Análisis reales

Matemáticas de números reales y funciones reales.

En matemáticas , la rama del análisis real estudia el comportamiento de los números reales , las sucesiones y series de números reales y las funciones reales . ^[1] Algunas propiedades particulares de secuencias y funciones de valores reales que estudia el análisis real incluyen convergencia , límites , continuidad , suavidad , diferenciabilidad e integrabilidad .

El análisis real se distingue del análisis complejo , que se ocupa del estudio de los números complejos y sus funciones.

Alcance

Construcción de los números reales.

Los teoremas del análisis real se basan en las propiedades del sistema de números reales , que deben establecerse. El sistema de números reales consta de un conjunto incontable ( ), junto con dos operaciones binarias denominadas + y ⋅ , y un orden total denominado ≤ . Las operaciones convierten los números reales en un campo y, junto con el orden, en un campo ordenado . El sistema de números reales es el único campo ordenado completo , en el sentido de que cualquier otro campo ordenado completo es isomorfo a él. Intuitivamente, integridad significa que no hay "lagunas" (o "agujeros") en los números reales. Esta propiedad distingue los números reales de otros campos ordenados (por ejemplo, los números racionales ) y es fundamental para la prueba de varias propiedades clave de las funciones de los números reales. La integridad de los reales a menudo se expresa convenientemente como la propiedad de límite superior mínimo (ver más abajo). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Propiedades de orden de los números reales.

Los números reales tienen varias propiedades teóricas de red que están ausentes en los números complejos. Asimismo, los números reales forman un campo ordenado , en el que las sumas y productos de números positivos también lo son. Además, el orden de los números reales es total y los números reales tienen la propiedad de límite superior mínimo :

Cada subconjunto no vacío que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo que también es un número real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estas propiedades de la teoría del orden conducen a una serie de resultados fundamentales en el análisis real, como el teorema de convergencia monótona , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio .

Sin embargo, si bien los resultados del análisis real se expresan para números reales, muchos de estos resultados pueden generalizarse a otros objetos matemáticos. En particular, muchas ideas del análisis funcional y la teoría de operadores generalizan propiedades de los números reales; dichas generalizaciones incluyen las teorías de los espacios de Riesz y los operadores positivos . Además, los matemáticos consideran partes reales e imaginarias de secuencias complejas, o mediante evaluación puntual de secuencias de operadores . ^{[ se necesita aclaración ]}

Propiedades topológicas de los números reales.

Muchos de los teoremas del análisis real son consecuencias de las propiedades topológicas de la recta de números reales. Las propiedades de orden de los números reales descritas anteriormente están estrechamente relacionadas con estas propiedades topológicas. Como espacio topológico , los números reales tienen una topología estándar , que es la topología de orden inducida por el orden . Alternativamente, al definir la función métrica o de distancia usando la función de valor absoluto como , los números reales se convierten en el ejemplo prototípico de un espacio métrico . La topología inducida por métrica resulta idéntica a la topología estándar inducida por orden . Teoremas como el teorema del valor intermedio , que son esencialmente de naturaleza topológica, a menudo pueden demostrarse en el contexto más general de espacios métricos o topológicos en lugar de hacerlo únicamente. A menudo, estas demostraciones tienden a ser más cortas o simples en comparación con las demostraciones clásicas que aplican métodos directos. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Secuencias

Una secuencia es una función cuyo dominio es un conjunto contable y totalmente ordenado . ^[2] Generalmente se considera que el dominio son los números naturales , ^[3] aunque en ocasiones es conveniente considerar también secuencias bidireccionales indexadas por el conjunto de todos los números enteros, incluidos los índices negativos.

De interés en el análisis real, una secuencia con valores reales , aquí indexada por los números naturales, es un mapa . Cada uno de ellos se denomina término (o, menos comúnmente, elemento ) de la secuencia. Una secuencia rara vez se denota explícitamente como una función; en cambio, por convención, casi siempre se anota como si fuera una tupla ∞ ordenada, con términos individuales o un término general entre paréntesis: ^[4] ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$

$${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$

límiteconvergentedivergenteConsulte la sección sobre límites y convergencia para obtener más detallesacotadadisminuye monótonamente ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (a_{n})}$

$${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$

$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$

monótonaestricta ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Dada una secuencia , otra secuencia es una subsecuencia de if para todos los números enteros positivos y es una secuencia estrictamente creciente de números naturales. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{k})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n_{k})}$

Límites y convergencia

En términos generales, un límite es el valor al que una función o secuencia "se acerca" a medida que la entrada o el índice se acerca a algún valor. ^[5] (Este valor puede incluir los símbolos cuando se aborda el comportamiento de una función o secuencia a medida que la variable aumenta o disminuye sin límite). La idea de un límite es fundamental para el cálculo (y el análisis matemático en general) y su definición formal es utilizado a su vez para definir nociones como continuidad , derivadas e integrales . (De hecho, el estudio de la conducta limitante se ha utilizado como una característica que distingue el cálculo y el análisis matemático de otras ramas de las matemáticas). ${\displaystyle \pm \infty }$

El concepto de límite fue introducido informalmente para funciones por Newton y Leibniz , a finales del siglo XVII, para construir el cálculo infinitesimal . Para las secuencias, el concepto fue introducido por Cauchy , y hecho riguroso, a finales del siglo XIX por Bolzano y Weierstrass , quienes dieron la definición moderna ε-δ , que sigue.

Definición. Sea una función de valor real definida en . Decimos que tiende a as aproximaciones , o que el límite de as aproximaciones es si, para alguno , existe tal que para todos , implica eso . Escribimos esto simbólicamente como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

$${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$

${\displaystyle f(x)\to L}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

En un contexto ligeramente diferente pero relacionado, el concepto de límite se aplica al comportamiento de una secuencia cuando se vuelve grande. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Definición. Sea una secuencia de valor real. Decimos que converge a si, para cualquiera , existe un número natural tal que implique que . Escribimos esto simbólicamente como ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$

$${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a;}$$

diverge ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

Generalizando a una función con valor real de una variable real, una ligera modificación de esta definición (reemplazo de secuencia y término por función y valor y números naturales y por números reales y , respectivamente) produce la definición del límite de como aumenta sin límite , anotado . Invertir la desigualdad a da la definición correspondiente del límite de as disminuye sin límite , . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle x\geq M}$ ${\displaystyle x\leq M}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

A veces, es útil concluir que una secuencia converge, aunque el valor al que converge sea desconocido o irrelevante. En estos casos, el concepto de secuencia de Cauchy es útil.

Definición. Sea una secuencia de valor real. Decimos que es una secuencia de Cauchy si, para cualquiera , existe un número natural tal que implique que . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n\geq N}$ ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Se puede demostrar que una secuencia con valores reales es Cauchy si y sólo si es convergente. Esta propiedad de los números reales se expresa diciendo que los números reales dotados de la métrica estándar, es un espacio métrico completo . Sin embargo, en un espacio métrico general, no es necesario que una secuencia de Cauchy converja. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

Además, para secuencias de valores reales que son monótonas, se puede demostrar que la secuencia está acotada si y sólo si es convergente.

Convergencia uniforme y puntual para secuencias de funciones.

Además de secuencias de números, también se puede hablar de secuencias de funciones en , es decir, familias infinitas y ordenadas de funciones , denotadas , y sus propiedades de convergencia. Sin embargo, en el caso de secuencias de funciones, hay dos tipos de convergencia, conocidas como convergencia puntual y convergencia uniforme , que es necesario distinguir. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

En términos generales, la convergencia puntual de funciones a una función limitante , denotada , simplemente significa que dado cualquiera , como . Por el contrario, la convergencia uniforme es un tipo de convergencia más fuerte, en el sentido de que una secuencia de funciones uniformemente convergente también converge puntualmente, pero no a la inversa. La convergencia uniforme requiere que los miembros de la familia de funciones, caigan dentro de algún error de para cada valor de , siempre que , para algún número entero . Para que una familia de funciones converja uniformemente, a veces denotada como , dicho valor de debe existir para cualquier valor dado, sin importar cuán pequeño sea. Intuitivamente, podemos visualizar esta situación imaginando que, para un valor suficientemente grande , todas las funciones están confinadas dentro de un "tubo" de ancho aproximadamente (es decir, entre y ) para cada valor en su dominio . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-\varepsilon }$ ${\displaystyle f+\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

La distinción entre convergencia puntual y uniforme es importante cuando se desea intercambiar el orden de dos operaciones limitantes (por ejemplo, tomar un límite, una derivada o una integral): para que el intercambio se comporte bien, muchos teoremas del análisis real llaman para una convergencia uniforme. Por ejemplo, se garantiza que una secuencia de funciones continuas (ver más abajo) convergerá en una función límite continua si la convergencia es uniforme, mientras que la función límite puede no ser continua si la convergencia es solo puntual. A Karl Weierstrass generalmente se le atribuye el mérito de definir claramente el concepto de convergencia uniforme e investigar a fondo sus implicaciones.

Compacidad

La compacidad es un concepto de topología general que juega un papel importante en muchos de los teoremas del análisis real. La propiedad de compacidad es una generalización de la noción de conjunto cerrado y acotado . (En el contexto del análisis real, estas nociones son equivalentes: un conjunto en el espacio euclidiano es compacto si y sólo si es cerrado y acotado). Brevemente, un conjunto cerrado contiene todos sus puntos límite , mientras que un conjunto es acotado si hay Existe un número real tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera del conjunto es menor que ese número. En , los conjuntos que son cerrados y acotados, y por tanto compactos, incluyen el conjunto vacío, cualquier número finito de puntos, intervalos cerrados y sus uniones finitas. Sin embargo, esta lista no es exhaustiva; por ejemplo, el conjunto es un conjunto compacto; el conjunto ternario de Cantor es otro ejemplo de conjunto compacto. Por otro lado, el conjunto no es compacto porque está acotado pero no cerrado, ya que el punto límite 0 no es miembro del conjunto. El conjunto tampoco es compacto porque es cerrado pero no acotado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Para subconjuntos de números reales, existen varias definiciones equivalentes de compacidad.

Definición. Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

Esta definición también es válida para espacios euclidianos de cualquier dimensión finita, pero no es válida para espacios métricos en general. La equivalencia de la definición con la definición de compacidad basada en subcoberturas, que se da más adelante en esta sección, se conoce como teorema de Heine-Borel . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una definición más general que se aplica a todos los espacios métricos utiliza la noción de subsecuencia (ver arriba).

Definición. Un conjunto en un espacio métrico es compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Esta propiedad particular se conoce como compacidad subsiguiente . En , un conjunto es posteriormente compacto si y sólo si es cerrado y acotado, lo que hace que esta definición sea equivalente a la dada anteriormente. La compacidad subsiguiente equivale a la definición de compacidad basada en subcoberturas para espacios métricos, pero no para espacios topológicos en general. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La definición más general de compacidad se basa en la noción de cubiertas y subcubiertas abiertas , que es aplicable a espacios topológicos (y por tanto a espacios métricos y como casos especiales). En resumen, se dice que una colección de conjuntos abiertos es una cubierta abierta de conjunto si la unión de estos conjuntos es un superconjunto de . Se dice que esta cubierta abierta tiene una subcubierta finita si se puede encontrar una subcolección finita de la que también cubra . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Definición. Un conjunto en un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos compactos se comportan bien con respecto a propiedades como la convergencia y la continuidad. Por ejemplo, cualquier secuencia de Cauchy en un espacio métrico compacto es convergente. Como otro ejemplo, la imagen de un espacio métrico compacto bajo un mapa continuo también es compacta.

Continuidad

Una función del conjunto de los números reales a los números reales se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, la gráfica es una única curva ininterrumpida sin "agujeros" ni "saltos".

Hay varias maneras de hacer que esta intuición sea matemáticamente rigurosa. Se pueden dar varias definiciones de distintos niveles de generalidad. En los casos en los que dos o más definiciones son aplicables, se demuestra fácilmente que son equivalentes entre sí, por lo que se puede utilizar la definición más conveniente para determinar si una función dada es continua o no. En la primera definición que se da a continuación, es una función definida en un intervalo no degenerado del conjunto de números reales como su dominio. Algunas posibilidades incluyen , el conjunto completo de números reales, un intervalo abierto o un intervalo cerrado. Aquí, y son números reales distintos, y excluimos el caso de que estén vacíos o consistan en un solo punto, en particular. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Definición. Si es un intervalo no degenerado, decimos que es continuo en si . Decimos que es un mapa continuo si es continuo en cada punto . ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in I}$

En contraste con los requisitos para tener un límite en un punto , que no restringen el comportamiento de en sí mismo, las dos condiciones siguientes, además de la existencia de , también deben cumplirse para que sea continuo en : (i) debe definirse en , es decir, está en el dominio de ; y (ii) como . La definición anterior en realidad se aplica a cualquier dominio que no contenga un punto aislado o, de manera equivalente, donde cada sea un punto límite de . Una definición más general que se aplica a un dominio general es la siguiente: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ ${\displaystyle x\to p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$

Definición. Si es un subconjunto arbitrario de , decimos que es continuo en si, para cualquiera , existe tal que para todos , implica que . Decimos que es un mapa continuo si es continuo en cada punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle |x-p|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$

Una consecuencia de esta definición es que es trivialmente continua en cualquier punto aislado . Este tratamiento algo poco intuitivo de puntos aislados es necesario para asegurar que nuestra definición de continuidad para funciones en la línea real sea consistente con la definición más general de continuidad para mapas entre espacios topológicos (que incluye espacios métricos y en particular casos especiales). Esta definición, que se extiende más allá del alcance de nuestra discusión sobre el análisis real, se presenta a continuación para que esté completa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición. Si y son espacios topológicos, decimos que es continuo en if es una vecindad de in para cada vecindad de in . Decimos que es un mapa continuo si se abre por cada abierto en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$

(Aquí, se refiere a la preimagen de debajo ). ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad uniforme

Definición. Si es un subconjunto de los números reales , decimos que una función es uniformemente continua si , para cualquiera , existe un tal que para todos , implica que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Explícitamente, cuando una función es uniformemente continua en , la elección de necesario para cumplir la definición debe funcionar para todos de para un determinado . Por el contrario, cuando una función es continua en todo punto (o se dice que es continua en ), la elección de puede depender tanto de como de . A diferencia de la continuidad simple, la continuidad uniforme es una propiedad de una función que sólo tiene sentido en un dominio específico; hablar de continuidad uniforme en un solo punto no tiene sentido. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

En un conjunto compacto, se demuestra fácilmente que todas las funciones continuas son uniformemente continuas. Si es un subconjunto acotado y no compacto de , entonces existe un subconjunto que es continuo pero no uniformemente continuo. Como ejemplo simple, considere definido por . Al elegir puntos cercanos a 0, siempre podemos elegir cualquier opción única para un determinado . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Continuidad absoluta

Definición. Sea un intervalo sobre la recta real . Se dice que una función es absolutamente continua si para cada número positivo , hay un número positivo tal que siempre que se cumpla una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares de [ ^6] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

entonces

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Las funciones absolutamente continuas son continuas: considere el caso n = 1 en esta definición. La colección de todas las funciones absolutamente continuas en I se denota AC( I ). La continuidad absoluta es un concepto fundamental en la teoría de la integración de Lebesgue, que permite la formulación de una versión generalizada del teorema fundamental del cálculo que se aplica a la integral de Lebesgue.

Diferenciación

La noción de derivada de una función o diferenciabilidad se origina en el concepto de aproximar una función cerca de un punto dado utilizando la "mejor" aproximación lineal. Esta aproximación, si existe, es única y viene dada por la recta tangente a la función en el punto dado , y la pendiente de la recta es la derivada de la función en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Una función es diferenciable si el límite ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

existe. Este límite se conoce como derivada de at ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ , y la función , posiblemente definida solo en un subconjunto de , es la derivada (o función derivada ) de . Si la derivada existe en todas partes, se dice que la función es diferenciable . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Como simple consecuencia de la definición, es continua en si es diferenciable allí. Por lo tanto, la diferenciabilidad es una condición de regularidad más fuerte (condición que describe la "suavidad" de una función) que la continuidad, y es posible que una función sea continua en toda la línea real pero no diferenciable en ninguna parte (ver la función continua no diferenciable en ninguna parte de Weierstrass ). También es posible analizar la existencia de derivadas de orden superior encontrando la derivada de una función derivada, etc. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Se pueden clasificar funciones por su clase de diferenciabilidad . La clase (a veces para indicar el intervalo de aplicabilidad) consta de todas las funciones continuas. La clase consta de todas las funciones diferenciables cuya derivada es continua; tales funciones se llaman continuamente diferenciables . Así, una función es exactamente una función cuya derivada existe y es de clase . En general, las clases se pueden definir recursivamente declarando que son el conjunto de todas las funciones continuas y declarando que cualquier entero positivo es el conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada está en . En particular, está contenido en for each y hay ejemplos que muestran que esta contención es estricta. La clase es la intersección de los conjuntos que varían en los números enteros no negativos, y los miembros de esta clase se conocen como funciones suaves . La clase consta de todas las funciones analíticas y está estrictamente contenida en (consulte la función de aumento para ver una función suave que no es analítica). ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}([a,b])}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Serie

Una serie formaliza la noción imprecisa de tomar la suma de una secuencia interminable de números. La idea de que tomar la suma de un número "infinito" de términos puede conducir a un resultado finito era contraintuitiva para los antiguos griegos y llevó a la formulación de una serie de paradojas por parte de Zenón y otros filósofos. La noción moderna de asignar un valor a una serie evita abordar la noción mal definida de agregar un número "infinito" de términos. En cambio, se considera la suma finita de los primeros términos de la secuencia, conocida como suma parcial, y el concepto de límite se aplica a la secuencia de sumas parciales a medida que crece sin límite. A la serie se le asigna el valor de este límite, si existe. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dada una secuencia (infinita) , podemos definir una serie asociada como el objeto matemático formal , a veces escrito simplemente como . Las sumas parciales de una serie son los números . Se dice que una serie es convergente si la secuencia que consta de sus sumas parciales, , es convergente; de lo contrario es divergente . La suma de una serie convergente se define como el número . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

La palabra "suma" se utiliza aquí en un sentido metafórico como una abreviatura para tomar el límite de una secuencia de sumas parciales y no debe interpretarse como simplemente "sumar" un número infinito de términos. Por ejemplo, a diferencia del comportamiento de sumas finitas, reorganizar los términos de una serie infinita puede dar como resultado una convergencia a un número diferente (consulte el artículo sobre el teorema de reordenamiento de Riemann para obtener más información).

Un ejemplo de serie convergente es una serie geométrica que forma la base de una de las famosas paradojas de Zenón :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

Por el contrario, la serie armónica se sabe desde la Edad Media que es una serie divergente:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(Aquí, " " es simplemente una convención de notación para indicar que las sumas parciales de la serie crecen sin límite). ${\displaystyle =\infty }$

Se dice que una serie converge absolutamente si es convergente. Una serie convergente para la cual diverge se dice que converge de manera no absoluta . ^[7] Se muestra fácilmente que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia. Por otro lado, un ejemplo de una serie que converge de forma no absoluta es ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

serie de taylor

La serie de Taylor de una función real o de valor complejo ƒ ( x ) que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a es la serie de potencias

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

que se puede escribir en la notación sigma más compacta como

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

donde norte ! denota el factorial de n y ƒ  ^{( n )} ( a ) denota la n -ésima derivada de ƒ evaluada en el punto a . La derivada de orden cero ƒ se define como la propia ƒ y ( x − a ) ⁰ y 0. ambos se definen como 1. En el caso de que a = 0 , la serie también se llama serie de Maclaurin.

Una serie de Taylor de f alrededor del punto a puede divergir, converger solo en el punto a , converger para todo x tal que (el R más grande para el cual se garantiza la convergencia se llama radio de convergencia ), o converger en toda la línea real. Incluso una serie de Taylor convergente puede converger a un valor diferente del valor de la función en ese punto. Si la serie de Taylor en un punto tiene un radio de convergencia distinto de cero y la suma da la función en el disco de convergencia , entonces la función es analítica . Las funciones analíticas tienen muchas propiedades fundamentales. En particular, una función analítica de una variable real se extiende naturalmente a una función de una variable compleja. Es de esta manera que la función exponencial , el logaritmo , las funciones trigonométricas y sus inversas se extienden a funciones de variable compleja. ${\displaystyle |x-a|<R}$

series de Fourier

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada . Las series de Fourier son una herramienta importante en el análisis real.

La serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales periódicas en la suma de un conjunto (posiblemente infinito) de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos (o exponenciales complejas ). El estudio de las series de Fourier típicamente ocurre y se maneja dentro de la rama matemáticas > análisis matemático > análisis de Fourier .

Integración

La integración es una formalización del problema de encontrar el área limitada por una curva y los problemas relacionados de determinar la longitud de una curva o volumen encerrado por una superficie. La estrategia básica para resolver problemas de este tipo era conocida por los antiguos griegos y chinos, y se la conocía como método de agotamiento . En términos generales, el área deseada está delimitada desde arriba y desde abajo, respectivamente, mediante aproximaciones poligonales circunscritas e inscritas cada vez más precisas cuyas áreas exactas pueden calcularse. Al considerar aproximaciones que consisten en un número cada vez mayor ("infinito") de piezas cada vez más pequeñas ("infinitesimales"), se puede deducir el área limitada por la curva, ya que los límites superior e inferior definidos por las aproximaciones convergen alrededor de un punto común. valor.

El espíritu de esta estrategia básica puede verse fácilmente en la definición de la integral de Riemann, en la que se dice que la integral existe si las sumas superior e inferior de Riemann (o Darboux) convergen a un valor común como cortes rectangulares cada vez más delgados ("refinamientos"). ") son considerados. Aunque la maquinaria utilizada para definirla es mucho más elaborada en comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue se definió con ideas básicas similares en mente. En comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue más sofisticada permite definir y calcular el área (o longitud, volumen, etc.; denominada "medida" en general) para subconjuntos mucho más complicados e irregulares del espacio euclidiano, aunque todavía existen subconjuntos "no mensurables" a los que no se les puede asignar un área.

integración de riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a particiones etiquetadas de un intervalo. Sea un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada es una secuencia finita ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Esto divide el intervalo en subintervalos indexados por , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto distinguido . Para una función acotada , definimos la suma de Riemann con respecto a la partición etiquetada como ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

¿ Dónde está el ancho del subintervalo ? Por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con una altura igual al valor de la función en el punto distinguido del subintervalo dado y un ancho igual al ancho del subintervalo. La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición . Decimos que la integral de Riemann de on es si para alguna existe tal que, para cualquier partición etiquetada con malla , tenemos ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Esto a veces se denota . Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma de Riemann se conoce como suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) . Una función es integrable en Darboux si se puede hacer que las sumas superior e inferior de Darboux estén arbitrariamente cercanas entre sí para una malla suficientemente pequeña. Aunque esta definición da a la integral de Darboux la apariencia de ser un caso especial de la integral de Riemann, de hecho son equivalentes, en el sentido de que una función es integrable de Darboux si y sólo si es integrable de Riemann, y los valores de la las integrales son iguales. De hecho, los libros de texto de cálculo y análisis real a menudo combinan los dos, introduciendo la definición de la integral de Darboux como la de la integral de Riemann, debido a que la definición de la primera es un poco más fácil de aplicar. ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$

El teorema fundamental del cálculo afirma que la integración y la diferenciación son operaciones inversas en cierto sentido.

Integración y medida de Lebesgue.

La integración de Lebesgue es una construcción matemática que extiende la integral a una clase más amplia de funciones; también amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones. El concepto de medida , una abstracción de longitud, área o volumen, es central en la teoría de la probabilidad integral de Lebesgue .

Distribuciones

Las distribuciones (o funciones generalizadas ) son objetos que generalizan funciones . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función localmente integrable tiene una derivada distributiva.

Relación con el análisis complejo

El análisis real es un área de análisis que estudia conceptos como secuencias y sus límites, continuidad, diferenciación , integración y secuencias de funciones. Por definición, el análisis real se centra en los números reales , incluyendo a menudo el infinito positivo y negativo para formar la recta real extendida . El análisis real está estrechamente relacionado con el análisis complejo , que estudia en términos generales las mismas propiedades de los números complejos . En el análisis complejo, es natural definir la diferenciación mediante funciones holomorfas , que tienen una serie de propiedades útiles, como la diferenciabilidad repetida, la expresabilidad como series de potencias y el cumplimiento de la fórmula integral de Cauchy .

En el análisis real, suele ser más natural considerar funciones diferenciables , suaves o armónicas , que son más ampliamente aplicables, pero pueden carecer de algunas propiedades más poderosas de las funciones holomorfas. Sin embargo, resultados como el teorema fundamental del álgebra son más simples cuando se expresan en términos de números complejos.

En el análisis real se utilizan a menudo técnicas de la teoría de funciones analíticas de una variable compleja, como la evaluación de integrales reales mediante el cálculo de residuos .

Resultados importantes

Los resultados importantes incluyen los teoremas de Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel , el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio , el teorema de Taylor , el teorema fundamental del cálculo , el teorema de Arzelà-Ascoli , el teorema de Stone-Weierstrass , el lema de Fatou y la convergencia monótona y teoremas de convergencia dominados .

Generalizaciones y áreas relacionadas de las matemáticas.

Varias ideas del análisis real pueden generalizarse desde la línea real a contextos más amplios o abstractos. Estas generalizaciones vinculan el análisis real con otras disciplinas y subdisciplinas. Por ejemplo, la generalización de ideas como funciones continuas y compacidad desde el análisis real a espacios métricos y espacios topológicos conecta el análisis real con el campo de la topología general , mientras que la generalización de espacios euclidianos de dimensión finita a análogos de dimensión infinita condujo a los conceptos de espacios de Banach. y espacios de Hilbert y, más generalmente, al análisis funcional . La investigación de Georg Cantor sobre conjuntos y secuencias de números reales, las asignaciones entre ellos y las cuestiones fundamentales del análisis real dieron origen a la ingenua teoría de conjuntos . El estudio de cuestiones de convergencia para secuencias de funciones finalmente dio origen al análisis de Fourier como una subdisciplina del análisis matemático. La investigación de las consecuencias de la diferenciabilidad generalizada de funciones de una variable real a funciones de una variable compleja dio lugar al concepto de funciones holomorfas y al inicio del análisis complejo como otra subdisciplina distinta de análisis. Por otro lado, la generalización de la integración desde el sentido de Riemann al de Lebesgue llevó a la formulación del concepto de espacios de medida abstractos , concepto fundamental en la teoría de la medida . Finalmente, la generalización de la integración desde la línea real a curvas y superficies en espacios de dimensiones superiores provocó el estudio del cálculo vectorial , cuya generalización y formalización adicional jugó un papel importante en la evolución de los conceptos de formas diferenciales y variedades suaves (diferenciables). en geometría diferencial y otras áreas estrechamente relacionadas de geometría y topología .

Ver también

• Lista de temas de análisis reales.
• Cálculo de escala de tiempo : una unificación del análisis real con el cálculo de diferencias finitas
• Función multivariable real
• Espacio de coordenadas reales
• Análisis complejo

Referencias

1. Tao, Terence (2003). "Apuntes de la conferencia de MATH 131AH" (PDF) . Sitio web del curso MATH 131AH, Departamento de Matemáticas, UCLA .
2. "Introducción a las secuencias". khanacademy.org .
3. Gaughan, Edward (2009). "1.1 Secuencias y Convergencia". Introducción al Análisis . AM (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
4. Algunos autores (p. ej., Rudin 1976) utilizan llaves en su lugar y escriben . Sin embargo, esta notación entra en conflicto con la notación habitual de un conjunto , que, a diferencia de una secuencia, ignora el orden y la multiplicidad de sus elementos. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$
5. Stewart, James (2008). Cálculo: primeros trascendentales (6ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
6. Royden 1988, sección. 5.4, ​​página 108; Nielsen 1997, Definición 15.6 en la página 251; Athreya y Lahiri 2006, Definiciones 4.4.1, 4.4.2 en las páginas 128,129. Se supone que el intervalo I está acotado y cerrado en los dos primeros libros, pero no en el último.
7. El término convergencia incondicional se refiere a series cuya suma no depende del orden de los términos (es decir, cualquier reordenamiento da la misma suma). De lo contrario , la convergencia se denomina condicional . Para las series de , se puede demostrar que la convergencia absoluta y la convergencia incondicional son equivalentes. Por tanto, el término "convergencia condicional" se utiliza a menudo para referirse a una convergencia no absoluta. Sin embargo, en el escenario general de los espacios de Banach, los términos no coinciden y existen series incondicionalmente convergentes que no convergen absolutamente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Fuentes

• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoría de la medida y teoría de la probabilidad , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Nielsen, Ole A. (1997), Introducción a la integración y la teoría de la medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Análisis real (tercera ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Bibliografía

• Abbott, Stephen (2001). Análisis de comprensión . Textos de Pregrado en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998). Principios del análisis real (3ª ed.). Académico. ISBN 0-12-050257-7.
• Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2011). Introducción al análisis real (4ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). Un enfoque radical del análisis real . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrés (1996). Análisis matemático: una introducción . Textos de Pregrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Carothers, Neal L. (2000). Análisis real. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521497565.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Análisis Real Introductorio . Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Kolmogorov, AN ; Fomín, SV (1975). Análisis real introductorio. Traducido por Richard A. Silverman. Publicaciones de Dover. ISBN 0486612260. Consultado el 2 de abril de 2013 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático. Serie de estudiantes de Walter Rudin en Matemáticas Avanzadas (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3ª ed.). Houston , Texas: Publicar o perecer, Inc. ISBN 091409890X.

enlaces externos

• Cómo llegamos desde allí hasta aquí: una historia de análisis real por Robert Rogers y Eugene Boman
• Un primer curso de análisis por Donald Yau
• Notas web de análisis de John Lindsay Orr
• Análisis real interactivo por Bert G. Wachsmuth
• Un primer curso de análisis por John O'Connor
• Análisis Matemático I por Elias Zakon
• Análisis Matemático II por Elias Zakon
• Trinchera, William F. (2003). Introducción al Análisis Real (PDF) . Prentice Hall . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas: cálculo y análisis
• Análisis básico: Introducción al análisis real por Jiri Lebl
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.