Punto de ramificación

Punto de interés para funciones complejas de múltiples valores

En el campo matemático del análisis complejo , un punto de ramificación de una función multivaluada (generalmente denominada "multifunción" en el contexto del análisis complejo ^{[ cita necesaria ]} ) es un punto tal que si la función tiene n valores ( tiene n valores) en ese punto, todas sus vecindades contienen un punto que tiene más de n valores. ^[1] Las funciones multivalor se estudian rigurosamente utilizando superficies de Riemann , y la definición formal de puntos de ramificación emplea este concepto.

Los puntos de ramificación se dividen en tres categorías amplias: puntos de ramificación algebraicos, puntos de ramificación trascendentales y puntos de ramificación logarítmica. Los puntos de ramificación algebraicos surgen más comúnmente de funciones en las que hay una ambigüedad en la extracción de una raíz, como resolver la ecuación w ²  =  z para w como función de z . Aquí el punto de bifurcación es el origen, porque la continuación analítica de cualquier solución alrededor de un circuito cerrado que contenga el origen dará como resultado una función diferente: existe una monodromía no trivial . A pesar del punto de ramificación algebraica, la función w está bien definida como una función de valores múltiples y, en un sentido apropiado, es continua en el origen. Esto contrasta con los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, es decir, puntos en los que una función de valores múltiples tiene una monodromía no trivial y una singularidad esencial . En la teoría de funciones geométricas , el uso incondicional del término punto de ramificación normalmente significa el primero, más restrictivo: los puntos de ramificación algebraicos. ^[2] En otras áreas de análisis complejo, el término incondicional también puede referirse a los puntos de ramificación más generales de tipo trascendental.

Puntos de ramificación algebraicos

Sea un conjunto abierto conexo en el plano complejo y una función holomorfa . Si no es constante, entonces el conjunto de los puntos críticos de , es decir, los ceros de la derivada , no tiene punto límite en . Así, cada punto crítico de se encuentra en el centro de un disco que no contiene ningún otro punto crítico en su cierre. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f}$

Sea la frontera de , tomada con su orientación positiva. El número de devanado de con respecto al punto es un número entero positivo llamado índice de ramificación de . Si el índice de ramificación es mayor que 1, entonces se denomina punto de ramificación de y el valor crítico correspondiente se denomina punto de ramificación (algebraico) . De manera equivalente, es un punto de ramificación si existe una función holomorfa definida en una vecindad tal que para un número entero . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle B(z_{0},r)}$ ${\displaystyle f(\gamma )}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$ ${\displaystyle k>1}$

Lo habitual es que uno no esté interesado en sí mismo, sino en su función inversa . Sin embargo, la inversa de una función holomorfa en la vecindad de un punto de ramificación no existe propiamente, por lo que uno se ve obligado a definirla en un sentido de valores múltiples como una función analítica global . Es común abusar del lenguaje y referirse a un punto de bifurcación como punto de bifurcación de la función analítica global . Son posibles definiciones más generales de puntos de ramificación para otros tipos de funciones analíticas globales de valores múltiples, como las que se definen implícitamente . A continuación se proporciona un marco unificador para abordar tales ejemplos en el lenguaje de Riemann Surfaces . En particular, en este panorama más general, los polos de orden mayor que 1 también pueden considerarse puntos de ramificación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

En términos de la función analítica global inversa , los puntos de ramificación son aquellos puntos alrededor de los cuales existe una monodromía no trivial. Por ejemplo, la función tiene un punto de ramificación en . La función inversa es la raíz cuadrada , que tiene un punto de ramificación en . De hecho, al recorrer el circuito cerrado , se comienza en y . Pero después de recorrer el circuito hasta , uno tiene . Por tanto, hay monodromía alrededor de este bucle que encierra el origen. ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$ ${\displaystyle w_{0}=0}$ ${\displaystyle w=e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle e^{i0/2}=1}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$

Puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos.

Supongamos que g es una función analítica global definida en un disco perforado alrededor de z ₀ . Entonces g tiene un punto de ramificación trascendental si z ₀ es una singularidad esencial de g tal que la continuación analítica de un elemento funcional una vez alrededor de alguna curva cerrada simple que rodea el punto z ₀ produce un elemento funcional diferente. ^[3]

Un ejemplo de punto de ramificación trascendental es el origen de la función multivaluada.

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

para algún número entero k  > 1. Aquí el grupo de monodromía para un circuito alrededor del origen es finito. La continuación analítica alrededor de k circuitos completos devuelve la función al original.

Si el grupo de monodromía es infinito, es decir, es imposible volver al elemento funcional original mediante la continuación analítica a lo largo de una curva con un número de devanados distinto de cero alrededor de z ₀ , entonces el punto z ₀ se llama punto de ramificación logarítmica . ^[4] Se llama así porque el ejemplo típico de este fenómeno es el punto de ramificación del logaritmo complejo en el origen. Dando una vez en sentido antihorario alrededor de una curva cerrada simple que rodea el origen, el logaritmo complejo se incrementa en 2 π i . Rodeando un bucle con número de devanado w , el logaritmo se incrementa en 2 π i w y el grupo monodromía es el grupo cíclico infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los puntos de ramificación logarítmica son casos especiales de puntos de ramificación trascendentales.

No existe una noción correspondiente de ramificación para los puntos de ramificación trascendentales y logarítmicos, ya que la superficie de Riemann de cobertura asociada no puede continuar analíticamente hasta una cobertura del propio punto de ramificación. Por lo tanto, dichas coberturas siempre están sin ramificar.

Ejemplos

• 0 es un punto de ramificación de la función de raíz cuadrada . Supongamos que w  =  z ^1/2 y z comienza en 4 y se mueve a lo largo de un círculo de radio 4 en el plano complejo centrado en 0. La variable dependiente w cambia mientras depende de z de manera continua. Cuando z haya hecho un círculo completo, yendo de 4 a 4 nuevamente, w habrá hecho un semicírculo, yendo de la raíz cuadrada positiva de 4, es decir, de 2, a la raíz cuadrada negativa de 4, es decir, - 2.
• 0 es también un punto de ramificación del logaritmo natural . Dado que e ⁰ es lo mismo que e ^{2 π i} , tanto 0 como 2 π i se encuentran entre los múltiples valores de ln(1). A medida que z se mueve a lo largo de un círculo de radio 1 centrado en 0, w = ln( z ) va de 0 a 2 π i .
• En trigonometría , dado que tan( π /4) y tan (5 π /4) son ambos iguales a 1, los dos números π /4 y 5 π /4 se encuentran entre los múltiples valores de arctan(1). Las unidades imaginarias i y − i son puntos de ramificación de la función arcotangente arctan( z ) = (1/2 i )log[( i  −  z )/( i  +  z )]. Esto se puede ver observando que la derivada ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 +  z ^{2 ) tiene} polos simples en esos dos puntos, ya que el denominador es cero en esos puntos.
• Si la derivada ƒ  ' de una función ƒ tiene un polo simple en un punto a , entonces ƒ tiene un punto de ramificación logarítmica en a . Lo contrario no es cierto, ya que la función ƒ ( z ) = z ^α para α irracional tiene un punto de ramificación logarítmica y su derivada es singular sin ser un polo.

cortes de ramas

En términos generales, los puntos de ramificación son los puntos donde se unen las distintas hojas de una función de valores múltiples. Las ramas de la función son las distintas hojas de la función. Por ejemplo, la función w  =  z ^1/2 tiene dos ramas: una donde la raíz cuadrada entra con un signo más y la otra con un signo menos. Un corte de rama es una curva en el plano complejo de modo que es posible definir una única rama analítica de una función multivaluada en el plano menos esa curva. Los cortes de ramas generalmente, aunque no siempre, se realizan entre pares de puntos de bifurcación.

Los cortes de rama permiten trabajar con una colección de funciones de un solo valor, "pegadas" a lo largo del corte de rama en lugar de una función de varios valores. Por ejemplo, para hacer la función

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

de un solo valor, se hace un corte de rama a lo largo del intervalo [0, 1] en el eje real, conectando los dos puntos de rama de la función. La misma idea se puede aplicar a la función √ z ; pero en ese caso uno tiene que percibir que el punto en el infinito es el "otro" punto de bifurcación apropiado para conectarse desde 0, por ejemplo a lo largo de todo el eje real negativo.

El dispositivo de corte de ramas puede parecer arbitrario (y lo es); pero es muy útil, por ejemplo en la teoría de funciones especiales. Una explicación invariante del fenómeno de la rama se desarrolla en la teoría de superficies de Riemann (de la cual es históricamente el origen), y más generalmente en la teoría de la ramificación y monodromía de funciones algebraicas y ecuaciones diferenciales .

logaritmo complejo

Un gráfico de la parte imaginaria multivaluada de la función logarítmica compleja, que muestra las ramas. A medida que un número complejo z gira alrededor del origen, la parte imaginaria del logaritmo sube o baja. Esto hace que el origen sea un punto de ramificación de la función.

El ejemplo típico de corte de rama es el logaritmo complejo. Si un número complejo se representa en forma polar z  =  r e ^{i θ} , entonces el logaritmo de z es

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

Sin embargo, existe una ambigüedad obvia al definir el ángulo θ : sumando a θ cualquier múltiplo entero de 2 π se obtendrá otro ángulo posible. Una rama del logaritmo es una función continua L ( z ) que da un logaritmo de z para todo z en un conjunto abierto conexo en el plano complejo. En particular, existe una rama del logaritmo en el complemento de cualquier rayo desde el origen hasta el infinito: una rama cortada . Una elección común de corte de rama es el eje real negativo, aunque la elección es en gran medida una cuestión de conveniencia.

El logaritmo tiene una discontinuidad de salto de 2 π i al cruzar el corte de la rama. El logaritmo se puede hacer continuo pegando un número contable de copias, llamadas hojas , del plano complejo a lo largo del corte de la rama. En cada hoja, el valor del logaritmo difiere de su valor principal en un múltiplo de 2 π i. Estas superficies se pegan entre sí a lo largo de la rama cortada de una manera única para hacer que el logaritmo sea continuo. Cada vez que la variable gira alrededor del origen, el logaritmo se mueve a una rama diferente.

continuo de polos

Una razón por la que los cortes de ramas son características comunes del análisis complejo es que un corte de ramas puede considerarse como una suma de infinitos polos dispuestos a lo largo de una línea en el plano complejo con residuos infinitesimales. Por ejemplo,

${\displaystyle f_{a}(z)={1 \over z-a}}$

es una función con un polo simple en z  =  a . Integrando sobre la ubicación del poste:

${\displaystyle u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)}$

define una función u ( z ) con un corte de −1 a 1. El corte de la rama se puede mover, ya que la línea de integración se puede desplazar sin alterar el valor de la integral siempre que la línea no pase por el punto z .

Superficies de Riemann

El concepto de punto de ramificación se define para una función holomorfa ƒ: X  →  Y desde una superficie de Riemann compacta conectada X a una superficie de Riemann compacta Y (generalmente la esfera de Riemann ). A menos que sea constante, la función ƒ será un mapa que cubra su imagen en todos los puntos excepto en un número finito. Los puntos de X donde ƒ no logra ser una cobertura son los puntos de ramificación de ƒ, y la imagen de un punto de ramificación bajo ƒ se llama punto de ramificación.

Para cualquier punto P  ∈  X y Q  = ƒ( P ) ∈  Y , existen coordenadas locales holomorfas z para X cerca de P y w para Y cerca de Q en términos de las cuales la función ƒ( z ) está dada por

${\displaystyle w=z^{k}}$

para algún número entero k . Este número entero se llama índice de ramificación de P. Normalmente el índice de ramificación es uno. Pero si el índice de ramificación no es igual a uno, entonces P es por definición un punto de ramificación y Q es un punto de ramificación.

Si Y es solo la esfera de Riemann y Q está en la parte finita de Y , entonces no hay necesidad de seleccionar coordenadas especiales. El índice de ramificación se puede calcular explícitamente a partir de la fórmula integral de Cauchy. Sea γ un bucle rectificable simple en X alrededor de P. El índice de ramificación de ƒ en P es

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

Esta integral es el número de veces que ƒ(γ) gira alrededor del punto Q. Como arriba, P es un punto de ramificación y Q es un punto de ramificación si e _P  > 1.

geometría algebraica

En el contexto de la geometría algebraica , la noción de puntos de ramificación se puede generalizar a asignaciones entre curvas algebraicas arbitrarias . Sea ƒ: X  →  Y un morfismo de curvas algebraicas. Al retroceder funciones racionales en Y a funciones racionales en X , K ( X ) es una extensión de campo de K ( Y ). El grado de ƒ se define como el grado de esta extensión de campo [ K ( X ): K ( Y )], y se dice que ƒ es finito si el grado es finito.

Supongamos que ƒ es finita. Para un punto P  ∈  X , el índice de ramificación e _P se define de la siguiente manera. Sea Q  = ƒ( P ) y sea t un parámetro uniformizador local en P ; es decir, t es una función regular definida en una vecindad de Q con t ( Q ) = 0 cuyo diferencial es distinto de cero. Retroceder t en ƒ define una función regular en X . Entonces

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

donde v _P es la valoración en el anillo local de funciones regulares en P . Es decir, e _P es el orden en el que desaparece en P . Si e _P  > 1, entonces se dice que ƒ está ramificada en P . En ese caso, Q se llama punto de ramificación. ${\displaystyle t\circ f}$

Notas

1. Das, Shantanu (2011), "Conceptos de comprensión de diferencias e integraciones fraccionales", Cálculo fraccional funcional , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 213–269, doi :10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, recuperado el 27 de abril de 2022(página 6)
2. Ahlfors 1979
3. Solomentsev 2001; Markushevich 1965
4. "Punto de ramificación logarítmica - Enciclopedia de Matemáticas". www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de junio de 2019 .

Referencias

• Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003), Variables complejas: introducción y aplicaciones , Cambridge Texts in Applied Mathematics (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53429-1
• Ahlfors, LV (1979), Análisis complejo , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000657-7
• Arfken, GB; Weber, HJ (2000), Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052
• Markushevich, AI (1965), Teoría de funciones de una variable compleja. vol. I , Traducido y editado por Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall Inc., MR  0171899
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Branch point", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press