Función de varias variables complejas

Tipos de funciones matemáticas

La teoría de funciones de varias variables complejas es la rama de las matemáticas que estudia las funciones definidas en el espacio de coordenadas complejo , es decir, n -tuplas de números complejos . El campo que estudia las propiedades de estas funciones se denomina varias variables complejas (y espacio analítico ), que la Clasificación Asignatura de Matemáticas tiene como título de nivel superior. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Al igual que en el análisis complejo de funciones de una variable , que es el caso n = 1 , las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables z _i . Equivalentemente, son límites localmente uniformes de polinomios ; o soluciones localmente integrables al cuadrado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann n -dimensionales. ^{[1] [2] [3]} Para una variable compleja, cada dominio ^{[nota 1]} ( ), es el dominio de holomorfía de alguna función, en otras palabras, cada dominio tiene una función para la cual es el dominio de la holomorfía. ^{[4] [5]} Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios ( ) que no son el dominio de la holomorfía de ninguna función, y por lo tanto no siempre es el dominio de la holomorfía, por lo que el dominio de la holomorfía es uno de los temas en este campo. ^[4] El parcheo de los datos locales de funciones meromórficas , es decir, el problema de crear una función meromórfica global a partir de ceros y polos, se denomina problema de Cousin. Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son fundamentalmente importantes para el estudio de variedades complejas compactas y variedades proyectivas complejas ( ) ^[6] y tiene un sabor diferente a la geometría analítica compleja en o sobre las variedades de Stein , estas son mucho más similares al estudio de las variedades algebraicas que es el estudio de la geometría algebraica que la geometría analítica compleja. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Perspectiva histórica

Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX: funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas , y también, como ejemplo de un problema inverso; el problema de inversión de Jacobi . ^[7] Naturalmente, también la misma función de una variable que depende de algún parámetro complejo es un candidato. Sin embargo, la teoría durante muchos años no se convirtió en un campo completo en el análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no fueron descubiertos. El teorema de preparación de Weierstrass ahora se clasificaría como álgebra conmutativa ; justificó la imagen local, ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación de la teoría de superficies de Riemann .

Con el trabajo de Friedrich Hartogs , Pierre Cousin  [fr] , EE Levi y Kiyoshi Oka en la década de 1930, comenzó a surgir una teoría general; otros que trabajaban en el área en ese momento fueron Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger y Francesco Severi . Hartogs demostró algunos resultados básicos, como que cada singularidad aislada es removible , para cada función analítica siempre que n > 1. Naturalmente, los análogos de las integrales de contorno serán más difíciles de manejar; cuando n = 2, una integral que rodea un punto debe ser sobre una variedad tridimensional (ya que estamos en cuatro dimensiones reales), mientras que la iteración de integrales de contorno (línea) sobre dos variables complejas separadas debe llegar a una integral doble sobre una superficie bidimensional. Esto significa que el cálculo de residuos tendrá que tomar un carácter muy diferente. $${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

Después de 1945, un trabajo importante en Francia, en el seminario de Henri Cartan , y en Alemania con Hans Grauert y Reinhold Remmert , cambió rápidamente el panorama de la teoría. Se aclararon varias cuestiones, en particular la de la continuación analítica . Aquí es evidente una diferencia importante con la teoría de una variable; mientras que para cada conjunto abierto conexo D en podemos encontrar una función que en ningún lugar continuará analíticamente más allá del límite, eso no puede decirse para n > 1. De hecho, las D de ese tipo son bastante especiales en su naturaleza (especialmente en espacios de coordenadas complejos y variedades de Stein, que satisfacen una condición llamada pseudoconvexidad ). Los dominios naturales de definición de funciones, continuados hasta el límite, se llaman variedades de Stein y su naturaleza era hacer que los grupos de cohomología de haces se anularan, por otro lado, el teorema de anulación de Grauert-Riemenschneider es conocido como un resultado similar para variedades complejas compactas, y la conjetura de Grauert-Riemenschneider es un caso especial de la conjetura de Narasimhan. ^[4] De hecho, fue la necesidad de poner (en particular) el trabajo de Oka sobre una base más clara lo que llevó rápidamente al uso consistente de haces para la formulación de la teoría (con importantes repercusiones para la geometría algebraica , en particular a partir del trabajo de Grauert). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

A partir de este punto, se desarrolló una teoría fundacional que podía aplicarse a la geometría analítica , ^{[nota 2]} a las formas automórficas de varias variables y a las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la deformación de estructuras complejas y variedades complejas fue descrita en términos generales por Kunihiko Kodaira y DC Spencer . El célebre artículo GAGA de Serre ^[8] señaló el punto de cruce entre la geometría analítica y la geometría algébrique .

Se escuchó a CL Siegel quejarse de que la nueva teoría de funciones de varias variables complejas tenía pocas funciones , lo que significa que el lado de la función especial de la teoría estaba subordinado a los haces. El interés de la teoría de números , ciertamente, está en generalizaciones específicas de formas modulares . Los candidatos clásicos son las formas modulares de Hilbert y las formas modulares de Siegel . En la actualidad, estas se asocian a grupos algebraicos (respectivamente, la restricción de Weil a partir de un cuerpo de números totalmente reales de GL (2) y el grupo simpléctico ), para los cuales sucede que las representaciones automórficas se pueden derivar de funciones analíticas. En cierto sentido, esto no contradice a Siegel; la teoría moderna tiene sus propias direcciones diferentes.

Los desarrollos posteriores incluyeron la teoría de la hiperfunción y el teorema del borde de la cuña , ambos inspirados en la teoría cuántica de campos . Hay varios otros campos, como la teoría del álgebra de Banach , que se basan en varias variables complejas.

El espacio de coordenadas complejo

El espacio de coordenadas complejo es el producto cartesiano de n copias de , y cuando es un dominio de holomorfía, puede considerarse como una variedad de Stein , y un espacio de Stein más generalizado. también se considera una variedad proyectiva compleja , una variedad de Kähler , ^[9] etc. También es un espacio vectorial n -dimensional sobre los números complejos , lo que da su dimensión 2 n sobre . ^{[nota 3]} Por lo tanto, como conjunto y como espacio topológico , puede identificarse con el espacio de coordenadas real y su dimensión topológica es, por tanto, 2 n . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

En un lenguaje libre de coordenadas, cualquier espacio vectorial sobre números complejos puede considerarse como un espacio vectorial real con el doble de dimensiones, donde una estructura compleja se especifica mediante un operador lineal J (tal que J ² = − I ) que define la multiplicación por la unidad imaginaria i .

Cualquier espacio de este tipo, como espacio real, está orientado . En el plano complejo considerado como plano cartesiano , la multiplicación por un número complejo w = u + iv puede representarse mediante la matriz real

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

con determinante

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$

De la misma manera, si se expresa cualquier operador lineal complejo de dimensión finita como una matriz real (que estará compuesta por bloques 2 × 2 de la forma antes mencionada), entonces su determinante es igual al cuadrado del valor absoluto del determinante complejo correspondiente. Es un número no negativo, lo que implica que la orientación (real) del espacio nunca se invierte por un operador complejo. Lo mismo se aplica a los jacobianos de funciones holomorfas de a . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Funciones holomorfas

Definición

Una función f definida en un dominio y con valores en se dice que es holomorfa en un punto si es compleja-diferenciable en ese punto, en el sentido de que existe una función lineal compleja tal que ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Se dice que la función f es holomorfa si es holomorfa en todos los puntos de su dominio de definición D.

Si f es holomorfo, entonces todas las funciones parciales:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

son holomorfas como funciones de una variable compleja: decimos que f es holomorfa en cada variable por separado. Por el contrario, si f es holomorfa en cada variable por separado, entonces f es de hecho holomorfa: esto se conoce como el teorema de Hartog , o como el lema de Osgood bajo la hipótesis adicional de que f es continua .

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

En una variable compleja, una función definida en el plano es holomorfa en un punto si y sólo si su parte real y su parte imaginaria satisfacen las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann en  : ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)}$$

En varias variables, una función es holomorfa si y sólo si es holomorfa en cada variable por separado, y por tanto si y sólo si la parte real y la parte imaginaria satisfacen las ecuaciones de Cauchy y Riemann: ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}}$$

Utilizando el formalismo de las derivadas de Wirtinger , esto se puede reformular como: o incluso de forma más compacta utilizando el formalismo de las formas diferenciales complejas , como: $${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,}$$ $${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$$

Fórmula integral de Cauchy I (versión Polydisc)

Demuestre la suficiencia de dos condiciones (A) y (B). Sea f cumple las condiciones de ser continua y homomorfa por separado en el dominio D. Cada disco tiene una curva rectificable , es suave por partes , curva cerrada de clase Jordan. ( ) Sea el dominio rodeado por cada . El cierre del producto cartesiano es . Además, tome el polidisco cerrado de modo que se convierta en . ( y sea el centro de cada disco.) Usando la fórmula integral de Cauchy de una variable repetidamente, ^{[nota 4]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle D_{\nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Debido a que es una curva cerrada de Jordania rectificable ^{[nota 5]} y f es continua, el orden de los productos y las sumas se puede intercambiar para que la integral iterada se pueda calcular como una integral múltiple . Por lo tanto, ${\displaystyle \partial D}$

Fórmula de evaluación de Cauchy

Como el orden de los productos y las sumas es intercambiable, de ( 1 ) obtenemos

f es una función de clase. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

De (2), si f es holomorfo, en polidisco y , se obtiene la siguiente ecuación de evaluación. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Por lo tanto, el teorema de Liouville es válido.

Expansión en serie de potencias de funciones holomorfas en polidisco

Si la función f es holomorfa, en el polidisco , a partir de la fórmula integral de Cauchy, podemos ver que puede expandirse de forma única a la siguiente serie de potencias. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Además, f que satisface las siguientes condiciones se llama función analítica.

Para cada punto , se expresa como una expansión en serie de potencias que es convergente en D  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Ya hemos explicado que las funciones holomorfas sobre un polidisco son analíticas. Además, a partir del teorema derivado por Weierstrass, podemos ver que la función analítica sobre un polidisco (serie de potencias convergentes) es holomorfa.

Si una secuencia de funciones converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D , la función límite f de también converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D . Además, la derivada parcial respectiva de también converge de manera compacta en el dominio D a la derivada correspondiente de f . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^[10]

Radio de convergencia de series de potencias

Es posible definir una combinación de números reales positivos tales que la serie de potencias converja uniformemente en y no converja uniformemente en . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

De esta manera es posible tener una combinación similar de radios de convergencia ^{[nota 6]} para una variable compleja. Esta combinación generalmente no es única y existe un número infinito de combinaciones.

Expansión de la serie Laurent

Sea holomorfo en el anillo y continuo en su circunferencia, entonces existe el siguiente desarrollo; ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}}$

La integral en el segundo término, del lado derecho se realiza de manera que se vea el cero a la izquierda en cada plano, además esta serie integrada es uniformemente convergente en el anillo , donde y , y por lo tanto es posible integrar el término. ^[11] ${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$ ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$ ${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Fórmula de Bochner-Martinelli (fórmula integral de Cauchy II)

La fórmula integral de Cauchy solo es válida para polidiscos y, en el dominio de varias variables complejas, los polidiscos son solo uno de los muchos dominios posibles, por lo que introducimos la fórmula de Bochner-Martinelli .

Supóngase que f es una función continuamente diferenciable en el cierre de un dominio D en con borde liso por partes , y sea que el símbolo denota el producto exterior o de cuña de formas diferenciales. Entonces la fórmula de Bochner-Martinelli establece que si z está en el dominio D entonces, para , z en el núcleo de Bochner-Martinelli es una forma diferencial en de bigrado , definida por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (n,n-1)}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

En particular, si f es holomorfo, el segundo término se desvanece, por lo que

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Teorema de identidad

Las funciones holomorfas de varias variables complejas satisfacen un teorema de identidad , como en una variable: dos funciones holomorfas definidas en el mismo conjunto abierto conexo y que coinciden en un subconjunto abierto N de D , son iguales en todo el conjunto abierto D. Este resultado se puede demostrar a partir del hecho de que las funciones holomorfas tienen extensiones de series de potencias, y también se puede deducir del caso de una variable. Al contrario que en el caso de una variable, es posible que dos funciones holomorfas diferentes coincidan en un conjunto que tenga un punto de acumulación, por ejemplo las funciones y coincidan en toda la recta compleja de definida por la ecuación . ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z_{1},z_{2})=0}$ ${\displaystyle g(z_{1},z_{2})=z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}=0}$

También se cumplen el principio de maximización , el teorema de la función inversa y los teoremas de la función implícita. Para una versión generalizada del teorema de la función implícita para variables complejas, consulte el teorema de preparación de Weierstrass .

Biholomorfismo

A partir del establecimiento del teorema de la función inversa, se puede definir la siguiente aplicación.

Para el dominio U , V del espacio complejo n -dimensional , la función holomorfa biyectiva y la aplicación inversa también es holomorfa. En este caso, se denomina también biholomorfismo U , V , decimos que U y V son biholomórficamente equivalentes o que son biholomórficas. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle \phi }$

El teorema de aplicación de Riemann no se cumple

Cuando , las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficamente equivalentes, es decir, no hay una aplicación biholomórfica entre los dos. ^[12] Esto fue demostrado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen dimensiones diferentes a los grupos de Lie . ^{[5] [13]} Sin embargo, incluso en el caso de varias variables complejas, hay algunos resultados similares a los resultados de la teoría de uniformización en una variable compleja. ^[14] ${\displaystyle n>1}$

Continuación analítica

Sea U, V un dominio en , tal que y , ( es el conjunto/anillo de funciones holomorfas en U .) supongamos que y es un componente conexo de . Si entonces se dice que f está conexo a V , y se dice que g es una continuación analítica de f . Del teorema de identidad, si g existe, para cada forma de elegir W es único. Cuando n > 2, ocurre el siguiente fenómeno dependiendo de la forma del límite : existe un dominio U , V , tal que todas las funciones holomorfas sobre el dominio U , tienen una continuación analítica . En otras palabras, puede no existir una función tal que como límite natural. Se llama fenómeno de Hartogs. Por lo tanto, investigar cuándo los límites de dominio se convierten en límites naturales se ha convertido en uno de los principales temas de investigación de varias variables complejas. Además, cuando , sería que la V anterior tiene una parte de intersección con U distinta de W . Esto contribuyó al avance de la noción de cohomología de haces. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Dominio Reinhardt

En los polidiscos, se cumple la fórmula integral de Cauchy y se define la expansión en serie de potencias de funciones holomorfas, pero los polidiscos y las bolas unitarias abiertas no son aplicaciones biholomorfas porque el teorema de aplicación de Riemann no se cumple y, además, los polidiscos eran posibles para la separación de variables, pero no siempre se cumple para cualquier dominio. Por lo tanto, para estudiar el dominio de convergencia de la serie de potencias, fue necesario hacer una restricción adicional en el dominio, este fue el dominio de Reinhardt. Los primeros conocimientos sobre las propiedades del campo de estudio de varias variables complejas, como logarítmicamente convexas, el teorema de extensión de Hartogs, etc., se dieron en el dominio de Reinhardt.

Sea ( ) un dominio, con centro en un punto , tal que, junto con cada punto , el dominio también contiene el conjunto ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio D se denomina dominio Reinhardt si satisface las siguientes condiciones: ^{[15] [16]}

Sea un número real arbitrario, cuyo dominio D es invariante bajo la rotación: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Los dominios de Reinhardt que se definen por la siguiente condición; Junto con todos los puntos de , el dominio contiene el conjunto ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Un dominio de Reinhardt D se denomina dominio de Reinhardt completo con centro en un punto a si junto con todos los puntos también contiene el polidisco ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio de Reinhardt completo D es similar a una estrella con respecto a su centro a . Por lo tanto, el dominio de Reinhardt completo es simplemente conexo , incluso cuando el dominio de Reinhardt completo es la línea límite, existe una manera de demostrar el teorema integral de Cauchy sin usar el teorema de la curva de Jordan .

Logarítmicamente convexo

Cuando un dominio de Reinhardt completo es el dominio de convergencia de una serie de potencias, se requiere una condición adicional, que se denomina logarítmico-convexa.

Un dominio de Reinhardt D se llama logarítmicamente convexo si la imagen del conjunto ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

bajo el mapeo

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

es un conjunto convexo en el espacio de coordenadas reales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cada uno de estos dominios en es el interior del conjunto de puntos de convergencia absoluta de alguna serie de potencias en , y viceversa; El dominio de convergencia de cada serie de potencias en es un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo con centro . ^{[nota 7]} Pero, hay un ejemplo de un dominio de Reinhardt completo D que no es logarítmicamente convexo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle a=0}$

Algunos resultados

Teorema de extensión de Hartogs y fenómeno de Hartogs

Al examinar el dominio de convergencia en el dominio de Reinhardt, Hartogs encontró el fenómeno de Hartogs en el que las funciones holomorfas en algún dominio estaban todas conectadas a un dominio mayor. ^[18] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

En el polidisco formado por dos discos cuando . ${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Dominio interno de ${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Teorema de extensión de Hartogs (1906); ^[19] Sea f una función holomorfa en un conjunto G  \  K , donde G es un dominio acotado (rodeado por una curva de Jordan cerrada rectificable) ^{[nota 8]} en ( n ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G  \  K es conexo, entonces cada función holomorfa f independientemente de cómo se elija puede extenderse cada una a una función holomorfa única en G . ^{[21] [20]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También se denomina teorema de Osgood-Brown y afirma que, para funciones holomorfas de varias variables complejas, la singularidad es un punto de acumulación, no un punto aislado. Esto significa que las diversas propiedades que se cumplen para funciones holomorfas de variables complejas de una variable no se cumplen para funciones holomorfas de varias variables complejas. La naturaleza de estas singularidades también se deriva del teorema de preparación de Weierstrass . En 2007 se demostró una generalización de este teorema utilizando el mismo método que el de Hartogs. ^{[22] [23]}

Del teorema de extensión de Hartogs, el dominio de convergencia se extiende desde hasta . Si lo analizamos desde la perspectiva del dominio de Reinhardt, es el dominio de Reinhardt que contiene el centro z = 0, y el dominio de convergencia de se ha extendido hasta el dominio de Reinhardt completo más pequeño que contiene . ^[24] ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Los resultados clásicos de Thullen

El resultado clásico de Thullen ^[25] dice que un dominio de Reinhard acotado bidimensional que contiene el origen es biholomorfo a uno de los siguientes dominios siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismos tenga dimensión positiva:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(polidisco);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$(bola unitaria);
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$(Dominio Thullen).

Resultados de Sunada

Toshikazu Sunada (1978) ^[26] estableció una generalización del resultado de Thullen:

Dos dominios de Reinhardt acotados de dimensión n y son mutuamente biholomorfos si y solo si existe una transformación dada por , que es una permutación de los índices), tal que . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Dominio natural de la función holomorfa (dominio de la holomorfía)

Al pasar de la teoría de una variable compleja a la teoría de varias variables complejas, dependiendo del rango del dominio, puede que no sea posible definir una función holomorfa tal que el límite del dominio se convierta en un límite natural. Considerando el dominio donde los límites del dominio son límites naturales (en el espacio de coordenadas complejo llamado dominio de holomorfía), el primer resultado del dominio de holomorfía fue la convexidad holomorfa de H . Cartan y Thullen. ^[27] El problema de Levi muestra que el dominio pseudoconvexo era un dominio de holomorfía. (Primero para , ^[28] luego extendido a . ^{[29] [30]} ) ^[31] La noción de ideal de dominios indeterminados de Kiyoshi Oka ^{[34] [35] es interpretada por la teoría de} la cohomología de haces por H . Cartan y más desarrollo Serre. ^{[nota 10] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [6]} En la cohomología de haces, el dominio de la holomorfía ha llegado a interpretarse como la teoría de las variedades de Stein. ^[42] La noción del dominio de la holomorfía también se considera en otras variedades complejas, además también en el espacio analítico complejo que es su generalización. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Dominio de la holomorfía

Los conjuntos en la definición. Nota: En esta sección, reemplace en la figura con D ${\displaystyle \Omega }$

Cuando una función f es holomorfa en el dominio y no puede conectarse directamente con el dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio , el dominio D se llama dominio de holomorfía de f y el límite se llama límite natural de f . En otras palabras, el dominio de holomorfía D es el supremo del dominio donde la función holomorfa f es holomorfa, y el dominio D , que es holomorfo, no puede extenderse más. Para varias variables complejas, es decir, dominio , los límites pueden no ser límites naturales. El teorema de extensión de Hartogs da un ejemplo de un dominio donde los límites no son límites naturales. ^[43] ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Formalmente, un dominio D en el espacio de coordenadas complejo n -dimensional se denomina dominio de holomorfía si no existen dominios no vacíos y , y tales que para cada función holomorfa f en D existe una función holomorfa g en V con en U . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V\not \subset D}$ ${\displaystyle U\subset D\cap V}$ ${\displaystyle f=g}$

Para el caso, el dominio de cada ( ) era el dominio de la holomorfía; podemos definir una función holomorfa con ceros acumulándose en todas partes en el límite del dominio, que debe ser entonces un límite natural para un dominio de definición de su recíproco. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

Propiedades del dominio de la holomorfía

• Si son dominios de holomorfía, entonces su intersección también es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Si es una secuencia creciente de dominios de holomorfía, entonces su unión también es un dominio de holomorfía (véase el teorema de Behnke-Stein ). ^[44] ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Si y son dominios de holomorfía, entonces es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• El primer problema de Cousin siempre se puede resolver en un dominio de holomorfía; además, Cartan demostró que el inverso de este resultado era incorrecto para . ^[45] Esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema de Cousin. ${\displaystyle n\geq 3}$

Cáscara holomórficamente convexa

Sea un dominio o, alternativamente, para una definición más general, sea una variedad analítica compleja dimensional . Además, sea el conjunto de funciones holomorfas en G. Para un conjunto compacto , la envoltura holomorfamente convexa de K es ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.}$

Se obtiene un concepto más estrecho de envoltura polinomialmente convexa al tomar en cambio como el conjunto de funciones polinomiales de valores complejos en G . La envoltura polinomialmente convexa contiene la envoltura holomorfamente convexa. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

El dominio se llama holomorfo-convexo si para cada subconjunto compacto también es compacto en G. A veces esto simplemente se abrevia como holomorfo-convexo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Cuando , cada dominio es holomorfamente convexo ya que entonces es la unión de K con los componentes relativamente compactos de . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Cuando , si f satisface la convexidad holomorfa anterior en D, tiene las siguientes propiedades. para cada subconjunto compacto K en D , donde denota la distancia entre K y . Además, en este momento, D es un dominio de holomorfía. Por lo tanto, cada dominio convexo es dominio de holomorfía. ^[5] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$ ${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Pseudoconvexidad

Hartogs demostró que

Hartogs (1906): ^[19] Sea D un dominio de Hartogs en y R una función positiva en D tal que el conjunto en definido por y es un dominio de holomorfía. Entonces es una función subarmónica en D . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}\in D}$ ${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$ ${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Si tales relaciones se dan en el dominio de la holomorfía de varias variables complejas, parece una condición más manejable que una holomorfía convexa. ^{[nota 11]} La función subarmónica parece una especie de función convexa , por lo que Levi la denominó dominio pseudoconvexo (pseudoconvexidad de Hartog). Los dominios pseudoconvexos (límites de la pseudoconvexidad) son importantes, ya que permiten la clasificación de los dominios de holomorfía. Un dominio de holomorfía es una propiedad global; por el contrario, la pseudoconvexidad es esa propiedad analítica local o geométrica local del límite de un dominio. ^[46]

Definición de función plurisubarmónica

Una función

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

con dominio ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

se llama plurisubarmónico si es semicontinuo superior y para cada línea compleja

${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$con ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$

La función es una función subarmónica en el conjunto. ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

En términos generales , la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera: Una función semicontinua superior ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

se dice que es plurisubarmónico si y solo si para cualquier mapa holomorfo

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$La función

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

es subarmónico, donde denota el disco unitario. ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} }$

En una función compleja de una variable, la condición necesaria y suficiente de que la función de valor real , que puede ser diferenciable en segundo orden con respecto a z de una función compleja de una variable, sea subarmónica es . Por lo tanto, si es de clase , entonces es plurisubarmónica si y solo si la matriz hermítica es semidefinida positiva. ${\displaystyle u=u(z)}$ ${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

De manera equivalente, una -función u es plurisubarmónica si y solo si es una forma (1,1) positiva . ^{[47] : 39–40} ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$

Función estrictamente plurisubarmónica

Cuando la matriz hermítica de u es positiva-definida y de clase , llamamos u una función plurisubarmónica estricta. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

(Débilmente) pseudoconvexo (p-pseudoconvexo)

La pseudoconvexa débil se define como: Sea un dominio. Se dice que X es pseudoconvexa si existe una función plurisubarmónica continua en X tal que el conjunto es un subconjunto relativamente compacto de X para todos los números reales x . ^{[nota 12]} es decir, existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave . A menudo, la definición de pseudoconvexa se utiliza aquí y se escribe como; Sea X una variedad compleja de n -dimensional. Entonces se dice que es pseudoconvexa débil existe una función de agotamiento plurisubarmónica suave . ^{[47] : 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo

Sea X una variedad compleja de n dimensiones. Fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa si existe una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica suave , es decir, es definida positiva en cada punto. El dominio fuertemente pseudoconvexo es el dominio pseudoconvexo. ^{[47] : 49} Fuertemente pseudoconvexo y estrictamente pseudoconvexo (es decir, 1-convexo y 1-completo ^[48] ) se usan a menudo indistintamente, ^[49] consulte Lempert ^[50] para la diferencia técnica. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle H\psi }$

Forma de Levi

Pseudoconvexidad (débil) de Levi(–Krzoska)

Si el límite es , se puede demostrar que D tiene una función definitoria; es decir, que existe una función que es tal que , y . Ahora bien, D es pseudoconvexa si y solo si para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[5] [51]}

Si D no tiene un límite, el siguiente resultado de aproximación puede ser útil. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Proposición 1 Si D es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos de Levi fuertemente acotados con límite de clase que son relativamente compactos en ${\displaystyle D_{k}\subset D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ D , tales que

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tenemos un como en la definición, en realidad podemos encontrar una función de agotamiento. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexo de Levi (–Krzoska) (también conocido como Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo)

Cuando la forma de Levi (–Krzoska) es definida positiva, se denomina fuertemente pseudoconvexa de Levi (–Krzoska) o, a menudo, simplemente fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa. ^[5]

Levi total pseudoconvexo

Si para cada punto límite de D existe una variedad analítica que pasa y se encuentra completamente fuera de D en algún entorno alrededor de , excepto el punto mismo, el dominio D que satisface estas condiciones se denomina pseudoconvexo total de Levi. ^[52] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Oka pseudoconvexo

Familia de discos de Oka

Sean n -funciones continuas en , holomorfas en cuando el parámetro t está fijo en [0, 1], y supongamos que no son todas cero en ningún punto de . Entonces el conjunto se denomina disco analítico que depende de un parámetro t , y se denomina su capa. Si y , Q(t) se denomina Familia del disco de Oka. ^{[52] [53]} ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ ${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}}$ ${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}}$ ${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$ ${\displaystyle B(0)\subset D}$

Definición

Cuando se cumple en cualquier familia del disco de Oka, D se llama Oka pseudoconvexo. ^[52] La prueba de Oka del problema de Levi fue que cuando el dominio de Riemann no ramificado sobre ^[54] era un dominio de holomorfía (holomórficamente convexo), se demostró que era necesario y suficiente que cada punto límite del dominio de holomorfía fuera un Oka pseudoconvexo. ^{[29] [53]} ${\displaystyle Q(0)\subset D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Pseudoconvexo local (también conocido como pseudoconvexo local de Stein, pseudoconvexo de Cartan, propiedad local de Levi)

Para cada punto existe un entorno U de x y f holomorfo (es decir, holomorfamente convexo) tal que f no puede extenderse a ningún entorno de x . Es decir, sea una función holomorfa, si cada punto tiene un entorno U tal que admite una función de agotamiento -plurisubarmónica (débilmente 1-completa ^[55] ), en esta situación, decimos que X es localmente pseudoconvexo (o localmente Stein) sobre Y. Como nombre antiguo, también se le llama pseudoconvexo de Cartan. En el dominio localmente pseudoconvexo es en sí mismo un dominio pseudoconvexo y es un dominio de holomorfía. ^{[56] [52]} Por ejemplo, Diederich–Fornæss ^[57] encontró dominios acotados pseudoconvexos locales con borde suave en variedades no Kähler tales que no es débilmente 1-completa. ^{[58] [nota 13]} ${\displaystyle x\in \partial D}$ ${\displaystyle U\cap D}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Condiciones equivalentes al dominio de la holomorfía

Para un dominio las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[nota 14]} ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D es un dominio de holomorfía.
2. D es holomórficamente convexo.
3. D es la unión de una secuencia creciente de poliedros analíticos en D .
4. D es pseudoconvexo.
5. D es localmente pseudoconvexo.

Las implicaciones , ^{[nota 15]} , ^{[nota 16]} y son resultados estándar. Demostrar , es decir, construir una función holomorfa global que no admite extensión a partir de funciones no extensibles definidas solo localmente. Esto se llama el problema de Levi (en honor a EE Levi ) y fue resuelto para dominios de Riemann no ramificados por Kiyoshi Oka, ^{[nota 17]} pero para dominios de Riemann ramificados, la pseudoconvexidad no caracteriza la convexidad holomorfa, ^[66] y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia de -problema(ecuación) con métodos L 2 ). ^{[1] [43] [3] [67]} ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$ ${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Gavillas

La introducción de haces en varias variables complejas permitió la reformulación y solución de varios problemas importantes en el campo.

Idéal de domaines indéterminés (El predecesor de la noción de coherente (gavilla))

Oka introdujo la noción que denominó "ideal de dominios indeterminados" o "ideal de dominios indeterminados". ^{[34] [35]} Específicamente, es un conjunto de pares , holomorfos en un conjunto abierto no vacío , tal que ${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle (f,\delta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

1. Si y es arbitrario, entonces . ${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$ ${\displaystyle (a,\delta ')}$ ${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Para cada , entonces ${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$ ${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

El origen de los dominios indeterminados proviene del hecho de que los dominios cambian dependiendo del par . Cartan ^{[36] [37]} tradujo esta noción en la noción de haz coherente ( haz ) (Especialmente, haz analítico coherente) en cohomología de haces. ^{[67] [68]} Este nombre proviene de H. Cartan. ^[69] Además, Serre (1955) introdujo la noción de haz coherente en la geometría algebraica, es decir, la noción de haz algebraico coherente. ^[70] La noción de coherente ( cohomología de haces coherentes ) ayudó a resolver los problemas en varias variables complejas. ^[39] ${\displaystyle (f,\delta )}$

Haz coherente

Definición

La definición del haz coherente es la siguiente. ^{[70] [71] [72] [73] [47] : 83–89} Un haz cuasi-coherente en un espacio anillado es un haz de - módulos que tiene una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Un haz coherente en un espacio anillado es un haz que satisface las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito sobre , es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que existe un morfismo sobreyectivo para algún número natural ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. para cada conjunto abierto , entero y morfismo arbitrario de -módulos, el núcleo de es de tipo finito. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los morfismos entre haces (cuasi-)coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Además, Jean-Pierre Serre (1955) ^[70] demuestra que

Si en una secuencia exacta de haces de módulos dos de los tres haces son coherentes, entonces el tercero también es coherente. ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

(Oka-Cartan) teorema coherente

El teorema coherente (Oka-Cartan) ^[34] dice que cada haz que cumple las siguientes condiciones es coherente. ^[74]

1. el haz de gérmenes de funciones holomorfas en , o el haz de estructura de subvariedades complejas o cada espacio analítico complejo ^[75] ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. el haz ideal de un subconjunto analítico A de un subconjunto abierto de . (Cartan 1950 ^[36] ) ^{[76] [77]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$
3. La normalización del haz de estructuras de un espacio analítico complejo ^[78]

Del teorema de Serre (1955) anterior, se obtiene un haz coherente; además, (i) se utiliza para demostrar los teoremas A y B de Cartan . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

Problema de primos

En el caso de funciones complejas de una variable, el teorema de Mittag-Leffler fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de unas partes principales dadas (problema de Cousin I), y el teorema de factorización de Weierstrass fue capaz de crear una función meromórfica global a partir de unos ceros o un lugar geométrico de ceros dados (problema de Cousin II). Sin embargo, estos teoremas no se cumplen en varias variables complejas porque las singularidades de la función analítica en varias variables complejas no son puntos aislados; estos problemas se denominan problemas de Cousin y se formulan en términos de cohomología de haces. Fueron introducidos por primera vez en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. ^[79] Fue Oka quien mostró las condiciones para resolver el primer problema de Cousin para el dominio de la holomorfía ^{[nota 18]} en el espacio de coordenadas complejo, ^{[82] [83] [80] [nota 19]} resolviendo también el segundo problema de Cousin con suposiciones topológicas adicionales. El problema de Cousin es un problema relacionado con las propiedades analíticas de variedades complejas, pero las únicas obstrucciones para resolver problemas de una propiedad analítica compleja son puramente topológicas; ^{[80] [39] [31]} Serre llamó a esto el principio de Oka. ^[84] Ahora se plantean y resuelven para una variedad compleja arbitraria M , en términos de condiciones sobre M . M , que satisface estas condiciones, es una forma de definir una variedad de Stein. El estudio del problema de Cousin nos hizo darnos cuenta de que en el estudio de varias variables complejas, es posible estudiar propiedades globales a partir del parcheo de datos locales, ^[36] es decir, ha desarrollado la teoría de la cohomología de haces. (p. ej., seminario de Cartan. ^[42] ) ^[39]

Problema del primo hermano

Sin el lenguaje de haces, el problema puede formularse de la siguiente manera. En una variedad compleja M , se dan varias funciones meromórficas junto con los dominios donde están definidas, y donde cada diferencia es holomorfa (dondequiera que esté definida la diferencia). El primer problema de Cousin pide entonces una función meromórfica en M tal que sea holomorfa en ; en otras palabras, que comparta el comportamiento singular de la función local dada. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$

Ahora, sea K el haz de funciones meromórficas y O el haz de funciones holomorfas sobre M. El primer problema de Cousin siempre se puede resolver si la siguiente función es sobreyectiva:

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la secuencia de cohomología larga y exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacta, y por lo tanto el primer problema de Cousin siempre es solucionable siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) se anule. En particular, por el teorema de Cartan B , el problema de Cousin siempre es solucionable si M es una variedad de Stein.

Problema del segundo primo

El segundo problema de Cousin comienza con una configuración similar a la del primero, especificando en cambio que cada razón es una función holomorfa no nula (donde dicha diferencia está definida). Solicita una función meromórfica en M tal que sea holomorfa y no nula. ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

Sea el haz de funciones holomorfas que no se anulan en ninguna parte y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Ambos son haces de grupos abelianos y el haz cociente está bien definido. Si la siguiente función es sobreyectiva, entonces se puede resolver el problema del primo segundo: ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La secuencia de cohomología de haces larga y exacta asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

Por lo tanto, el segundo problema del primo se puede resolver en todos los casos siempre que ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa en se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, existe una secuencia exacta de haces ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde el haz más a la izquierda es el haz localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo en el nivel de H ¹ está en , de la secuencia de cohomología exacta larga ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque para ello una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el segundo problema de Cousin sea siempre solucionable es que (esta condición se llama principio de Oka). ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Variedades analíticas y variedades con varias variables complejas

Colector Stein (colector Kähler no compacto)

Dado que una superficie de Riemann no compacta (abierta) ^[85] siempre tiene una función holomorfa unidimensional no constante, ^[86] y satisface el segundo axioma de contabilidad , la superficie de Riemann abierta es de hecho una variedad compleja unidimensional que posee una aplicación holomorfa en el plano complejo . (De hecho, Gunning y Narasimhan han demostrado (1967) ^[87] que cada superficie de Riemann no compacta en realidad tiene una inmersión holomorfa en el plano complejo. En otras palabras, hay una aplicación holomorfa en el plano complejo cuya derivada nunca se desvanece.) ^[88] El teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad n -dimensional suave puede incrustarse como una subvariedad suave de , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en . Por ejemplo, para una variedad compleja arbitraria compacta y conexa X , cada función holomorfa en ella es constante por el teorema de Liouville, y por lo tanto no puede tener ninguna incrustación en el espacio n complejo. Es decir, para varias variables complejas, las variedades complejas arbitrarias no siempre tienen funciones holomorfas que no sean constantes. Por lo tanto, considere las condiciones bajo las cuales una variedad compleja tiene una función holomorfa que no es una constante. Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de X en , entonces las funciones de coordenadas de se restringirían a funciones holomorfas no constantes en X , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que X sea solo un punto. Las variedades complejas en las que se pueden incrustar holomorfamente se denominan variedades de Stein. Además, las variedades de Stein satisfacen el segundo axioma de contabilidad. ^[89] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas. Fueron introducidas por Karl Stein (1951) y nombradas en honor a esa idea. ^[90] Un espacio de Stein es similar a una variedad de Stein, pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son los análogos de las variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. Si el dominio univalente en es una conexión a una variedad, puede considerarse como una variedad compleja y satisface la condición de separación descrita más adelante, la condición para convertirse en una variedad de Stein es satisfacer la convexidad holomorfa. Por lo tanto, la variedad de Stein es las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Definición

Supóngase que X es una variedad compleja paracompacta de dimensión compleja y sea el anillo de funciones holomorfas en X. Llamamos a X una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones: ^[91] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

1. X es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto , la denominada envoltura holomórficamente convexa , ${\displaystyle K\subset X}$

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},}$

   también es un subconjunto compacto de X.
2. X es holomórficamente separable , ^{[nota 20]} es decir, si hay dos puntos en X , entonces existe tal que ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
3. El vecindario abierto de cada punto de la variedad tiene una carta holomórfica a la . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

Obsérvese que la condición (3) puede derivarse de las condiciones (1) y (2). ^[92]

Toda superficie de Riemann no compacta (abierta) es una variedad de Stein

Sea X una superficie de Riemann conexa, no compacta (abierta) . Un teorema profundo de Behnke y Stein (1948) ^[86] afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), establece además que todo fibrado vectorial holomorfo en X es trivial. En particular, todo fibrado lineal es trivial, por lo que . La sucesión de haces exponenciales conduce a la siguiente sucesión exacta: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Ahora bien, el teorema B de Cartan muestra que , por lo tanto . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Esto está relacionado con la solución del segundo problema de Cousin (multiplicativo) .

Problemas con Levi

Cartan extendió el problema de Levi a las variedades de Stein. ^[93]

Si el subconjunto abierto relativamente compacto de la variedad de Stein X es localmente pseudoconvexo, entonces D es una variedad de Stein, y a la inversa, si D es localmente pseudoconvexo, entonces X es una variedad de Stein. es decir, entonces X es una variedad de Stein si y sólo si D es localmente la variedad de Stein. ^[94] ${\displaystyle D\subset X}$

Esto fue demostrado por Bremermann ^[95] al insertarlo en una dimensión suficientemente alta y reducirlo al resultado de Oka. ^[29] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Además, Grauert demostró para variedades complejas arbitrarias M . ^{[nota 21] [98] [31] [96]}

Si el subconjunto relativamente compacto de una variedad compleja arbitraria M es fuertemente pseudoconvexo en M , entonces M es una variedad holomorfamente convexa (es decir, una variedad de Stein). Además, D es en sí misma una variedad de Stein. ${\displaystyle D\subset M}$

Y Narasimhan ^{[99] [100]} extendió el problema de Levi al espacio analítico complejo , generalizado en el caso singular de variedades complejas.

Un espacio analítico complejo que admite una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica continua (es decir, fuertemente pseudoconvexa) es el espacio de Stein. ^[4]

El problema de Levi sigue sin resolverse en los casos siguientes:

Supóngase que X es un espacio de Stein singular, ^{[nota 22]} . Supóngase que para todo existe un entorno abierto tal que es el espacio de Stein. ¿Es D en sí mismo un espacio de Stein? ^{[4] [102] [101]} ${\displaystyle D\subset \subset X}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle U(p)}$ ${\displaystyle U\cap D}$

más generalizado

Supóngase que N es un espacio de Stein y f un dominio inyectivo y también un dominio no ramificado de Riemann, de modo que la función f es una función pseudoconvexa local (es decir, un morfismo de Stein). Entonces, M es en sí mismo Stein ? ^{[101] [103] : 109} ${\displaystyle f:M\to N}$

y también,

Supongamos que X es un espacio de Stein y una unión creciente de conjuntos abiertos de Stein. Entonces D es en sí mismo Stein ? ${\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}}$

Esto significa que el teorema de Behnke-Stein, que es válido para las variedades de Stein, no ha encontrado condiciones que se puedan establecer en el espacio de Stein. ^[101]

K-completo

Grauert introdujo el concepto de K-completo en la prueba del problema de Levi.

Sea X una variedad compleja, X es K-completa si, para cada punto , existen finitos mapas holomorfos de X en , , tales que es un punto aislado del conjunto . ^[98] Este concepto también se aplica al espacio analítico complejo. ^[104] ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle p=p(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}}$

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein

• El espacio complejo estándar ^{[nota 23]} es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Cada dominio de holomorfía en es una variedad de Stein. ^[12] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Se puede demostrar con bastante facilidad que cada subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein es también una variedad de Stein.
• El teorema de incrustación para variedades de Stein establece lo siguiente: Toda variedad de Stein X de dimensión compleja n puede ser incrustada en ella por una función propia biholomórfica . ^{[105] [106] [107]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada del espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiente (porque la incrustación es biholomórfica).

• Toda variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión n . ^[108]
• En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y sólo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge ^[109] para superficies de Riemann, ^{[nota 24]} debida a Behnke y Stein. ^[86]
• Toda variedad de Stein X es holomorfamente expandible, es decir, para cada punto , hay n funciones holomorfas definidas en todo X que forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a algún vecindario abierto de x . ${\displaystyle x\in X}$
• El primer problema de Cousin siempre se puede resolver en una variedad de Stein.
• Ser una variedad de Stein es equivalente a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), ^[98] es decir, una función real suave en X (que puede asumirse que es una función de Morse ) con , ^[98] tal que los subconjuntos son compactos en X para cada número real c . Esta es una solución al llamado problema de Levi , ^[110] llamado así por EE Levi (1911). La función invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con borde llamada dominio de Stein . ^[111] Un dominio de Stein es la preimagen . Algunos autores llaman a tales variedades, por lo tanto, variedades estrictamente pseudoconvexas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$
• Relacionado con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función de Morse de valor real f en X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el campo de tangencias complejas a la preimagen es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c concordante con la orientación usual como frontera de Es decir, es un relleno de Stein de X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de dichas variedades, en particular las que capturan la propiedad de que tienen "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de haces .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines . ^[112]

Las variedades de Stein son en cierto sentido duales con las variedades elípticas en el análisis complejo, que admiten "muchas" funciones holomorfas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la denominada "teoría de homotopía holomorfa".

Variedades proyectivas complejas (variedad compleja compacta)

Función meromorfa en función compleja de una variable se estudió en una superficie de Riemann compacta (cerrada), porque dado que el teorema de Riemann-Roch ( desigualdad de Riemann ) se cumple para superficies de Riemann compactas (por lo tanto, la teoría de la superficie de Riemann compacta puede considerarse como la teoría de la curva algebraica (suave (no singular) proyectiva) sobre ^{[113] [114]} ). De hecho, la superficie de Riemann compacta tenía una función meromorfa de un solo valor no constante ^[85] , y también una superficie de Riemann compacta tenía suficientes funciones meromorfas. Una variedad compleja unidimensional compacta era una esfera de Riemann . Sin embargo, la noción abstracta de una superficie de Riemann compacta es siempre algebraizable ( teorema de existencia de Riemann , teorema de incrustación de Kodaira ), ^{[nota 25]} pero no es fácil verificar qué espacios analíticos complejos compactos son algebraizables. ^[115] De hecho, Hopf encontró una clase de variedades complejas compactas sin funciones meromórficas no constantes. ^[56] Sin embargo, hay un resultado de Siegel que da las condiciones necesarias para que las variedades complejas compactas sean algebraicas. ^[116] La generalización del teorema de Riemann-Roch a varias variables complejas fue extendida por primera vez a superficies analíticas compactas por Kodaira, ^[117] Kodaira también extendió el teorema a variedades tridimensionales, ^[118] y n-dimensionales de Kähler. ^[119] Serre formuló el teorema de Riemann-Roch como un problema de dimensión de cohomología de haces coherentes , ^[6] y también Serre demostró la dualidad de Serre . ^[120] Cartan y Serre demostraron la siguiente propiedad: ^[121] el grupo de cohomología es de dimensión finita para un haz coherente en una variedad compleja compacta M. ^[122] Weil demostró Riemann-Roch en una superficie de Riemann para un fibrado vectorial en 1938. ^[123] Hirzebruch generalizó el teorema a variedades complejas compactas en 1994 ^[124] y Grothendieck lo generalizó a una versión relativa (enunciados relativos sobre morfismos .). ^{[125] [126]} A continuación, la generalización del resultado de que "las superficies compactas de Riemann son proyectivas" a la alta dimensión. En particular, considere las condiciones que cuando se incrusta la subvariedad compleja compacta X en el espacio proyectivo complejo . ^{[nota 26]} El teorema de desaparición (fue introducido por primera vez por ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$Kodaira en 1953) da la condición, cuando el grupo de cohomología de haces se desvanece, y la condición es satisfacer un tipo de positividad . Como aplicación de este teorema, el teorema de incrustación de Kodaira ^[127] dice que una variedad de Kähler compacta M , con una métrica de Hodge, hay una incrustación analítica compleja de M en un espacio proyectivo complejo de suficiente alta dimensión N . Además, el teorema de Chow ^[128] muestra que el subespacio analítico complejo (subvariedad) de un espacio proyectivo complejo cerrado es un algebraico, es decir, por lo que es el cero común de algunos polinomios homogéneos, tal relación es un ejemplo de lo que se llama principio GAGA de Serre . ^[8] El subespacio analítico complejo (variedad) del espacio proyectivo complejo tiene propiedades tanto algebraicas como analíticas. Luego, combinado con el resultado de Kodaira, una variedad de Kähler compacta M se incrusta como una variedad algebraica. Este resultado da un ejemplo de una variedad compleja con suficientes funciones meromórficas. En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios analíticos complejos proyectivos (o variedades) es equivalente a la geometría de las variedades proyectivas complejas. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas conduce a áreas como la teoría de Hodge . Además, la teoría de la deformación de las variedades complejas compactas se ha desarrollado como la teoría de Kodaira-Spencer. Sin embargo, a pesar de ser una variedad compleja compacta, hay contraejemplos que no se pueden incrustar en el espacio proyectivo y no son algebraicos. ^[129] Analogía de los problemas de Levi sobre el espacio proyectivo complejo de Takeuchi. ^{[4] [130] [131] [132]} ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Véase también

• Número bicomplejo
• Geometría compleja
• Colector CR
• Cohomología de Dolbeault
• Mapas armónicos
• Morfismos armónicos
• Holomorfía de dimensión infinita
• Teorema de Oka-Weil

Anotación

1. Ese es un subconjunto abierto y conexo .
2. Nombre adoptado, de manera confusa, para la geometría de los ceros de las funciones analíticas ; no se trata de la geometría analítica que se aprende en la escuela (en otras palabras, en el sentido de GAGA sobre Serre). ^[8]
3. El campo de números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre números reales.
4. Nótese que esta fórmula solo es válida para polidisco. Véase §Fórmula de Bochner-Martinelli para la fórmula integral de Cauchy en el dominio más general.
5. Según el teorema de la curva de Jordan, el dominio D es un conjunto cerrado acotado, es decir, cada dominio es compacto. ${\displaystyle D_{\nu }}$
6. Pero hay un punto en el que converge fuera del círculo de convergencia. Por ejemplo, si una de las variables es 0, entonces algunos términos, representados por el producto de esta variable, serán 0 independientemente de los valores que tomen las otras variables. Por lo tanto, incluso si se toma una variable que diverge cuando una variable es distinta de 0, puede converger.
7. Cuando se describe utilizando el dominio de holomorfía, que es una generalización del dominio de convergencia, un dominio de Reinhardt es un dominio de holomorfía si y solo si es logarítmicamente convexo.
8. Este teorema se cumple incluso si la condición no está restringida al conjunto acotado, es decir, el teorema se cumple incluso si esta condición se reemplaza por un conjunto abierto. ^[20]
9. Oka dice que ^[32] el contenido de estos dos documentos es diferente. ^[33]
10. La idea de la gavilla en sí es de Jean Leray .
11. De hecho, esto fue demostrado por Kiyoshi Oka ^[28] con respecto al dominio. Véase el lema de Oka . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
12. Se trata de una condición de envoltura hullomorfamente convexa expresada por una función plurisubarmónica. Por este motivo, también se la denomina p-pseudoconvexa o simplemente p-convexa.
13. Definición de débilmente 1-completo. ^[59]
14. En geometría algebraica, existe un problema sobre si es posible eliminar el punto singular del espacio analítico complejo realizando una operación llamada modificación ^{[60] [61]} en el espacio analítico complejo (cuando n = 2, el resultado de Hirzebruch, ^[62] cuando n = 3 el resultado de Zariski ^[63] para la variedad algebraica), pero Grauert y Remmert han informado de un ejemplo de un dominio que no es ni pseudoconvexo ni convexo holomorfo, aunque es un dominio de holomorfía: ^[64]
15. Esta relación se llama teorema de Cartan-Thullen. ^[65]
16. Véase el lema de Oka
17. La prueba de Oka utiliza Oka pseudoconvexo en lugar de Cartan pseudoconvexo.
18. Existen algunos contraejemplos en el dominio de la holomorficidad en relación con el problema del segundo primo. ^{[80] [81]}
19. Este es el llamado problema clásico de Cousin. ^[39]
20. De esta condición, podemos ver que la variedad de Stein no es compacta.
21. El problema de Levi no es cierto para dominios en variedades arbitrarias. ^{[31] [96] [97]}
22. En el caso del espacio de Stein con singularidades aisladas, ya fue resuelto positivamente por Narasimhan. ^{[4] [101]}
23. ( es una variedad compleja proyectiva) no se convierte en una variedad de Stein, incluso si satisface la convexidad holomorfa. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$
24. El método de prueba utiliza una aproximación por el dominio poliédrico , como en el teorema de Oka-Weil .
25. Nótese que el teorema de extensión de Riemann y sus referencias explicadas en el artículo vinculado incluyen una versión generalizada del teorema de extensión de Riemann de Grothendieck que se demostró utilizando el principio GAGA; además, cada variedad compleja compacta unidimensional es una variedad de Hodge.
26. Este es el método estándar para la compactificación de , pero no el único método como la esfera de Riemann que fue la compactificación de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Referencias

Citas en línea

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Lectura adicional

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• Krantz, Steven G. (1987), "¿Qué son varias variables complejas?", The American Mathematical Monthly , 94 (3): 236–256, doi :10.2307/2323391, JSTOR  2323391
• Seebach, J. Arthur; Seebach, Linda A.; Steen, Lynn A. (1970). "¿Qué es una gavilla?". The American Mathematical Monthly . 77 (7): 681–703. doi :10.2307/2316199. JSTOR  2316199.
• Oka, Kiyoshi (1984), Remmert, R. (ed.), Collected Papers , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pág. XIV, 226, ISBN 978-3-662-43412-3
• Martin, WT (1956). "Informe científico sobre el segundo instituto de verano, varias variables complejas. Parte I. Informe sobre el seminario de análisis". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 62 (2): 79–102. doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10013-X .
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• Zariski, Oscar (1956). "Informe científico sobre el segundo instituto de verano, varias variables complejas. Parte III. Teoría de haces algebraicos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 62 (2): 117–142. doi : 10.1090/S0002-9904-1956-10018-9 .
• Remmert, Reinhold (1998). «De las superficies de Riemann a los espacios complejos» (PDF) . Séminarios y Congresos . Zbl  1044.01520.

Enlaces externos

• Deliciosos fragmentos de varias variables complejas, libro de código abierto de Jiří Lebl
• Geometría analítica compleja y diferencial (libro OpenContent Ver B2)
• Demailly, Jean-Pierre (2012). "Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables" (PDF) . En Harinck, Pascale; Plagne, Alain; Sabbah, Claude (eds.). Henri Cartan y André Weil. Mathématiciens du XXesiècle. Journées mathématiques X-UPS, Palaiseau, Francia, 3 y 4 de mayo de 2012 . Palacio: Les Éditions de l'École Polytechnique. págs. 99-168. ISBN 978-2-7302-1610-4.
• Victor Guillemin. 18.117 Temas en varias variables complejas. Primavera de 2005. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencia: Creative Commons BY-NC-SA .
• Este artículo incorpora material de los siguientes artículos de PlanetMath , que están licenciados bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual : dominio de Reinhardt, holomorfamente convexo, dominio de holomorfía, polidisco, biholomórficamente equivalente, pseudoconvexo de Levi, pseudoconvexo, función de agotamiento.