Teorema de Heine-Borel

Un subconjunto del espacio euclidiano es compacto si y sólo si es cerrado y acotado

En un análisis real, el teorema de Heine-Borel , que lleva el nombre de Eduard Heine y Émile Borel , afirma:

Para un subconjunto S del espacio euclidiano R ⁿ , las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

• S es cerrado y acotado
• S es compacto , es decir, toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita.

Historia y motivación

La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de fundamentos sólidos del análisis real. Un elemento central de la teoría era el concepto de continuidad uniforme y el teorema que establece que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrar esto e implícitamente utilizó la existencia de una subcubierta finita de una cubierta abierta dada de un intervalo cerrado en su prueba. ^[1] Usó esta prueba en sus conferencias de 1852, que no se publicaron hasta 1904. ^[1] Posteriormente , Eduard Heine , Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares. Émile Borel en 1895 fue el primero en enunciar y demostrar una forma de lo que ahora se llama teorema de Heine-Borel. Su formulación se restringió a portadas contables . Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a portadas arbitrarias. ^[2]

Prueba

Si un conjunto es compacto, entonces debe ser cerrado.

Sea S un subconjunto de R ⁿ . Observe primero lo siguiente: si a es un punto límite de S , entonces cualquier colección finita C de conjuntos abiertos, tal que cada conjunto abierto U ∈ C sea disjunto de alguna vecindad V _U de a , no puede ser una cobertura de S. De hecho, la intersección de la familia finita de conjuntos V _U es una vecindad W de a en R ⁿ . Dado que a es un punto límite de S , W debe contener un punto x en S. Este x ∈ S no está cubierto por la familia C , porque cada U en C es disjunto de V _U y por tanto disjunto de W , que contiene x .

Si S es compacto pero no cerrado, entonces tiene un punto límite a que no está en S. Considere una colección C  ′ que consta de una vecindad abierta N ( x ) para cada x ∈ S , elegida lo suficientemente pequeña como para no intersectar alguna vecindad V _x de a . Entonces C  ′ es una cubierta abierta de S , pero cualquier subcolección finita de C  ′ tiene la forma de C discutida anteriormente y, por lo tanto, no puede ser una subcubierta abierta de S . Esto contradice la compacidad de S . Por tanto, todo punto límite de S está en S , por lo que S es cerrado.

La prueba anterior se aplica casi sin cambios para mostrar que cualquier subconjunto compacto S de un espacio topológico de Hausdorff X está cerrado en X.

Si un conjunto es compacto, entonces está acotado.

Sea un conjunto compacto en y una bola de radio 1 con centro en . Entonces el conjunto de todas esas bolas centradas en es claramente una cubierta abierta de , ya que contiene todas las de . Como es compacto, tome una subcubierta finita de esta cubierta. Esta subcubierta es la unión finita de bolas de radio 1. Considere todos los pares de centros de estas (finitas) bolas (de radio 1) y sea el máximo de las distancias entre ellas. Entonces, si y son los centros (respectivamente) de bolas unitarias que contienen arbitrariamente , la desigualdad del triángulo dice: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{x\in S}U_{x}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{q}}$ ${\displaystyle p,q\in S}$

$${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,C_{p})+d(C_{p},C_{q})+d(C_{q},q)\leq 1+M+1=M+2.}$$

Entonces el diámetro de está acotado por . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M+2}$

Lema: Un subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto.

Sea K un subconjunto cerrado de un conjunto compacto T en R ⁿ y sea C _K una cubierta abierta de K . Entonces U = R ⁿ \ K es un conjunto abierto y

$${\displaystyle C_{T}=C_{K}\cup \{U\}}$$

es una cubierta abierta de T . Dado que T es compacto, entonces CT tiene una subcobertura finita _que también cubre el conjunto más pequeño K. Dado que U no contiene ningún punto de K , el conjunto K ya está cubierto por una subcolección finita de la colección original C _K. Por tanto, es posible extraer de cualquier cubierta abierta C _K de K una subcubierta finita. ${\displaystyle C_{T}',}$ ${\displaystyle C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},}$

Si un conjunto es cerrado y acotado, entonces es compacto.

Si un conjunto S en R ⁿ está acotado, entonces puede encerrarse dentro de una n -caja

$${\displaystyle T_{0}=[-a,a]^{n}}$$

donde a > 0. Por el lema anterior, basta con demostrar que T ₀ es compacto.

Supongamos, a modo de contradicción, que T ₀ no es compacto. Entonces existe una cubierta abierta infinita C de T ₀ que no admite ninguna subcubierta finita. Mediante la bisección de cada uno de los lados de T ₀ , la caja T ₀ se puede dividir en 2 ⁿ sub n -cajas, cada una de las cuales tiene un diámetro igual a la mitad del diámetro de T ₀ . Entonces al menos una de las 2 ⁿ secciones de T ₀ debe requerir una subcobertura infinita de C , de lo contrario C mismo tendría una subcobertura finita, al unir las cubiertas finitas de las secciones. Llame a esta sección T ₁ .

Asimismo, los lados de T ₁ se pueden bisecar, lo que produce 2 n ^secciones de T ₁ , al menos una de las cuales debe requerir una subcobertura infinita de C. Continuando de la misma manera se obtiene una secuencia decreciente de n -cajas anidadas:

$${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset T_{2}\supset \ldots \supset T_{k}\supset \ldots }$$

donde la longitud del lado de T _k es (2  a ) / 2 ^k , que tiende a 0 cuando k tiende al infinito. Definamos una secuencia ( x _k ) tal que cada x _k esté en T _k . Esta secuencia es de Cauchy , por lo que debe converger a algún límite L. Dado que cada T _k es cerrado, y para cada k la secuencia ( x _k ) finalmente siempre está dentro de T _k , vemos que L  ∈  T _k para cada k .

Dado que C cubre T ₀ , entonces tiene algún miembro U  ∈ C tal que L  ∈ U . Como U es abierto, hay una n -bola B ( L ) ⊆ U . Para k lo suficientemente grande , se tiene T _k ⊆ B ( L ) ⊆ U , pero entonces el número infinito de miembros de C necesarios para cubrir T _k puede reemplazarse por solo uno: U , una contradicción.

Por tanto, T ₀ es compacto. Dado que S es cerrado y un subconjunto del conjunto compacto T ₀ , entonces S también es compacto (ver el lema anterior).

Propiedad de Heine-Borela

El teorema de Heine-Borel no se cumple como se afirma para espacios vectoriales topológicos y métricos generales , y esto da lugar a la necesidad de considerar clases especiales de espacios donde esta proposición es verdadera. Se dice que estos espacios tienen la propiedad de Heine-Borel .

En la teoría de los espacios métricos.

Se dice que un espacio métrico tiene la propiedad de Heine-Borel si cada conjunto acotado cerrado ^[3] es compacto. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$

Muchos espacios métricos no tienen la propiedad de Heine-Borel, como el espacio métrico de números racionales (o incluso cualquier espacio métrico incompleto). Los espacios métricos completos también pueden no tener la propiedad; por ejemplo, ningún espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como espacios métricos). Aún más trivialmente, si la recta real no está dotada de la métrica habitual, es posible que no tenga la propiedad de Heine-Borel.

Un espacio métrico tiene una métrica de Heine-Borel que es localmente idéntica a Cauchy si y solo si es completa , compacta y localmente compacta . ^[4] ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

En la teoría de los espacios vectoriales topológicos.

Se dice que un espacio vectorial topológico tiene la propiedad de Heine-Borel ^[5] (RE Edwards usa el término espacio compacto acotado ^[6] ) si cada conjunto acotado cerrado [ ^7] es compacto. ^{[8] Ningún} espacio de Banach de dimensión infinita tiene la propiedad de Heine-Borel (como espacios vectoriales topológicos). Pero algunos espacios de Fréchet de dimensión infinita tienen, por ejemplo, el espacio de funciones suaves en un conjunto abierto ^[6] y el espacio de funciones holomorfas en un conjunto abierto . ^{[6] De manera más general, cualquier} espacio nuclear cuasi completo tiene la propiedad de Heine-Borel. Todos los espacios de Montel también tienen la propiedad Heine-Borel. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$

Ver también

• Teorema de Bolzano-Weierstrass

Notas

1. Raman-Sundström, Manya (agosto-septiembre de 2015). "Una historia pedagógica de la compacidad". Mensual Matemático Estadounidense . 122 (7): 619–635. arXiv : 1006.4131 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. S2CID  119936587.
2. Sundström, Manya Raman (2010). "Una historia pedagógica de la compacidad". arXiv : 1006.4131v1 [matemáticas.HO].
3. Se dice que un conjunto en un espacio métrico está acotado si está contenido en una bola de radio finito, es decir, existe y tal que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq \{x\in X:\ d(x,a)\leq r\}}$
4. Williamson y Janos 1987.
5. Kirillov y Gvishiani 1982, teorema 28.
6. Edwards 1965, 8.4.7.
7. Se dice que un conjunto en un espacio vectorial topológico está acotado si para cada vecindad de cero existe un escalar tal que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle B\subseteq \lambda \cdot U}$
8. En el caso de que la topología de un espacio vectorial topológico sea generada por alguna métrica, esta definición no es equivalente a la definición de la propiedad de Heine-Borel como espacio métrico, ya que la noción de conjunto acotado como espacio métrico es diferente. de la noción de conjunto acotado como espacio vectorial topológico. Por ejemplo, el espacio de funciones suaves en el intervalo con la métrica (aquí está la derivada -ésima de la función ) tiene la propiedad de Heine-Borel como espacio vectorial topológico pero no como espacio métrico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}{1+\max _{t\in [0,1]}|x^{(k)}(t)-y^{(k)}(t)|}}}$ ${\displaystyle x^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}^{\infty }[0,1]}$

Referencias

• P. Dugac (1989). "Sobre la correspondencia de Borel et le théorème de Dirichlet – Heine – Weierstrass – Borel – Schoenflies – Lebesgue". Arco. En t. Historia. Ciencia . 39 : 69-110.
• BookOfProofs: Propiedad de Heine-Borel
• Jeffreys, H.; Jeffreys, BS (1988). Métodos de Física Matemática . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521097239.
• Williamson, R.; János, L. (1987). "Métricas constructivas con la propiedad Heine-Borel". Proc. AMS . 100 (3): 567–573. doi : 10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X .
• Kirillov, AA; Gvishiani, AD (1982). Teoremas y problemas del análisis funcional . Springer-Verlag Nueva York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
• Edwards, RE (1965). Análisis funcional . Holt, Rinehart y Winston. ISBN 0030505356.

enlaces externos

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf contra Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). El teorema de Heine-Borel. Hannover: Universidad Leibniz. Archivado desde el original (avi • mp4 • mov • swf • video transmitido) el 19 de julio de 2011.
• "Teorema de cobertura de Borel-Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld "Teorema de Heine-Borel"
• "Un análisis de las primeras pruebas del teorema de Heine-Borel: la prueba de Lebesgue"