y variedades proyectivas complejas ( ) ^[6] y tiene un sabor diferente a la geometría analítica compleja en o sobre las variedades de Stein , estas son mucho más similares al estudio de las variedades algebraicas que es el estudio de la geometría algebraica que la geometría analítica compleja. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Perspectiva histórica

Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX: funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas , y también, como ejemplo de un problema inverso; el problema de inversión de Jacobi . ^[7] Naturalmente, también la misma función de una variable que depende de algún parámetro complejo es un candidato. Sin embargo, la teoría durante muchos años no se convirtió en un campo completo en el análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no fueron descubiertos. El teorema de preparación de Weierstrass ahora se clasificaría como álgebra conmutativa ; justificó la imagen local, ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación de la teoría de superficies de Riemann .

Con el trabajo de Friedrich Hartogs , Pierre Cousin  [fr] , EE Levi y Kiyoshi Oka en la década de 1930, comenzó a surgir una teoría general; otros que trabajaban en el área en ese momento fueron Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger y Francesco Severi . Hartogs demostró algunos resultados básicos, como que cada singularidad aislada es removible , para cada función analítica siempre que n > 1. Naturalmente, los análogos de las integrales de contorno serán más difíciles de manejar; cuando n = 2, una integral que rodea un punto debe ser sobre una variedad tridimensional (ya que estamos en cuatro dimensiones reales), mientras que la iteración de integrales de contorno (línea) sobre dos variables complejas separadas debe llegar a una integral doble sobre una superficie bidimensional. Esto significa que el cálculo de residuos tendrá que tomar un carácter muy diferente. $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

Después de 1945, un trabajo importante en Francia, en el seminario de Henri Cartan , y en Alemania con Hans Grauert y Reinhold Remmert , cambió rápidamente el panorama de la teoría. Se aclararon varias cuestiones, en particular la de la continuación analítica . Aquí es evidente una diferencia importante con la teoría de una variable; mientras que para cada conjunto abierto conexo D en podemos encontrar una función que en ningún lugar continuará analíticamente más allá del límite, eso no puede decirse para n > 1. De hecho, las D de ese tipo son bastante especiales por naturaleza (especialmente en espacios de coordenadas complejos y variedades de Stein, que satisfacen una condición llamada pseudoconvexidad ). Los dominios naturales de definición de funciones, continuados hasta el límite, se llaman variedades de Stein y su naturaleza era hacer que los grupos de cohomología de haces se anularan, por otro lado, el teorema de anulación de Grauert-Riemenschneider es conocido como un resultado similar para variedades complejas compactas, y la conjetura de Grauert-Riemenschneider es un caso especial de la conjetura de Narasimhan. ^[4] De hecho, fue la necesidad de poner (en particular) el trabajo de Oka sobre una base más clara lo que llevó rápidamente al uso consistente de haces para la formulación de la teoría (con importantes repercusiones para la geometría algebraica , en particular a partir del trabajo de Grauert). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

A partir de este punto, se desarrolló una teoría fundacional que podía aplicarse a la geometría analítica , ^{[nota 2]} a las formas automórficas de varias variables y a las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la deformación de estructuras complejas y variedades complejas fue descrita en términos generales por Kunihiko Kodaira y DC Spencer . El célebre artículo GAGA de Serre ^[8] señaló el punto de cruce entre la geometría analítica y la geometría algébrique .

Se escuchó a CL Siegel quejarse de que la nueva teoría de funciones de varias variables complejas tenía pocas funciones , lo que significa que el lado de la función especial de la teoría estaba subordinado a los haces. El interés de la teoría de números , ciertamente, está en generalizaciones específicas de formas modulares . Los candidatos clásicos son las formas modulares de Hilbert y las formas modulares de Siegel . En la actualidad, estas se asocian a grupos algebraicos (respectivamente, la restricción de Weil a partir de un cuerpo de números totalmente reales de GL (2) y el grupo simpléctico ), para los cuales sucede que las representaciones automórficas pueden derivarse de funciones analíticas. En cierto sentido, esto no contradice a Siegel; la teoría moderna tiene sus propias direcciones diferentes.

Los desarrollos posteriores incluyeron la teoría de la hiperfunción y el teorema del borde de la cuña , ambos inspirados en la teoría cuántica de campos . Hay varios otros campos, como la teoría del álgebra de Banach , que se basan en varias variables complejas.

El espacio de coordenadas complejo

El espacio de coordenadas complejo es el producto cartesiano de n copias de , y cuando es un dominio de holomorfía, puede considerarse como una variedad de Stein , y un espacio de Stein más generalizado. también se considera una variedad proyectiva compleja , una variedad de Kähler , ^[9] etc. También es un espacio vectorial n -dimensional sobre los números complejos , lo que da su dimensión 2 n sobre . ^{[nota 3]} Por lo tanto, como conjunto y como espacio topológico , puede identificarse con el espacio de coordenadas real y su dimensión topológica es, por tanto, 2 n . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

En un lenguaje libre de coordenadas, cualquier espacio vectorial sobre números complejos puede considerarse como un espacio vectorial real con el doble de dimensiones, donde una estructura compleja se especifica mediante un operador lineal J (tal que J ² = − I ) que define la multiplicación por la unidad imaginaria i .

Cualquier espacio de este tipo, como espacio real, está orientado . En el plano complejo considerado como plano cartesiano , la multiplicación por un número complejo w = u + iv puede representarse mediante la matriz real

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

con determinante

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$

De la misma manera, si se expresa cualquier operador lineal complejo de dimensión finita como una matriz real (que estará compuesta por bloques 2 × 2 de la forma antes mencionada), entonces su determinante es igual al cuadrado del valor absoluto del determinante complejo correspondiente. Es un número no negativo, lo que implica que la orientación (real) del espacio nunca se invierte por un operador complejo. Lo mismo se aplica a los jacobianos de funciones holomorfas de a . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Funciones holomorfas

Definición

Una función f definida en un dominio y con valores en se dice que es holomorfa en un punto si es compleja-diferenciable en ese punto, en el sentido de que existe una función lineal compleja tal que ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Se dice que la función f es holomorfa si es holomorfa en todos los puntos de su dominio de definición D.

Si f es holomorfo, entonces todas las funciones parciales:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

son holomorfas como funciones de una variable compleja: decimos que f es holomorfa en cada variable por separado. Por el contrario, si f es holomorfa en cada variable por separado, entonces f es de hecho holomorfa: esto se conoce como el teorema de Hartog , o como el lema de Osgood bajo la hipótesis adicional de que f es continua .

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

En una variable compleja, una función definida en el plano es holomorfa en un punto si y sólo si su parte real y su parte imaginaria satisfacen las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann en  : ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)}$$

En varias variables, una función es holomorfa si y sólo si es holomorfa en cada variable por separado, y por tanto si y sólo si la parte real y la parte imaginaria satisfacen las ecuaciones de Cauchy y Riemann: ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}}$$

Utilizando el formalismo de las derivadas de Wirtinger , esto se puede reformular como: o incluso de forma más compacta utilizando el formalismo de las formas diferenciales complejas , como: $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$$

Fórmula integral de Cauchy I (versión Polydisc)

Demuestre la suficiencia de dos condiciones (A) y (B). Sea f la que cumple las condiciones de ser continua y homomorfa por separado en el dominio D. Cada disco tiene una curva rectificable , es suave por partes , curva cerrada de clase Jordan. ( ) Sea el dominio rodeado por cada . El cierre del producto cartesiano es . Además, tome el polidisco cerrado de modo que se convierta en . ( y sea el centro de cada disco.) Utilizando la fórmula integral de Cauchy de una variable repetidamente, ^{[nota 4]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle D_{\nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Debido a que es una curva cerrada de Jordania rectificable ^{[nota 5]} y f es continua, el orden de los productos y las sumas se puede intercambiar para que la integral iterada se pueda calcular como una integral múltiple . Por lo tanto, ${\displaystyle \partial D}$

Fórmula de evaluación de Cauchy

Como el orden de los productos y las sumas es intercambiable, de ( 1 ) obtenemos

f es una función de clase. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

De (2), si f es holomorfo, en polidisco y , se obtiene la siguiente ecuación de evaluación. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Por lo tanto, el teorema de Liouville es válido.

Expansión en serie de potencias de funciones holomorfas en polidisco

Si la función f es holomorfa, en el polidisco , a partir de la fórmula integral de Cauchy, podemos ver que puede expandirse de forma única a la siguiente serie de potencias. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Además, f que satisface las siguientes condiciones se llama función analítica.

Para cada punto , se expresa como una expansión en serie de potencias que es convergente en D  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Ya hemos explicado que las funciones holomorfas sobre un polidisco son analíticas. Además, a partir del teorema derivado por Weierstrass, podemos ver que la función analítica sobre un polidisco (serie de potencias convergentes) es holomorfa.

Si una secuencia de funciones converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D , la función límite f de también converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D . Además, la derivada parcial respectiva de también converge de manera compacta en el dominio D a la derivada correspondiente de f . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^[10]

Radio de convergencia de series de potencias

Es posible definir una combinación de números reales positivos tales que la serie de potencias converja uniformemente en y no converja uniformemente en . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

De esta manera es posible tener una combinación similar de radios de convergencia ^{[nota 6]} para una variable compleja. Esta combinación generalmente no es única y existe un número infinito de combinaciones.

Expansión de la serie Laurent

Sea holomorfo en el anillo y continuo en su circunferencia, entonces existe el siguiente desarrollo; ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}}$

La integral en el segundo término, del lado derecho se realiza de manera que se vea el cero a la izquierda en cada plano, además esta serie integrada es uniformemente convergente en el anillo , donde y , y por lo tanto es posible integrar el término. ^[11] ${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$ ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$ ${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Fórmula de Bochner-Martinelli (fórmula integral de Cauchy II)

La fórmula integral de Cauchy solo es válida para polidiscos y, en el dominio de varias variables complejas, los polidiscos son solo uno de los muchos dominios posibles, por lo que introducimos la fórmula de Bochner-Martinelli .

Supóngase que f es una función continuamente diferenciable en el cierre de un dominio D en con borde liso por partes , y sea que el símbolo denota el producto exterior o de cuña de formas diferenciales. Entonces la fórmula de Bochner-Martinelli establece que si z está en el dominio D entonces, para , z en el núcleo de Bochner-Martinelli es una forma diferencial en de bigrado , definida por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (n,n-1)}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

En particular, si f es holomorfo, el segundo término se desvanece, por lo que

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Teorema de identidad

Las funciones holomorfas de varias variables complejas satisfacen un teorema de identidad , como en una variable: dos funciones holomorfas definidas en el mismo conjunto abierto conexo y que coinciden en un subconjunto abierto N de D , son iguales en todo el conjunto abierto D. Este resultado se puede demostrar a partir del hecho de que las funciones holomorfas tienen extensiones de series de potencias, y también se puede deducir del caso de una variable. Al contrario que en el caso de una variable, es posible que dos funciones holomorfas diferentes coincidan en un conjunto que tenga un punto de acumulación, por ejemplo las funciones y coincidan en toda la recta compleja de definida por la ecuación . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$ ${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}=0}$

También se cumplen el principio de maximización , el teorema de la función inversa y los teoremas de la función implícita. Para una versión generalizada del teorema de la función implícita para variables complejas, consulte el teorema de preparación de Weierstrass .

Biholomorfismo

A partir del establecimiento del teorema de la función inversa, se puede definir la siguiente aplicación.

Para el dominio U , V del espacio complejo n -dimensional , la función holomorfa biyectiva y la aplicación inversa también es holomorfa. En este caso, se denomina también biholomorfismo U , V , decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficas. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle \phi }$

El teorema de aplicación de Riemann no se cumple

Cuando , las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficamente equivalentes, es decir, no hay una aplicación biholomórfica entre los dos. ^[12] Esto fue demostrado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen dimensiones diferentes a los grupos de Lie . ^{[5] [13]} Sin embargo, incluso en el caso de varias variables complejas, hay algunos resultados similares a los resultados de la teoría de uniformización en una variable compleja. ^[14] ${\displaystyle n>1}$

Continuación analítica

Sea U, V un dominio en , tal que y , ( es el conjunto/anillo de funciones holomorfas en U .) supongamos que y es un componente conexo de . Si entonces se dice que f está conexo a V , y se dice que g es una continuación analítica de f . Del teorema de identidad, si g existe, para cada forma de elegir W es único. Cuando n > 2, ocurre el siguiente fenómeno dependiendo de la forma del límite : existe un dominio U , V , tal que todas las funciones holomorfas sobre el dominio U , tienen una continuación analítica . En otras palabras, puede no existir una función tal que como límite natural. Se llama fenómeno de Hartogs. Por lo tanto, investigar cuándo los límites de dominio se convierten en límites naturales se ha convertido en uno de los principales temas de investigación de varias variables complejas. Además, cuando , sería que la V anterior tiene una parte de intersección con U distinta de W . Esto contribuyó al avance de la noción de cohomología de haces. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Dominio Reinhardt

En los polidiscos, se cumple la fórmula integral de Cauchy y se define la expansión en serie de potencias de funciones holomorfas, pero los polidiscos y las bolas unitarias abiertas no son aplicaciones biholomorfas porque el teorema de aplicación de Riemann no se cumple y, además, los polidiscos eran posibles para la separación de variables, pero no siempre se cumple para cualquier dominio. Por lo tanto, para estudiar el dominio de convergencia de la serie de potencias, fue necesario hacer una restricción adicional en el dominio, este fue el dominio de Reinhardt. Los primeros conocimientos sobre las propiedades del campo de estudio de varias variables complejas, como logarítmicamente convexas, el teorema de extensión de Hartogs, etc., se dieron en el dominio de Reinhardt.

Sea ( ) un dominio, con centro en un punto , tal que, junto con cada punto , el dominio también contiene el conjunto ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio D se denomina dominio Reinhardt si satisface las siguientes condiciones: ^{[15] [16]}

Sea un número real arbitrario, cuyo dominio D es invariante bajo la rotación: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Los dominios de Reinhardt que se definen por la siguiente condición; Junto con todos los puntos de , el dominio contiene el conjunto ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Un dominio de Reinhardt D se denomina dominio de Reinhardt completo con centro en un punto a si junto con todos los puntos también contiene el polidisco ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio de Reinhardt completo D es similar a una estrella con respecto a su centro a . Por lo tanto, el dominio de Reinhardt completo es simplemente conexo , incluso cuando el dominio de Reinhardt completo es la línea límite, existe una manera de demostrar el teorema integral de Cauchy sin usar el teorema de la curva de Jordan .

Logarítmicamente convexo

Cuando un dominio de Reinhardt completo es el dominio de convergencia de una serie de potencias, se requiere una condición adicional, que se denomina logarítmico-convexo.

Un dominio de Reinhardt D se llama logarítmicamente convexo si la imagen del conjunto ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

bajo el mapeo

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

es un conjunto convexo en el espacio de coordenadas reales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cada uno de estos dominios en es el interior del conjunto de puntos de convergencia absoluta de alguna serie de potencias en , y viceversa; El dominio de convergencia de cada serie de potencias en es un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo con centro . ^{[nota 7]} Pero, hay un ejemplo de un dominio de Reinhardt completo D que no es logarítmicamente convexo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle a=0}$

Algunos resultados

Teorema de extensión de Hartogs y fenómeno de Hartogs

Al examinar el dominio de convergencia en el dominio de Reinhardt, Hartogs encontró el fenómeno de Hartogs en el que las funciones holomorfas en algún dominio estaban todas conectadas a un dominio mayor. ^[18] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

En el polidisco formado por dos discos cuando . ${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Dominio interno de ${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Teorema de extensión de Hartogs (1906); ^[19] Sea f una función holomorfa en un conjunto G  \  K , donde G es un dominio acotado (rodeado por una curva de Jordan cerrada rectificable) ^{[nota 8]} en ( n ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G  \  K es conexo, entonces cada función holomorfa f independientemente de cómo se elija puede extenderse cada una a una función holomorfa única en G . ^{[21] [20]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También se denomina teorema de Osgood-Brown y afirma que, para funciones holomorfas de varias variables complejas, la singularidad es un punto de acumulación, no un punto aislado. Esto significa que las diversas propiedades que se cumplen para funciones holomorfas de variables complejas de una variable no se cumplen para funciones holomorfas de varias variables complejas. La naturaleza de estas singularidades también se deriva del teorema de preparación de Weierstrass . En 2007 se demostró una generalización de este teorema utilizando el mismo método que el de Hartogs. ^{[22] [23]}

Del teorema de extensión de Hartogs, el dominio de convergencia se extiende desde hasta . Si lo analizamos desde la perspectiva del dominio de Reinhardt, es el dominio de Reinhardt que contiene el centro z = 0, y el dominio de convergencia de se ha extendido hasta el dominio de Reinhardt completo más pequeño que contiene . ^[24] ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Los resultados clásicos de Thullen

El resultado clásico de Thullen ^[25] dice que un dominio de Reinhard acotado bidimensional que contiene el origen es biholomorfo a uno de los siguientes dominios siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismos tenga dimensión positiva:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(polidisco);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$(bola unitaria);
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$(Dominio Thullen).

Resultados de Sunada

Toshikazu Sunada (1978) ^[26] estableció una generalización del resultado de Thullen:

Dos dominios de Reinhardt acotados de dimensión n y son mutuamente biholomorfos si y solo si existe una transformación dada por , que es una permutación de los índices), tal que . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Dominio natural de la función holomorfa (dominio de la holomorfía)

Al pasar de la teoría de una variable compleja a la teoría de varias variables complejas, dependiendo del rango del dominio, puede que no sea posible definir una función holomorfa tal que el límite del dominio se convierta en un límite natural. Considerando el dominio donde los límites del dominio son límites naturales (en el espacio de coordenadas complejo llamado dominio de holomorfía), el primer resultado del dominio de holomorfía fue la convexidad holomorfa de H . Cartan y Thullen. ^[27] El problema de Levi muestra que el dominio pseudoconvexo era un dominio de holomorfía. (Primero para , ^[28] luego extendido a . ^{[29] [30]} ) ^[31] La noción de ideal de dominios indeterminados de Kiyoshi Oka ^{[34] [35] es interpretada por la teoría de} la cohomología de haces por H . Cartan y más desarrollo Serre. ^{[nota 10] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [6]} En cohomología de haces, el dominio de la holomorfía ha llegado a interpretarse como la teoría de las variedades de Stein. ^[42] La noción del dominio de la holomorfía también se considera en otras variedades complejas, además también en el espacio analítico complejo que es su generalización. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Dominio de la holomorfía

Los conjuntos en la definición. Nota: En esta sección, reemplace en la figura con D ${\displaystyle \Omega }$

Cuando una función f es holomorfa en el dominio y no puede conectarse directamente con el dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio , el dominio D se llama dominio de holomorfía de f y el límite se llama límite natural de f . En otras palabras, el dominio de holomorfía D es el supremo del dominio donde la función holomorfa f es holomorfa, y el dominio D , que es holomorfo, no puede extenderse más. Para varias variables complejas, es decir, dominio , los límites pueden no ser límites naturales. El teorema de extensión de Hartogs da un ejemplo de un dominio donde los límites no son límites naturales. ^[43] ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Formalmente, un dominio D en el espacio de coordenadas complejo n -dimensional se denomina dominio de holomorfía si no existen dominios no vacíos y , y tales que para cada función holomorfa f en D existe una función holomorfa g en V con en U . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V\not \subset D}$ ${\displaystyle U\subset D\cap V}$ ${\displaystyle f=g}$

Para el caso, el dominio de cada ( ) era el dominio de la holomorfía; podemos definir una función holomorfa con ceros acumulándose en todas partes en el límite del dominio, que debe ser entonces un límite natural para un dominio de definición de su recíproco. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

Propiedades del dominio de la holomorfía

• Si son dominios de holomorfía, entonces su intersección también es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Si es una secuencia creciente de dominios de holomorfía, entonces su unión también es un dominio de holomorfía (véase el teorema de Behnke-Stein ). ^[44] ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Si y son dominios de holomorfía, entonces es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• El primer problema de Cousin siempre se puede resolver en un dominio de holomorfía; además, Cartan demostró que el inverso de este resultado era incorrecto para . ^[45] Esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema de Cousin. ${\displaystyle n\geq 3}$

Cáscara holomórficamente convexa

Sea un dominio o, alternativamente, para una definición más general, sea una variedad analítica compleja dimensional . Además, sea el conjunto de funciones holomorfas en G. Para un conjunto compacto , la envoltura holomorfamente convexa de K es ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.}$

Se obtiene un concepto más estrecho de envoltura polinomialmente convexa al tomar en cambio como el conjunto de funciones polinomiales de valores complejos en G . La envoltura polinomialmente convexa contiene la envoltura holomorfamente convexa. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

El dominio se llama holomorfo-convexo si para cada subconjunto compacto también es compacto en G. A veces esto simplemente se abrevia como holomorfo-convexo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Cuando , cada dominio es holomorfamente convexo ya que entonces es la unión de K con los componentes relativamente compactos de . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Cuando , si f satisface la convexidad holomorfa anterior en D, tiene las siguientes propiedades. para cada subconjunto compacto K en D , donde denota la distancia entre K y . Además, en este momento, D es un dominio de holomorfía. Por lo tanto, cada dominio convexo es dominio de holomorfía. ^[5] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$ ${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Pseudoconvexidad

Hartogs demostró que

Hartogs (1906): ^[19] Sea D un dominio de Hartogs en y R una función positiva en D tal que el conjunto en definido por y es un dominio de holomorfía. Entonces es una función subarmónica en D . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}\in D}$ ${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$ ${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Si tales relaciones se dan en el dominio de la holomorfía de varias variables complejas, parece una condición más manejable que una holomorfía convexa. ^{[nota 11]} La función subarmónica parece una especie de función convexa , por lo que Levi la denominó dominio pseudoconvexo (pseudoconvexidad de Hartog). Los dominios pseudoconvexos (límites de pseudoconvexidad) son importantes, ya que permiten la clasificación de los dominios de holomorfía. Un dominio de holomorfía es una propiedad global, por el contrario, la pseudoconvexidad es esa propiedad analítica local o geométrica local del límite de un dominio. ^[46]

Definición de función plurisubarmónica

Una función

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

con dominio ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

se llama plurisubarmónico si es semicontinuo superior y para cada línea compleja

${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$con ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$

La función es una función subarmónica en el conjunto. ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

En términos generales , la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera: Una función semicontinua superior ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

se dice que es plurisubarmónico si y solo si para cualquier mapa holomorfo

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$La función

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

es subarmónico, donde denota el disco unitario. ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} }$

En una función compleja de una variable, la condición necesaria y suficiente de que la función de valor real , que puede ser diferenciable en segundo orden con respecto a z de una función compleja de una variable sea subarmónica es . Por lo tanto, si es de clase , entonces es plurisubarmónica si y solo si la matriz hermítica es semidefinida positiva. ${\displaystyle u=u(z)}$ ${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

De manera equivalente, una -función u es plurisubarmónica si y solo si es una forma (1,1) positiva . ^{[47] : 39–40} ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$

Función estrictamente plurisubarmónica

Cuando la matriz hermítica de u es positiva-definida y de clase , llamamos u una función plurisubarmónica estricta. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

(Débilmente) pseudoconvexo (p-pseudoconvexo)

La pseudoconvexa débil se define como: Sea un dominio. Se dice que X es pseudoconvexa si existe una función plurisubarmónica continua en X tal que el conjunto es un subconjunto relativamente compacto de X para todos los números reales x . ^{[nota 12]} es decir, existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave . A menudo, la definición de pseudoconvexa se utiliza aquí y se escribe como; Sea X una variedad compleja de n dimensiones. Entonces se dice que es pseudoconvexa débil existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave . ^{[47] : 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo

Sea X una variedad compleja de n dimensiones. Fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa si existe una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica suave , es decir, es definida positiva en cada punto. El dominio fuertemente pseudoconvexo es el dominio pseudoconvexo. ^{[47] : 49} Fuertemente pseudoconvexo y estrictamente pseudoconvexo (es decir, 1-convexo y 1-completo ^[48] ) se usan a menudo indistintamente, ^[49] consulte Lempert ^[50] para la diferencia técnica. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle H\psi }$

Forma de Levi

Pseudoconvexidad (débil) de Levi(–Krzoska)

Si el límite es , se puede demostrar que D tiene una función definitoria; es decir, que existe una función que es tal que , y . Ahora, D es pseudoconvexa si y solo si para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[5] [51]}

Si D no tiene un límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Proposición 1 Si D es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos de Levi fuertemente acotados con límite de clase que son relativamente compactos en ${\displaystyle D_{k}\subset D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ D , tales que

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tenemos un como en la definición, en realidad podemos encontrar una función de agotamiento. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexo de Levi (–Krzoska) (también conocido como Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo)

Cuando la forma de Levi (–Krzoska) es definida positiva, se denomina fuertemente pseudoconvexa de Levi (–Krzoska) o, a menudo, simplemente fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa. ^[5]

Levi total pseudoconvexo

Si para cada punto límite de D existe una variedad analítica que pasa y se encuentra completamente fuera de D en algún entorno alrededor de , excepto el punto mismo, el dominio D que satisface estas condiciones se denomina pseudoconvexo total de Levi. ^[52] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Oka pseudoconvexo

Familia de discos de Oka

Sean n -funciones continuas en , holomorfas en cuando el parámetro t está fijo en [0, 1], y supongamos que no son todas cero en ningún punto de . Entonces el conjunto se denomina disco analítico que depende de un parámetro t , y se denomina su capa. Si y , Q(t) se denomina Familia del disco de Oka. ^{[52] [53]} ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ ${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}}$ ${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}}$ ${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$ ${\displaystyle B(0)\subset D}$

Definición

Cuando se cumple en cualquier familia del disco de Oka, D se llama Oka pseudoconvexo. ^[52] La prueba de Oka del problema de Levi fue que cuando el dominio de Riemann no ramificado sobre ^[54] era un dominio de holomorfía (holomórficamente convexo), se demostró que era necesario y suficiente que cada punto límite del dominio de holomorfía fuera un Oka pseudoconvexo. ^{[29] [53]} ${\displaystyle Q(0)\subset D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Pseudoconvexo local (también conocido como pseudoconvexo local de Stein, pseudoconvexo de Cartan, propiedad local de Levi)

Para cada punto existe un entorno U de x y f holomorfo (es decir, holomorfamente convexo) tal que f no puede extenderse a ningún entorno de x . Es decir, sea una función holomorfa, si cada punto tiene un entorno U tal que admite una función de agotamiento -plurisubarmónica (débilmente 1-completa ^[55] ), en esta situación, decimos que X es localmente pseudoconvexo (o localmente Stein) sobre Y. Como nombre antiguo, también se le llama pseudoconvexo de Cartan. En el dominio localmente pseudoconvexo es en sí mismo un dominio pseudoconvexo y es un dominio de holomorfía. ^{[56] [52]} Por ejemplo, Diederich–Fornæss ^[57] encontró dominios acotados pseudoconvexos locales con borde suave en variedades no Kähler tales que no es débilmente 1-completa. ^{[58] [nota 13]} ${\displaystyle x\in \partial D}$ ${\displaystyle U\cap D}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Condiciones equivalentes al dominio de la holomorfía

Para un dominio las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[nota 14]} ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D es un dominio de holomorfía.
2. D es holomórficamente convexo.
3. D es la unión de una secuencia creciente de poliedros analíticos en D .
4. D es pseudoconvexo.
5. D es localmente pseudoconvexo.

Las implicaciones , ^{[nota 15]} , ^{[nota 16]} y son resultados estándar. Demostrar , es decir, construir una función holomorfa global que no admite extensión a partir de funciones no extensibles definidas solo localmente. Esto se llama el problema de Levi (en honor a EE Levi ) y fue resuelto para dominios de Riemann no ramificados por Kiyoshi Oka, ^{[nota 17]} pero para dominios de Riemann ramificados, la pseudoconvexidad no caracteriza la convexidad holomorfa, ^[66] y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia de -problema(ecuación) con métodos L 2 ). ^{[1] [43] [3] [67]} ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$ ${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Gavillas

La introducción de haces en varias variables complejas permitió la reformulación y solución de varios problemas importantes en el campo.

Idéal de domaines indéterminés (El predecesor de la noción de coherente (gavilla))

Oka introdujo la noción que denominó "ideal de dominios indeterminados" o "ideal de dominios indeterminados". ^{[34] [35]} Específicamente, es un conjunto de pares , holomorfos en un conjunto abierto no vacío , tal que ${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle (f,\delta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

1. Si y es arbitrario, entonces . ${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$ ${\displaystyle (a,\delta ')}$ ${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Para cada , entonces ${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$ ${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

El origen de los dominios indeterminados proviene del hecho de que los dominios cambian dependiendo del par . Cartan ^{[36] [37]} tradujo esta noción en la noción de haz coherente ( haz ) (Especialmente, haz analítico coherente) en cohomología de haces. ^{[67] [68]} Este nombre proviene de H. Cartan. ^[69] Además, Serre (1955) introdujo la noción de haz coherente en la geometría algebraica, es decir, la noción de haz algebraico coherente. ^[70] La noción de coherente ( cohomología de haces coherentes ) ayudó a resolver los problemas en varias variables complejas. ^[39] ${\displaystyle (f,\delta )}$

Haz coherente

Definición

La definición del haz coherente es la siguiente. ^{[70] [71] [72] [73] [47] : 83–89} Un haz cuasi-coherente en un espacio anillado es un haz de - módulos que tiene una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Un haz coherente en un espacio anillado es un haz que satisface las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito sobre , es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que existe un morfismo sobreyectivo para algún número natural ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. para cada conjunto abierto , entero y morfismo arbitrario de -módulos, el núcleo de es de tipo finito. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los morfismos entre haces (cuasi-)coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Además, Jean-Pierre Serre (1955) ^[70] demuestra que

Si en una secuencia exacta de haces de módulos dos de los tres haces son coherentes, entonces el tercero también es coherente. ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

(Oka-Cartan) teorema coherente

El teorema coherente (Oka-Cartan) ^[34] dice que cada haz que cumple las siguientes condiciones es coherente. ^[74]

1. el haz de gérmenes de funciones holomorfas en , o el haz de estructura de subvariedades complejas o cada espacio analítico complejo ^[75] ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. el haz ideal de un subconjunto analítico A de un subconjunto abierto de . (Cartan 1950 ^[36] ) ^{[76] [77]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$
3. La normalización del haz de estructuras de un espacio analítico complejo ^[78]

Del teorema de Serre (1955) anterior, se obtiene un haz coherente; además, (i) se utiliza para demostrar los teoremas A y B de Cartan . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

Problema de primos

En el caso de funciones complejas de una variable, el teorema de Mittag-Leffler fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de unas partes principales dadas (problema de Cousin I), y el teorema de factorización de Weierstrass fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de unos ceros o un lugar geométrico de ceros dados (problema de Cousin II). Sin embargo, estos teoremas no se cumplen en varias variables complejas porque las singularidades de la función analítica en varias variables complejas no son puntos aislados; estos problemas se denominan problemas de Cousin y se formulan en términos de cohomología de haces. Fueron introducidos por primera vez en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. ^[79] Fue Oka quien mostró las condiciones para resolver el primer problema de Cousin para el dominio de la holomorfía ^{[nota 18]} en el espacio de coordenadas complejo, ^{[82] [83] [80] [nota 19]} resolviendo también el segundo problema de Cousin con suposiciones topológicas adicionales. El problema de Cousin es un problema relacionado con las propiedades analíticas de variedades complejas, pero las únicas obstrucciones para resolver problemas de una propiedad analítica compleja son puramente topológicas; ^{[80] [39] [31]} Serre llamó a esto el principio de Oka. ^[84] Ahora se plantean y resuelven para una variedad compleja arbitraria M , en términos de condiciones sobre M . M , que satisface estas condiciones, es una forma de definir una variedad de Stein. El estudio del problema de Cousin nos hizo darnos cuenta de que en el estudio de varias variables complejas, es posible estudiar propiedades globales a partir del parcheo de datos locales, ^[36] es decir, ha desarrollado la teoría de la cohomología de haces. (p. ej., seminario de Cartan. ^[42] ) ^[39]

Problema del primo hermano

Sin el lenguaje de haces, el problema puede formularse de la siguiente manera. En una variedad compleja M , se dan varias funciones meromórficas junto con los dominios donde están definidas, y donde cada diferencia es holomorfa (dondequiera que esté definida la diferencia). El primer problema de Cousin pide entonces una función meromórfica en M tal que sea holomorfa en ; en otras palabras, que comparta el comportamiento singular de la función local dada. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$

Ahora, sea K el haz de funciones meromórficas y O el haz de funciones holomorfas sobre M. El primer problema de Cousin siempre se puede resolver si la siguiente función es sobreyectiva:

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la secuencia de cohomología larga y exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacta, y por lo tanto el primer problema de Cousin siempre es solucionable siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) se anule. En particular, por el teorema de Cartan B , el problema de Cousin siempre es solucionable si M es una variedad de Stein.

Problema del segundo primo

El segundo problema de Cousin comienza con una configuración similar a la del primero, especificando en cambio que cada razón es una función holomorfa no nula (donde dicha diferencia está definida). Solicita una función meromórfica en M tal que sea holomorfa y no nula. ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

Sea el haz de funciones holomorfas que no se anulan en ninguna parte y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Ambos son haces de grupos abelianos y el haz cociente está bien definido. Si la siguiente función es sobreyectiva, entonces se puede resolver el problema del primo segundo: ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La secuencia de cohomología de haces larga y exacta asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

Por lo tanto, el segundo problema del primo se puede resolver en todos los casos siempre que ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa en se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, existe una secuencia exacta de haces ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde el haz más a la izquierda es el haz localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo en el nivel de H ¹ está en , de la secuencia de cohomología exacta larga ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque para ello una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el segundo problema de Cousin sea siempre solucionable es que (esta condición se llama principio de Oka). ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Variedades analíticas y variedades con varias variables complejas

Colector Stein (colector Kähler no compacto)

Dado que una superficie de Riemann no compacta (abierta) ^[85] siempre tiene una función holomorfa unidimensional no constante, ^[86] y satisface el segundo axioma de contabilidad , la superficie de Riemann abierta es de hecho una variedad compleja unidimensional que posee una aplicación holomorfa en el plano complejo . (De hecho, Gunning y Narasimhan han demostrado (1967) ^[87] que cada superficie de Riemann no compacta en realidad tiene una inmersión holomorfa en el plano complejo. En otras palabras, hay una aplicación holomorfa en el plano complejo cuya derivada nunca se desvanece.) ^[88] El teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad n -dimensional suave puede incrustarse como una subvariedad suave de , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en . Por ejemplo, para una variedad compleja arbitraria compacta y conexa X , cada función holomorfa en ella es constante por el teorema de Liouville, y por lo tanto no puede tener ninguna incrustación en el espacio n complejo. Es decir, para varias variables complejas, las variedades complejas arbitrarias no siempre tienen funciones holomorfas que no sean constantes. Por lo tanto, considere las condiciones bajo las cuales una variedad compleja tiene una función holomorfa que no es una constante. Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de X en , entonces las funciones de coordenadas de se restringirían a funciones holomorfas no constantes en X , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que X sea solo un punto. Las variedades complejas en las que se pueden incrustar holomorfamente se denominan variedades de Stein. Además, las variedades de Stein satisfacen el segundo axioma de contabilidad. ^[89] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas. Fueron introducidas por Karl Stein (1951) y nombradas en honor a esa idea. ^[90] Un espacio de Stein es similar a una variedad de Stein, pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son los análogos de las variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. Si el dominio univalente en es una conexión a una variedad, puede considerarse como una variedad compleja y satisface la condición de separación descrita más adelante, la condición para convertirse en una variedad de Stein es satisfacer la convexidad holomorfa. Por lo tanto, la variedad de Stein es las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Definición

Suppose X is a paracompact complex manifolds of complex dimension ${\displaystyle n}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ denote the ring of holomorphic functions on X. We call X a Stein manifold if the following conditions hold:^[91]

1. X is holomorphically convex, i.e. for every compact subset ${\displaystyle K\subset X}$, the so-called holomorphically convex hull,

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},}$

   is also a compact subset of X.
2. X is holomorphically separable,^{[note 20]} i.e. if ${\displaystyle x\neq y}$ are two points in X, then there exists ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ such that ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
3. The open neighborhood of every point on the manifold has a holomorphic chart to the ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$.

Note that condition (3) can be derived from conditions (1) and (2).^[92]

Every non-compact (open) Riemann surface is a Stein manifold

Let X be a connected, non-compact (open) Riemann surface. A deep theorem of Behnke and Stein (1948)^[86] asserts that X is a Stein manifold.

Another result, attributed to Hans Grauert and Helmut Röhrl (1956), states moreover that every holomorphic vector bundle on X is trivial. In particular, every line bundle is trivial, so ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$. The exponential sheaf sequence leads to the following exact sequence:

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Now Cartan's theorem B shows that ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$, therefore ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$.

This is related to the solution of the second (multiplicative) Cousin problem.

Levi problems

Cartan extended Levi's problem to Stein manifolds.^[93]

If the relative compact open subset ${\displaystyle D\subset X}$ of the Stein manifold X is a Locally pseudoconvex, then D is a Stein manifold, and conversely, if D is a Locally pseudoconvex, then X is a Stein manifold. i.e. Then X is a Stein manifold if and only if D is locally the Stein manifold.^[94]

This was proved by Bremermann^[95] by embedding it in a sufficiently high dimensional ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, and reducing it to the result of Oka.^[29]

Also, Grauert proved for arbitrary complex manifolds M.^{[note 21][98][31][96]}

If the relative compact subset ${\displaystyle D\subset M}$ of a arbitrary complex manifold M is a strongly pseudoconvex on M, then M is a holomorphically convex (i.e. Stein manifold). Also, D is itself a Stein manifold.

And Narasimhan^[99][100] extended Levi's problem to complex analytic space, a generalized in the singular case of complex manifolds.

A Complex analytic space which admits a continuous strictly plurisubharmonic exhaustion function (i.e.strongly pseudoconvex) is Stein space.^[4]

Levi's problem remains unresolved in the following cases;

Suppose that X is a singular Stein space,^{[note 22]} ${\displaystyle D\subset \subset X}$ . Suppose that for all ${\displaystyle p\in \partial D}$ there is an open neighborhood ${\displaystyle U(p)}$ so that ${\displaystyle U\cap D}$ is Stein space. Is D itself Stein?^{[4][102][101]}

more generalized

Suppose that N be a Stein space and f an injective, and also ${\displaystyle f:M\to N}$ a Riemann unbranched domain, such that map f is a locally pseudoconvex map (i.e. Stein morphism). Then M is itself Stein ?^{[101][103]: 109}

and also,

Suppose that X be a Stein space and ${\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}}$ an increasing union of Stein open sets. Then D is itself Stein ?

This means that Behnke–Stein theorem, which holds for Stein manifolds, has not found a conditions to be established in Stein space. ^[101]

K-complete

Grauert introduced the concept of K-complete in the proof of Levi's problem.

Let X is complex manifold, X is K-complete if, to each point ${\displaystyle x_{0}\in X}$, there exist finitely many holomorphic map ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ of X into ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$, ${\displaystyle p=p(x_{0})}$, such that ${\displaystyle x_{0}}$ is an isolated point of the set ${\displaystyle A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}}$.^[98] This concept also applies to complex analytic space.^[104]

Properties and examples of Stein manifolds

• The standard^{[note 23]} complex space ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is a Stein manifold.
• Every domain of holomorphy in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is a Stein manifold.^[12]
• It can be shown quite easily that every closed complex submanifold of a Stein manifold is a Stein manifold, too.
• The embedding theorem for Stein manifolds states the following: Every Stein manifold X of complex dimension n can be embedded into ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$ by a biholomorphic proper map.^{[105][106][107]}

These facts imply that a Stein manifold is a closed complex submanifold of complex space, whose complex structure is that of the ambient space (because the embedding is biholomorphic).

• Every Stein manifold of (complex) dimension n has the homotopy type of an n-dimensional CW-Complex.^[108]
• In one complex dimension the Stein condition can be simplified: a connected Riemann surface is a Stein manifold if and only if it is not compact. This can be proved using a version of the Runge theorem^[109] for Riemann surfaces,^{[note 24]} due to Behnke and Stein.^[86]
• Every Stein manifold X is holomorphically spreadable, i.e. for every point ${\displaystyle x\in X}$, there are n holomorphic functions defined on all of X which form a local coordinate system when restricted to some open neighborhood of x.
• The first Cousin problem can always be solved on a Stein manifold.
• Being a Stein manifold is equivalent to being a (complex) strongly pseudoconvex manifold. The latter means that it has a strongly pseudoconvex (or plurisubharmonic) exhaustive function,^[98] i.e. a smooth real function ${\displaystyle \psi }$ on X (which can be assumed to be a Morse function) with ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$,^[98] such that the subsets ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ are compact in X for every real number c. This is a solution to the so-called Levi problem,^[110] named after E. E. Levi (1911). The function ${\displaystyle \psi }$ invites a generalization of Stein manifold to the idea of a corresponding class of compact complex manifolds with boundary called Stein domain.^[111] A Stein domain is the preimage ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$. Some authors call such manifolds therefore strictly pseudoconvex manifolds.
• Related to the previous item, another equivalent and more topological definition in complex dimension 2 is the following: a Stein surface is a complex surface X with a real-valued Morse function f on X such that, away from the critical points of f, the field of complex tangencies to the preimage ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ is a contact structure that induces an orientation on X_c agreeing with the usual orientation as the boundary of ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ That is, ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$ is a Stein filling of X_c.

Numerous further characterizations of such manifolds exist, in particular capturing the property of their having "many" holomorphic functions taking values in the complex numbers. See for example Cartan's theorems A and B, relating to sheaf cohomology.

In the GAGA set of analogies, Stein manifolds correspond to affine varieties.^[112]

Stein manifolds are in some sense dual to the elliptic manifolds in complex analysis which admit "many" holomorphic functions from the complex numbers into themselves. It is known that a Stein manifold is elliptic if and only if it is fibrant in the sense of so-called "holomorphic homotopy theory".

Complex projective varieties (compact complex manifold)

Meromorphic function in one-variable complex function were studied in a compact (closed) Riemann surface, because since the Riemann-Roch theorem (Riemann's inequality) holds for compact Riemann surfaces (Therefore the theory of compact Riemann surface can be regarded as the theory of (smooth (non-singular) projective) algebraic curve over ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[113][114]). In fact, compact Riemann surface had a non-constant single-valued meromorphic function^[85], and also a compact Riemann surface had enough meromorphic functions. A compact one-dimensional complex manifold was a Riemann sphere ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$. However, the abstract notion of a compact Riemann surface is always algebraizable (The Riemann's existence theorem, Kodaira embedding theorem.),^{[note 25]} but it is not easy to verify which compact complex analytic spaces are algebraizable.^[115] In fact, Hopf found a class of compact complex manifolds without nonconstant meromorphic functions.^[56] However, there is a Siegel result that gives the necessary conditions for compact complex manifolds to be algebraic.^[116] The generalization of the Riemann-Roch theorem to several complex variables was first extended to compact analytic surfaces by Kodaira,^[117] Kodaira also extended the theorem to three-dimensional,^[118] and n-dimensional Kähler varieties.^[119] Serre formulated the Riemann–Roch theorem as a problem of dimension of coherent sheaf cohomology,^[6] and also Serre proved Serre duality.^[120] Cartan and Serre proved the following property:^[121] the cohomology group is finite-dimensional for a coherent sheaf on a compact complex manifold M.^[122] Riemann–Roch on a Riemann surface for a vector bundle was proved by Weil in 1938.^[123] Hirzebruch generalized the theorem to compact complex manifolds in 1994^[124] and Grothendieck generalized it to a relative version (relative statements about morphisms.).^[125][126] Next, the generalization of the result that "the compact Riemann surfaces are projective" to the high-dimension. In particular, consider the conditions that when embedding of compact complex submanifold X into the complex projective space ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$. ^{[note 26]} The vanishing theorem (was first introduced by Kodaira in 1953) gives the condition, when the sheaf cohomology group vanishing, and the condition is to satisfy a kind of positivity. As an application of this theorem, the Kodaira embedding theorem^[127] says that a compact Kähler manifold M, with a Hodge metric, there is a complex-analytic embedding of M into complex projective space of enough high-dimension N. In addition the Chow's theorem^[128] shows that the complex analytic subspace (subvariety) of a closed complex projective space to be an algebraic that is, so it is the common zero of some homogeneous polynomials, such a relationship is one example of what is called Serre's GAGA principle.^[8] The complex analytic sub-space(variety) of the complex projective space has both algebraic and analytic properties. Then combined with Kodaira's result, a compact Kähler manifold M embeds as an algebraic variety. This result gives an example of a complex manifold with enough meromorphic functions. Broadly, the GAGA principle says that the geometry of projective complex analytic spaces (or manifolds) is equivalent to the geometry of projective complex varieties. The combination of analytic and algebraic methods for complex projective varieties lead to areas such as Hodge theory. Also, the deformation theory of compact complex manifolds has developed as Kodaira–Spencer theory. However, despite being a compact complex manifold, there are counterexample of that cannot be embedded in projective space and are not algebraic.^[129] Analogy of the Levi problems on the complex projective space ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ by Takeuchi.^{[4][130][131][132]}

See also

• Bicomplex number
• Complex geometry
• CR manifold
• Dolbeault cohomology
• Harmonic maps
• Harmonic morphisms
• Infinite-dimensional holomorphy
• Oka–Weil theorem

Annotation

1. That is an open connected subset.
2. A name adopted, confusingly, for the geometry of zeroes of analytic functions; this is not the analytic geometry learned at school. (In other words, in the sense of GAGA on Serre.)^[8]
3. The field of complex numbers is a 2-dimensional vector space over real numbers.
4. Note that this formula only holds for polydisc. See §Bochner–Martinelli formula for the Cauchy's integral formula on the more general domain.
5. According to the Jordan curve theorem, domain D is bounded closed set, that is, each domain ${\displaystyle D_{\nu }}$ is compact.
6. But there is a point where it converges outside the circle of convergence. For example if one of the variables is 0, then some terms, represented by the product of this variable, will be 0 regardless of the values taken by the other variables. Therefore, even if you take a variable that diverges when a variable is other than 0, it may converge.
7. When described using the domain of holomorphy, which is a generalization of the convergence domain, a Reinhardt domain is a domain of holomorphy if and only if logarithmically convex.
8. This theorem holds even if the condition is not restricted to the bounded. i.e. The theorem holds even if this condition is replaced with an open set.^[20]
9. Oka says that^[32] the contents of these two papers are different.^[33]
10. The idea of the sheaf itself is by Jean Leray.
11. In fact, this was proved by Kiyoshi Oka^[28] with respect to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ domain.See Oka's lemma.
12. This is a hullomorphically convex hull condition expressed by a plurisubharmonic function. For this reason, it is also called p-pseudoconvex or simply p-convex.
13. Definition of weakly 1-complete.^[59]
14. In algebraic geometry, there is a problem whether it is possible to remove the singular point of the complex analytic space by performing an operation called modification^[60][61] on the complex analytic space (when n = 2, the result by Hirzebruch,^[62] when n = 3 the result by Zariski^[63] for algebraic varietie.), but, Grauert and Remmert has reported an example of a domain that is neither pseudoconvex nor holomorphic convex, even though it is a domain of holomorphy:^[64]
15. This relation is called the Cartan–Thullen theorem.^[65]
16. See Oka's lemma
17. Oka's proof uses Oka pseudoconvex instead of Cartan pseudoconvex.
18. There are some counterexamples in the domain of holomorphicity regarding second Cousin problem.^[80][81]
19. This is called the classic Cousin problem.^[39]
20. From this condition, we can see that the Stein manifold is not compact.
21. Levi problem is not true for domains in arbitrary manifolds.^[31][96][97]
22. In the case of Stein space with isolated singularities, it has already been positively solved by Narasimhan.^[4][101]
23. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}}$ ( ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$ is a projective complex varieties) does not become a Stein manifold, even if it satisfies the holomorphic convexity.
24. The proof method uses an approximation by the polyhedral domain, as in Oka-Weil theorem.
25. Note that the Riemann extension theorem and its references explained in the linked article includes a generalized version of the Riemann extension theorem by Grothendieck that was proved using the GAGA principle, also every one-dimensional compact complex manifold is a Hodge manifold.
26. This is the standard method for compactification of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, but not the only method like the Riemann sphere that was compactification of ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

References

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Further reading

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Enlaces externos

• Deliciosos fragmentos de varias variables complejas, libro de código abierto de Jiří Lebl
• Geometría analítica compleja y diferencial (libro OpenContent Ver B2)
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• Victor Guillemin. 18.117 Temas en varias variables complejas. Primavera de 2005. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencia: Creative Commons BY-NC-SA .
• Este artículo incorpora material de los siguientes artículos de PlanetMath , que están licenciados bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual : dominio de Reinhardt, holomorfamente convexo, dominio de holomorfía, polidisco, biholomórficamente equivalente, pseudoconvexo de Levi, pseudoconvexo, función de agotamiento.