Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing
En matemáticas , el espacio de Schwartz es el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas son rápidamente decrecientes. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz .
Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de una función que decrece rápidamente.
El espacio de Schwartz recibe su nombre del matemático francés Laurent Schwartz .
El espacio de Schwartz o espacio de funciones rápidamente decrecientes en es el espacio funcional donde es el espacio funcional de funciones suaves de en , y Aquí, denota el supremo , y usamos notación de múltiples índices , es decir y .
Para poner en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función rápidamente decreciente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f ′( x ) , f ′′( x ) , ... existen todas en todas partes en R y tienden a cero cuando x → ±∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R n , C ) es un subespacio del espacio de funciones C ∞ ( R n , C ) de funciones suaves desde R n hasta C .
Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz
Si es un multiíndice y a es un número real positivo , entonces
Cualquier función suave f con soporte compacto está en S ( R n ). Esto es claro ya que cualquier derivada de f es continua y está apoyada en el soporte de f , por lo que ( tiene un máximo en R n por el teorema del valor extremo .
Como el espacio de Schwartz es un espacio vectorial, cualquier polinomio se puede multiplicar por un factor de una constante real, para obtener un elemento del espacio de Schwartz. En particular, existe una incrustación de polinomios dentro de un espacio de Schwartz.
Si f , g ∈ 𝒮( R n ) entonces el producto fg ∈ 𝒮( R n ) .
En particular, esto implica que 𝒮( R n ) es un R -álgebra. De manera más general, si f ∈ 𝒮( R ) y H es una función suave y acotada con derivadas acotadas de todos los órdenes, entonces fH ∈ 𝒮( R ) .
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