Teorema del residuo

Concepto de análisis complejo

En análisis complejo , el teorema del residuo , a veces llamado teorema del residuo de Cauchy , es una poderosa herramienta para evaluar integrales de línea de funciones analíticas sobre curvas cerradas; a menudo también se puede utilizar para calcular integrales reales y series infinitas . Generaliza el teorema integral de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy . El teorema del residuo no debe confundirse con casos especiales del teorema de Stokes generalizado ; sin embargo, este último puede utilizarse como ingrediente de su prueba.

Declaración

El comunicado es el siguiente:

Ilustración del escenario

Sea un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que contiene una lista finita de puntos y una función holomorfa en Sea una curva rectificable cerrada y denote el residuo de en cada punto por y el número de devanados de alrededor por la integral de línea de alrededor es igual a multiplicar la suma de los residuos, cada uno contado tantas veces como vientos alrededor del punto respectivo: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U_{0},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

Si es una curva cerrada simple orientada positivamente , es si está en el interior de y si no, por lo tanto ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

con la suma sobre los de dentro ^[1] ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma .}$

La relación del teorema del residuo con el teorema de Stokes viene dada por el teorema de la curva de Jordan . La curva plana general γ debe primero reducirse a un conjunto de curvas cerradas simples cuyo total es equivalente a, a efectos de integración; esto reduce el problema a encontrar la integral de a lo largo de una curva de Jordan con El requisito de que sea holomórfico en es equivalente a la afirmación de que la derivada exterior en Por lo tanto, si dos regiones planas y de encierran el mismo subconjunto de regiones y se encuentran completamente en por lo tanto ${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ ${\displaystyle \{a_{k}\},}$ ${\displaystyle V\smallsetminus W}$ ${\displaystyle W\smallsetminus V}$ ${\displaystyle U_{0},}$

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$

está bien definido y es igual a cero. En consecuencia, la integral de contorno de a lo largo es igual a la suma de un conjunto de integrales a lo largo de trayectorias, cada una de las cuales encierra una región arbitrariamente pequeña alrededor de una sola — los residuos de (hasta el factor convencional en Sumando recuperamos la expresión final de la integral de contorno en términos de los números sinuosos ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}$ ${\displaystyle \gamma _{j},}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}.}$ ${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$ ${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Para evaluar integrales reales, el teorema del residuo se utiliza de la siguiente manera: el integrando se extiende al plano complejo y se calculan sus residuos (lo cual suele ser fácil), y una parte del eje real se extiende a una curva cerrada. uniendo un semicírculo en el semiplano superior o inferior, formando un semicírculo. Luego, la integral sobre esta curva se puede calcular utilizando el teorema del residuo. A menudo, la parte del semicírculo de la integral tenderá hacia cero a medida que crece el radio del semicírculo, dejando solo la parte del eje real de la integral, la que nos interesaba originalmente.

Cálculo de Residuos

Supongamos un disco perforado D = { z  : 0 < | z − c | < R } en el plano complejo está dado y f es una función holomorfa definida (al menos) en D . El residuo Res( f , c ) de f en c es el coeficiente a ₋₁ de ( z − c ) ⁻¹ en la expansión en serie de Laurent de f alrededor de c . Existen varios métodos para calcular este valor, y la elección de cuál utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad.

Según el teorema del residuo, tenemos:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

donde γ traza un círculo alrededor de c en sentido antihorario y no pasa ni contiene otras singularidades dentro de él. Podemos elegir que el camino γ sea un círculo de radio ε alrededor de c. Dado que ε puede ser pequeño según lo deseemos, se puede hacer que contenga solo la singularidad de c debido a la naturaleza de las singularidades aisladas. Esto se puede utilizar para el cálculo en los casos en que la integral se puede calcular directamente, pero suele darse el caso de que se utilicen residuos para simplificar el cálculo de integrales, y no al revés.

Singularidades removibles

Si la función f puede continuar hasta una función holomorfa en todo el disco , entonces Res( f ,  c ) = 0. Lo contrario no es generalmente cierto. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Postes simples

En un polo simple c , el residuo de f viene dado por:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Si ese límite no existe, hay allí una singularidad esencial. Si es 0, entonces es analítico o hay una singularidad removible. Si es igual a infinito entonces el orden es mayor que 1.

Puede ser que la función f pueda expresarse como un cociente de dos funciones, donde g y h son funciones holomorfas en una vecindad de c , con h ( c ) = 0 y  h( c ) ≠ 0. En tal caso , la regla de L'Hôpital se puede utilizar para simplificar la fórmula anterior a: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Fórmula límite para polos de orden superior

De manera más general, si c es un polo de orden n , entonces el residuo de f alrededor de z = c se puede encontrar mediante la fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Esta fórmula puede resultar muy útil para determinar los residuos de polos de orden inferior. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse inmanejables y la expansión en serie suele ser más fácil. Para las singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple y, por lo general, los residuos deben tomarse directamente de las expansiones en serie.

Residuo en el infinito

En general, el residuo en el infinito se define como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

entonces el residuo en el infinito se puede calcular usando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

si en cambio

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

entonces el residuo en el infinito es

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Para funciones holomorfas, la suma de los residuos en las singularidades aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).}$

Métodos en serie

Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo que puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tiene una expansión en serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos. El residuo de la función viene dado simplemente por el coeficiente de en la expansión de la función en serie de Laurent . ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Ejemplos

Una integral a lo largo del eje real.

la integral

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

El contorno C.

Surge en la teoría de la probabilidad al calcular la función característica de la distribución de Cauchy . Resiste las técnicas del cálculo elemental pero puede evaluarse expresándolo como límite de integrales de contorno .

Supongamos t > 0 y defina el contorno C que va a lo largo de la línea real de − a a a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 de a a − a . Considere que a es mayor que 1, de modo que la unidad imaginaria i quede encerrada dentro de la curva. Ahora considere la integral de contorno.

$${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Dado que e ^itz es una función completa (que no tiene singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades sólo donde el denominador z ² + 1 es cero. Dado que z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , eso sucede sólo donde z = i o z = − i . Sólo uno de esos puntos se encuentra en la región delimitada por este contorno. Porque f ( z ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}$$

residuof ( z )z = i

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Entonces, según el teorema del residuo, tenemos

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

El contorno C se puede dividir en una parte recta y un arco curvo, de modo que

$${\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}}$$

$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}$$

Usando algunas estimaciones , tenemos

$${\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$$

$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}$$

La estimación del numerador se sigue desde t > 0 , y para números complejos z a lo largo del arco (que se encuentra en el semiplano superior), el argumento φ de z se encuentra entre 0 y π . Entonces,

$${\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}$$

Si t < 0 , entonces un argumento similar con un arco C ′ que gira alrededor de −i en lugar de i muestra que

El contorno C ′ .

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}$$

y finalmente tenemos

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$$

(Si t = 0 entonces la integral cede inmediatamente a los métodos de cálculo elemental y su valor es π ).

Evaluación de funciones zeta

El hecho de que π cot( πz ) tenga polos simples con residuo 1 en cada número entero se puede utilizar para calcular la suma

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}$$

Considere, por ejemplo, f ( z ) = z ⁻² . Sea Γ _N el rectángulo que es el límite de [− N −1/2, norte +1/2] ² con orientación positiva, con un número entero N . Por la fórmula del residuo,

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$$

El lado izquierdo va a cero cuando N → ∞ ya que está uniformemente delimitado en el contorno, gracias al uso en los lados izquierdo y derecho del contorno, por lo que el integrando tiene orden en todo el contorno. Por otra parte, ^[2] ${\displaystyle |\cot(\pi z)|}$ ${\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

$${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$$

número de Bernoulli ${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}$

(De hecho,z/2cuna(z/2) =es/1 − e ^{− iz}−es/2.) Por tanto, el residuo Res _{z =0} es −π ²/3. Concluimos:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

problema de Basilea

El mismo argumento funciona para todos los casos en los que es un número entero positivo, lo que nos da ${\displaystyle f(x)=x^{-2n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$$

${\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}$ ${\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}$

Evaluación de la serie Eisenstein

Se puede utilizar el mismo truco para establecer la suma de la serie de Eisenstein :

$${\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}$$

Prueba

Elija un arbitrario . Como arriba, defina ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}$$

Según el teorema del residuo de Cauchy, para todo lo suficientemente grande como para rodear a , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}$$

Queda por demostrar que la integral converge a cero. Como es una función par y simétrica con respecto al origen, tenemos , y entonces ${\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}$$

Ver también

• Residuo (análisis complejo)
• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema maestro de Glasser
• El lema de Jordan
• Métodos de integración de contornos.
• teorema de morera
• teorema de nachbin
• Residuo en el infinito
• forma logarítmica

Notas

1. Whittaker y Watson 1920, pág. 112, §6.1.
2. Whittaker y Watson 1920, pág. 125, §7.2. Tenga en cuenta que el número de Bernoulli se indica con en el libro de Whittaker & Watson. ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-085008-9.
• Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses apps à la théorie des fonctions (en francés). Ediciones Jacques Gabay (publicado en 1989). ISBN 2-87647-060-8.
• Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). El método Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones . D. Editorial Reidel. ISBN 90-277-1623-4.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1920). Un curso de análisis moderno (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.

enlaces externos

• "Teorema de la integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema del residuo en MathWorld