Espacio Montel

Espacio en barril donde los subconjuntos cerrados y acotados son compactos

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Montel , llamado así por Paul Montel , es cualquier espacio vectorial topológico (TVS) en el que se cumple un análogo del teorema de Montel . Específicamente, un espacio de Montel es un espacio vectorial topológico en forma de barril en el que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto .

Definición

Un espacio vectorial topológico (TVS) tiene laPropiedad de Heine-Borel si todosubconjuntocerradoyescompacto.El espacio de Montel es unde barrilcon la propiedad de Heine-Borel. De manera equivalente, es unespacio semi-Montelinfraespacio vectorial topológico localmente convexode Hausdorff se denominaespacio semi-Montel operfecto si cadasubconjunto acotadoesrelativamente compacto.^{[nota 1]} Un subconjunto de un TVS es compacto si y solo si escompletoytotalmente acotado.El espacio Fréchet-Montel es unespacio Fréchetque también es un espacio Montel.

Caracterizaciones

Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y sólo si cada secuencia convergente débil* en su dual continuo es fuertemente convergente . ^[1]

Un espacio de Fréchet es un espacio de Montel si y solo si cada función continua acotada envía subconjuntos cerrados, acotados y absolutamente convexos de a subconjuntos relativamente compactos de Además, si denota el espacio vectorial de todas las funciones continuas acotadas en un espacio de Fréchet, entonces es Montel si y solo si cada secuencia en que converge a cero en la topología compacta-abierta también converge uniformemente a cero en todos los subconjuntos cerrados, acotados y absolutamente convexos de ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to c_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{b}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Condiciones suficientes

Espacios Semi-Montel

Un subespacio vectorial cerrado de un espacio semi-Montel es a su vez un espacio semi-Montel. La suma directa localmente convexa de cualquier familia de espacios semi-Montel es a su vez un espacio semi-Montel. El límite inverso de un sistema inverso que consiste en espacios semi-Montel es a su vez un espacio semi-Montel. El producto cartesiano de cualquier familia de espacios semi-Montel (o espacios Montel) es a su vez un espacio semi-Montel (o un espacio Montel).

Espacios Montel

El dual fuerte de un espacio de Montel es Montel. Un espacio nuclear cuasicompleto con forma de barril es un espacio de Montel. ^[1] Todo producto y suma directa localmente convexa de una familia de espacios de Montel es un espacio de Montel. ^[1] El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios de Montel es un espacio de Montel. ^[1] Por el contrario, los subespacios cerrados y los cocientes separados de los espacios de Montel en general ni siquiera son reflexivos . ^[1] Todo espacio de Fréchet Schwartz es un espacio de Montel. ^[3]

Propiedades

Los espacios de Montel son paracompactos y normales . ^[4] Los espacios semi-Montel son cuasicompletos y semi-reflexivos mientras que los espacios de Montel son reflexivos .

Ningún espacio de Banach de dimensión infinita es un espacio de Montel. Esto se debe a que un espacio de Banach no puede satisfacer la propiedad de Heine-Borel : la esfera unitaria cerrada es cerrada y acotada, pero no compacta. Los espacios de Montel de Fréchet son separables y tienen un dual fuerte bornológico . Un espacio de Montel metrizable es separable . ^[1]

Los espacios de Fréchet-Montel son espacios distinguidos .

Ejemplos

En el análisis complejo clásico , el teorema de Montel afirma que el espacio de funciones holomorfas en un subconjunto abierto y conexo de los números complejos tiene esta propiedad. ^{[ cita requerida ]}

Muchos espacios de Montel de interés contemporáneo surgen como espacios de funciones de prueba para un espacio de distribuciones . El espacio de funciones suaves en un conjunto abierto en es un espacio de Montel equipado con la topología inducida por la familia de seminormas ^[5] para y abarca sobre subconjuntos compactos de y es un multiíndice . De manera similar, el espacio de funciones con soporte compacto en un conjunto abierto con la topología final de la familia de inclusiones como abarca sobre todos los subconjuntos compactos de El espacio de Schwartz también es un espacio de Montel. ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \|f\|_{K,n}=\sup _{|\alpha |\leq n}\sup _{x\in K}\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|}$$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \scriptstyle {C_{0}^{\infty }(K)\subset C_{0}^{\infty }(\Omega )}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Omega .}$

Contraejemplos

Todo espacio normado de dimensión infinita es un espacio de barril que no es un espacio de Montel. ^[6] En particular, todo espacio de Banach de dimensión infinita no es un espacio de Montel. ^[6] Existen espacios de Montel que no son separables y existen espacios de Montel que no son completos . ^[6] Existen espacios de Montel que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son espacios de Montel. ^[7]

Véase también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Teorema de Heine-Borel  : un subconjunto del espacio euclidiano es compacto si y solo si es cerrado y acotado
• Espacio LB
• Espacio LF  – Espacio vectorial topológico
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert

Notas

1. Un subconjunto de un espacio topológico se llama relativamente compacto porque su clausura es compacta . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 194-195.
2. Lindström 1990, págs. 191-196.
3. Khaleelulla 1982, págs. 32–63.
4. "Espacio vectorial topológico". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
5. Hogbe-Nlend y Moscatelli 1981, pág. 235
6. Khaleelulla 1982, págs.
7. Khaleelulla 1982, págs. 103-110.

Bibliografía

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• "Espacio de Montel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]