Función de Schwartz-Bruhat

En matemáticas , una función de Schwartz-Bruhat , llamada así por Laurent Schwartz y François Bruhat , es una función de valor complejo en un grupo abeliano localmente compacto , como los adeles , que generaliza una función de Schwartz en un espacio vectorial real. Una distribución templada se define como una función lineal continua en el espacio de funciones de Schwartz-Bruhat.

Definiciones

• En un espacio vectorial real , las funciones de Schwartz-Bruhat son simplemente las funciones de Schwartz habituales (todas las derivadas decrecientes rápidamente) y forman el espacio . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• En un toro, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones suaves.
• En una suma de copias de números enteros, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones rápidamente decrecientes.
• En un grupo elemental (es decir, un grupo abeliano localmente compacto que es un producto de copias de los números reales , los enteros , el grupo del círculo y los grupos finitos), las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones suaves cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes. ^[1]
• En un grupo abeliano general localmente compacto , sea un subgrupo generado de forma compacta , y un subgrupo compacto de tal que sea elemental. Entonces, el pullback de una función de Schwartz–Bruhat en es una función de Schwartz–Bruhat en , y todas las funciones de Schwartz–Bruhat en se obtienen de esta manera para adecuados y . (El espacio de funciones de Schwartz–Bruhat en está dotado de la topología límite inductiva .) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$
• En un cuerpo local no arquimediano , una función de Schwartz-Bruhat es una función localmente constante de soporte compacto. ${\displaystyle K}$
• En particular, en el anillo de adeles sobre un cuerpo global , las funciones de Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de los productos sobre cada lugar de , donde cada una es una función de Schwartz-Bruhat sobre un cuerpo local y es la función característica en el anillo de números enteros para todos excepto un número finito de . (Para los lugares arquimedianos de , las son simplemente las funciones de Schwartz usuales sobre , mientras que para los lugares no arquimedianos las son las funciones de Schwartz-Bruhat de cuerpos locales no arquimedianos). ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \prod _{v}f_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$
• El espacio de funciones de Schwartz-Bruhat en los adeles se define como el producto tensorial restringido ^[2] de los espacios de Schwartz-Bruhat de cuerpos locales, donde es un conjunto finito de lugares de . Los elementos de este espacio son de la forma , donde para todos y para todos excepto un número finito de . Para cada uno podemos escribir , que es finito y, por lo tanto, está bien definido. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(K_{v})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f=\otimes _{v}f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f_{v}|_{{\mathcal {O}}_{v}}=1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle f(x)=\prod _{v}f_{v}(x_{v})}$

Ejemplos

• Toda función de Schwartz–Bruhat puede escribirse como , donde cada , , y . ^[4] Esto puede verse observando que ser un cuerpo local implica que por definición tiene soporte compacto, es decir, tiene una subcubierta finita. Dado que todo conjunto abierto en puede expresarse como una unión disjunta de bolas abiertas de la forma (para algunos y ) tenemos ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle a+p^{k}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})}$. La función también debe ser constante localmente, por lo que para algún . (En cuanto a evaluado en cero, siempre se incluye como término). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$

• En los adeles racionales, todas las funciones en el espacio de Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de sobre todos los primos racionales , donde , , y para todos excepto un número finito de . Los conjuntos y son el cuerpo de números p-ádicos y el anillo de números enteros p-ádicos respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ ${\displaystyle \prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Propiedades

La transformada de Fourier de una función de Schwartz-Bruhat en un grupo abeliano localmente compacto es una función de Schwartz-Bruhat en el grupo dual de Pontryagin . En consecuencia, la transformada de Fourier convierte las distribuciones templadas en dicho grupo en distribuciones templadas en el grupo dual. Dado que la medida de Haar (aditiva) en el espacio de Schwartz-Bruhat es densa en el espacio ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).}$

Aplicaciones

En la teoría algebraica de números , las funciones de Schwartz-Bruhat sobre los adeles se pueden utilizar para dar una versión adélica de la fórmula de suma de Poisson a partir del análisis, es decir, para cada uno tiene , donde . John Tate desarrolló esta fórmula en su tesis doctoral para demostrar una versión más general de la ecuación funcional para la función zeta de Riemann . Esto implica dar a la función zeta de un cuerpo de números una representación integral en la que la integral de una función de Schwartz-Bruhat, elegida como función de prueba, se tuerce por un cierto carácter y se integra con respecto a la medida multiplicativa de Haar de este grupo. Esto permite aplicar métodos analíticos para estudiar funciones zeta a través de estas integrales zeta. ^[5] ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle \sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

Referencias

1. Osborne, M. Scott (1975). "Sobre el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos localmente compactos". Journal of Functional Analysis . 19 : 40–49. doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
2. Golpe, pág. 300
3. Ramakrishnan, Valenza, p.260
4. Deitmar, pág. 134
5. Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, Sr.  0217026

• Osborne, M. Scott (1975). "Sobre el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos localmente compactos". Journal of Functional Analysis . 19 : 40–49. doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
• Gelfand, IM; et al. (1990). Teoría de la representación y funciones automórficas . Boston: Academic Press. ISBN 0-12-279506-7.
• Bump, Daniel (1998). Formas y representaciones automórficas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521658188.
• Deitmar, Anton (2012). Formas automórficas . Berlín: Springer-Verlag Londres. ISBN 978-1-4471-4434-2. ISSN  0172-5939.
• Ramakrishnan, V.; Valenza, RJ (1999). Análisis de Fourier en cuerpos numéricos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387984360.
• Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6, Sr.  0217026