Espacio vectorial topológico de Schwartz

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Schwartz son espacios vectoriales topológicos (TVS) cuyos vecindarios del origen tienen una propiedad similar a la definición de subconjuntos totalmente acotados . Estos espacios fueron introducidos por Alexander Grothendieck .

Definición

Un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$ con dual continuo , $X$ se denomina espacio de Schwartz si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^[1] $X^{\prime}$

Para cada vecindad convexa cerrada y equilibrada $U$ del origen en $X$ , existe una vecindad $V$ de $0$ en $X$ tal que para todo real $r > 0$ , $V$ puede ser cubierta por un número finito de traslaciones de $rU$ .
Todo subconjunto acotado de $X$ es totalmente acotado y para cada vecindad cerrada convexa equilibrada $U$ del origen en $X$ , existe una vecindad $V$ de $0$ en $X$ tal que para todo real $r > 0$ , existe un subconjunto acotado $B$ de $X$ tal que $V \subseteq B + rU$ .

Propiedades

Todo espacio de Schwartz cuasi-completo es un espacio semi-Montel . Todo espacio de Fréchet Schwartz es un espacio Montel . ^[2]

El espacio dual fuerte de un espacio de Schwartz completo es un espacio ultrabornológico .

Ejemplos y condiciones suficientes

Los subespacios vectoriales de los espacios de Schwartz son espacios de Schwartz.
El cociente de un espacio de Schwartz por un subespacio vectorial cerrado es nuevamente un espacio de Schwartz.
El producto cartesiano de cualquier familia de espacios de Schwartz es nuevamente un espacio de Schwartz.
La topología débil inducida en un espacio vectorial por una familia de mapas lineales valorados en espacios de Schwartz es un espacio de Schwartz si la topología débil es de Hausdorff.
El límite inductivo estricto localmente convexo de cualquier secuencia contable de espacios de Schwartz (con cada espacio inserto en el siguiente espacio mediante TVS) es nuevamente un espacio de Schwartz.

Contraejemplos

Todo espacio normado de dimensión infinita no es un espacio de Schwartz. ^[2]

Existen espacios de Fréchet que no son espacios de Schwartz y existen espacios de Schwartz que no son espacios de Montel . ^[2]

Véase también

Espacio auxiliar normado
Espacio de Montel : espacio en barril donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos

Referencias

^ Khaleelulla 1982, pág. 32.
^ abc Khaleelulla 1982, págs.

Bibliografía

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