Parámetro local

Concepto algebraico

En la geometría de curvas algebraicas complejas , un parámetro local para una curva C en un punto suave P es una función meromórfica en C que tiene un cero simple en P. Este concepto se puede generalizar a curvas definidas sobre cuerpos distintos de (o esquemas ), porque el anillo local en un punto suave P de una curva algebraica C (definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es siempre un anillo de valoración discreto . ^[1] Esta valoración mostrará una forma de contar el orden (en el punto P ) de funciones racionales (que son generalizaciones naturales para funciones meromórficas en el ámbito no complejo) que tienen un cero o un polo en P . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los parámetros locales, como su nombre lo indica, se utilizan principalmente para contar correctamente las multiplicidades de forma local.

Introducción

Si C es una curva algebraica compleja, cuente las multiplicidades de ceros y polos de funciones meromórficas definidas en ella. ^[2] Sin embargo, cuando se discuten curvas definidas sobre cuerpos distintos de , si no se tiene acceso a la potencia del análisis complejo, se debe encontrar un reemplazo para definir multiplicidades de ceros y polos de funciones racionales definidas en dichas curvas. En este último caso, digamos que el germen de la función regular se anula en si . Esto está en completa analogía con el caso complejo, en el que el ideal maximal del anillo local en un punto P está en realidad conformado por los gérmenes de funciones holomorfas que se anulan en P . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P\in C}$ ${\displaystyle f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}}$

La función de valoración está dada por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};}$

Naturalmente, esta valoración se puede extender a K ( C ) (que es el campo de funciones racionales de C) porque es el campo de fracciones de . Por tanto, la idea de tener un cero simple en un punto P está ahora completa: será una función racional tal que su germen recaiga en , con d como máximo 1. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle f\in K(C)}$ ${\displaystyle m_{P}^{d}}$

Esto tiene una semejanza algebraica con el concepto de parámetro uniformizador (o simplemente uniformizador ) que se encuentra en el contexto de anillos de valoración discretos en álgebra conmutativa ; un parámetro uniformizador para el DVR ( R, m ) es simplemente un generador del ideal máximo m . El vínculo proviene del hecho de que un parámetro local en P será un parámetro uniformizador para el DVR ( , ), de ahí el nombre. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle m_{P}}$

Definición

Sea C una curva algebraica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K , y sea K ( C ) el cuerpo de funciones racionales de C . La valoración en K ( C ) correspondiente a un punto suavizado se define como , donde es la valoración usual en el anillo local ( , ). Un parámetro local para C en P es una función tal que . ${\displaystyle P\in C}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$ ${\displaystyle m_{P}}$ ${\displaystyle t\in K(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(t)=1}$

Referencias

1. JH Silverman (1986). La aritmética de las curvas elípticas . Springer. pág. 21.
2. R. Miranda (1995). Curvas algebraicas y superficies de Riemann . American Mathematical Society. pág. 26.