Geometría algebraica y geometría analítica

En matemáticas , la geometría algebraica y la geometría analítica son dos disciplinas estrechamente relacionadas. Mientras que la geometría algebraica estudia las variedades algebraicas , la geometría analítica se ocupa de las variedades complejas y de los espacios analíticos más generales definidos localmente por la desaparición de funciones analíticas de varias variables complejas . La profunda relación entre estas disciplinas tiene numerosas aplicaciones en las que se aplican técnicas algebraicas a espacios analíticos y técnicas analíticas a variedades algebraicas.

Declaración principal

Sea X una variedad algebraica compleja proyectiva . Como X es una variedad compleja, a su conjunto de puntos complejos X ( C ) se le puede dar la estructura de un espacio analítico complejo compacto . Este espacio analítico se denota X ^an . De manera similar, si es un haz en X , entonces hay un haz correspondiente en X ^an . Esta asociación de un objeto analítico con uno algebraico es un funtor . El teorema prototípico que relaciona X y X ^an dice que para dos haces coherentes cualesquiera y en X , el homomorfismo natural: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$

{\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})

es un isomorfismo. Aquí está el haz de estructura de la variedad algebraica X y es el haz de estructura de la variedad analítica X ^an . Más precisamente, la categoría de haces coherentes en la variedad algebraica X es equivalente a la categoría de haces coherentes analíticos en la variedad analítica X ^an , y la equivalencia se da en objetos mediante la aplicación a . (Obsérvese en particular que en sí mismo es coherente, un resultado conocido como el teorema de coherencia de Oka , ^[1] y también, se demostró en “Faisceaux Algebriques Coherents” ^[2] que el haz de estructura de la variedad algebraica es coherente. ^[3] ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

Otra afirmación importante es la siguiente: Para cualquier haz coherente sobre una variedad algebraica X los homomorfismos ${\mathcal {F}}$

\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})

son isomorfismos para todos los q' . Esto significa que el q -ésimo grupo de cohomología en X es isomorfo al grupo de cohomología en X ^an .

El teorema se aplica de manera mucho más general que lo que se ha indicado anteriormente (véase el enunciado formal a continuación). Este teorema y su demostración tienen muchas consecuencias, como el teorema de Chow, el principio de Lefschetz y el teorema de desaparición de Kodaira .

Fondo

Las variedades algebraicas se definen localmente como los conjuntos cero comunes de polinomios y, dado que los polinomios sobre los números complejos son funciones holomorfas , las variedades algebraicas sobre C se pueden interpretar como espacios analíticos. De manera similar, los morfismos regulares entre variedades se interpretan como aplicaciones holomorfas entre espacios analíticos. De manera un tanto sorprendente, a menudo es posible ir en la dirección opuesta, interpretar los objetos analíticos de manera algebraica.

Por ejemplo, es fácil demostrar que las funciones analíticas de la esfera de Riemann hacia sí misma son o bien funciones racionales o bien la función idénticamente infinita (una extensión del teorema de Liouville ). Pues si tal función f no es constante, entonces como el conjunto de z donde f(z) es infinito está aislado y la esfera de Riemann es compacta, hay un número finito de z con f(z) igual a infinito. Consideremos la expansión de Laurent en todos los z de ese tipo y restemos la parte singular: nos queda una función en la esfera de Riemann con valores en C , que por el teorema de Liouville es constante. Por tanto, f es una función racional. Este hecho muestra que no hay una diferencia esencial entre la línea proyectiva compleja como variedad algebraica o como esfera de Riemann .

Resultados importantes

La comparación de resultados entre la geometría algebraica y la geometría analítica tiene una larga historia que se remonta al siglo XIX. A continuación se enumeran algunos de los avances más importantes en orden cronológico.

Teorema de existencia de Riemann

La teoría de superficies de Riemann muestra que una superficie de Riemann compacta tiene suficientes funciones meromórficas sobre ella, lo que la convierte en una curva algebraica (proyectiva suave) . Con el nombre de teorema de existencia de Riemann ^[4]^[5]^[6]^[7] se conocía un resultado más profundo sobre recubrimientos ramificados de una superficie de Riemann compacta: tales recubrimientos finitos como espacios topológicos se clasifican por representaciones de permutación del grupo fundamental del complemento de los puntos de ramificación . Dado que la propiedad de la superficie de Riemann es local, es bastante fácil ver que tales recubrimientos son recubrimientos en el sentido analítico complejo. Entonces es posible concluir que provienen de mapas de recubrimientos de curvas algebraicas, es decir, todos estos recubrimientos provienen de extensiones finitas del cuerpo de funciones .

El principio de Lefschetz

En el siglo XX, el principio de Lefschetz , llamado así por Solomon Lefschetz , fue citado en geometría algebraica para justificar el uso de técnicas topológicas para geometría algebraica sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado K de característica 0, al tratar a K como si fuera el cuerpo de números complejos. Una forma elemental de este principio afirma que los enunciados verdaderos de la teoría de primer orden de cuerpos sobre C son verdaderos para cualquier cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero. Un principio preciso y su demostración se deben a Alfred Tarski y se basan en la lógica matemática . ^[8]^[9]^[10]

Este principio permite trasladar algunos resultados obtenidos utilizando métodos analíticos o topológicos para variedades algebraicas sobre C a otros cuerpos básicos algebraicamente cerrados de característica 0. (por ejemplo, el teorema de desaparición del tipo Kodaira . ^[11] )

Teorema de Chow

Chow (1949), demostrado por Wei-Liang Chow , es un ejemplo del tipo de comparación más inmediatamente útil disponible. Afirma que un subespacio analítico del espacio proyectivo complejo que está cerrado (en el sentido topológico ordinario) es una subvariedad algebraica. ^[12] Esto se puede reformular como "cualquier subespacio analítico del espacio proyectivo complejo que está cerrado en la topología fuerte está cerrado en la topología de Zariski ". Esto permite un uso bastante libre de los métodos analíticos complejos dentro de las partes clásicas de la geometría algebraica.

GAGÁ

Las bases para las muchas relaciones entre las dos teorías se establecieron durante la primera parte de la década de 1950, como parte del trabajo de sentar las bases de la geometría algebraica para incluir, por ejemplo, técnicas de la teoría de Hodge . El artículo principal que consolidó la teoría fue Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique de Jean-Pierre Serre , ^[13] ahora conocido generalmente como GAGA . Demuestra resultados generales que relacionan clases de variedades algebraicas, morfismos regulares y haces con clases de espacios analíticos, aplicaciones holomorfas y haces. Reduce todo esto a la comparación de categorías de haces.

Hoy en día, la frase resultado estilo GAGA se utiliza para cualquier teorema de comparación, permitiendo el paso entre una categoría de objetos de geometría algebraica y sus morfismos, a una subcategoría bien definida de objetos de geometría analítica y aplicaciones holomórficas.

Declaración formal de GAGA

Sea un esquema de tipo finito sobre C . Entonces existe un espacio topológico X ^an que como conjunto consta de los puntos cerrados de X con una función de inclusión continua λ _X : X ^an → X . La topología sobre X ^an se denomina "topología compleja" (y es muy diferente de la topología de subespacios). $(X,{\mathcal {O}}_{X})$
Supóngase que φ: X → Y es un morfismo de esquemas de tipo localmente finito sobre C . Entonces existe una función continua φ ^an : X ^an → Y ^an tal que λ _Y ∘ φ ^an = φ ∘ λ _X .
Existe un haz sobre X ^an tal que es un espacio anillado y λ _X : X ^an → X se convierte en una función de espacios anillados. El espacio se denomina "analización" de y es un espacio analítico. Para cada φ: X → Y la función φ ^an definida anteriormente es una función de espacios analíticos. Además, la función φ ↦ φ ^an convierte inmersiones abiertas en inmersiones abiertas. Si X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ]) entonces X ^an = C ⁿ y para cada polidisco U es un cociente adecuado del espacio de funciones holomorfas sobre U . ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$
Para cada haz en X (llamado haz algebraico) hay un haz en X ^an (llamado haz analítico) y una función de haces de -módulos . El haz se define como . La correspondencia define un funtor exacto de la categoría de haces a la categoría de haces de . Las dos afirmaciones siguientes son el corazón del teorema GAGA de Serre ^[14]^[15] (tal como lo extendieron Alexander Grothendieck , Amnon Neeman y otros). ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ $\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$
Si f : X → Y es un morfismo arbitrario de esquemas de tipo finito sobre C y es coherente, entonces la función natural es inyectiva. Si f es propia, entonces esta función es un isomorfismo. En este caso, también se tienen isomorfismos de todos los haces de imagen directa superiores . ^[16] ${\mathcal {F}}$ $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ $(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$
Supongamos ahora que X ^an es de Hausdorff y compacto. Si son dos haces algebraicos coherentes sobre y si es una función de haces de -módulos entonces existe una única función de haces de -módulos con . Si es una función analítica coherente de -módulos sobre X ^an entonces existe una función algebraica coherente de -módulos y un isomorfismo . ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}$

En un nivel de generalidad ligeramente menor, el teorema de GAGA afirma que la categoría de haces algebraicos coherentes en una variedad proyectiva compleja X y la categoría de haces analíticos coherentes en el espacio analítico correspondiente X ^an son equivalentes. El espacio analítico X ^an se obtiene aproximadamente retrotrayendo a X la estructura compleja desde C ⁿ a través de los diagramas de coordenadas. De hecho, formular el teorema de esta manera es más cercano en espíritu al artículo de Serre, ya que el lenguaje teórico de esquemas completo que el enunciado formal anterior utiliza con frecuencia aún no se había inventado en el momento de la publicación de GAGA.

Véase también

Módulo plano : el concepto de planitud fue introducido por Serre (1956). Los anillos locales algebraicos y analíticos tienen la misma terminación y, por lo tanto, se convierten en un "par plano" (couple plat). ^[17]

Notas

^ Salón 2023.
^ Serre 1955.
^ Remmert 1994.
^ Grauert y Remmert 1958.
^ Harbater 2003.
^ Grothendieck y Raynaud 2002, EXPOSE XII, Théorème 5.1 («Théorème d'existence de Riemann»).
^ Hartshorne 1977, Apéndice B, Teorema 3.1 (Parte (b)) y 3.2.
^ Seidenberg 1958, Comentarios sobre el principio de Lefschetz.
^ Frey & Rück 1986, El principio fuerte de Lefschetz en geometría algebraica.
^ Kuhlmann 2001.
^ Kawamata, Matsuda y Matsuki 1987.
^ Hartshorne 1970.
^ Serre 1956.
^ Grothendieck y Raynaud 2002, EXPONER XII.
^ Neeman 2007.
^ Grothendieck y Raynaud 2002, EXPOSE XII, 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et théorèmes d'existence.
^ Hartshorne 2010.

Referencias

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Enlaces externos

Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC # 30 - 33 GAGA) Primavera de 2009. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .