En matemáticas , una orientación de una curva es la elección de una de las dos direcciones posibles para recorrer la curva. Por ejemplo, para las coordenadas cartesianas , el eje x está tradicionalmente orientado hacia la derecha y el eje y está orientado hacia arriba.
En el caso de una curva plana simple cerrada (es decir, una curva en el plano cuyo punto inicial es también el punto final y que no tiene otras autointersecciones), se dice que la curva está orientada positivamente o en sentido contrario a las agujas del reloj , si una siempre tiene la curva interior a la izquierda (y en consecuencia, la curva exterior a la derecha), al circular por ella. De lo contrario, es decir, si se intercambian izquierda y derecha, la curva se orienta negativamente o en el sentido de las agujas del reloj . Esta definición se basa en el hecho de que toda curva cerrada simple admite un interior bien definido, lo que se desprende del teorema de la curva de Jordan .
El circuito interior de una carretera de circunvalación en un país donde la gente conduce por el lado derecho de la carretera es un ejemplo de una curva con orientación negativa (en el sentido de las agujas del reloj ). En trigonometría , el círculo unitario se orienta tradicionalmente en sentido antihorario .
El concepto de orientación de una curva es sólo un caso particular de la noción de orientación de una variedad (es decir, además de orientación de una curva también se puede hablar de orientación de una superficie , hipersuperficie , etc.).
La orientación de una curva está asociada con la parametrización de sus puntos mediante una variable real. Una curva puede tener parametrizaciones equivalentes cuando existe una función monótona creciente continua que relaciona el parámetro de una curva con el parámetro de la otra. Cuando hay una función continua decreciente que relaciona los parámetros, entonces las representaciones paramétricas son opuestas y la orientación de la curva se invierte. [1] [2]
En dos dimensiones, dado un conjunto ordenado de tres o más vértices (puntos) conectados (como en conectar los puntos ) que forma un polígono simple , la orientación del polígono resultante está directamente relacionada con el signo del ángulo en cualquier vértice de la cáscara convexa del polígono, por ejemplo, del ángulo ABC en la imagen. En los cálculos, el signo del ángulo más pequeño formado por un par de vectores suele estar determinado por el signo del producto vectorial de los vectores. Este último puede calcularse como el signo del determinante de su matriz de orientación. En el caso particular cuando los dos vectores están definidos por dos segmentos de línea con un punto final común, como los lados BA y BC del ángulo ABC en nuestro ejemplo, la matriz de orientación se puede definir de la siguiente manera:
Se puede obtener una fórmula para su determinante, por ejemplo, utilizando el método de expansión del cofactor :
Si el determinante es negativo, entonces el polígono está orientado en el sentido de las agujas del reloj. Si el determinante es positivo, el polígono está orientado en sentido antihorario. El determinante es distinto de cero si los puntos A, B y C no son colineales . En el ejemplo anterior, con puntos ordenados A, B, C, etc., el determinante es negativo y, por tanto, el polígono está en el sentido de las agujas del reloj.
En aplicaciones prácticas, comúnmente se tienen en cuenta las siguientes consideraciones.
No es necesario construir la cáscara convexa de un polígono para encontrar un vértice adecuado. Una elección común es el vértice del polígono con la coordenada X más pequeña. Si hay varios, se elige el que tiene la coordenada Y más pequeña. Se garantiza que será un vértice del casco convexo del polígono. Alternativamente, el vértice con la coordenada Y más pequeña entre los que tienen las coordenadas X más grandes o el vértice con la coordenada X más pequeña entre los que tienen las coordenadas Y más grandes (o cualquier otro de los 8 X/ "más pequeño, más grande" Y combinaciones) también servirán. Una vez que se elige un vértice de la cáscara convexa, se puede aplicar la fórmula usando los vértices anterior y siguiente, incluso si no están en la cáscara convexa, ya que no puede haber concavidad local en este vértice.
Si se busca la orientación de un polígono convexo , entonces, por supuesto, se puede elegir cualquier vértice.
Por razones numéricas, comúnmente se utiliza la siguiente fórmula equivalente para el determinante:
Esta última fórmula tiene cuatro multiplicaciones menos. Lo que es más importante en los cálculos por computadora involucrados en la mayoría de las aplicaciones prácticas, como gráficos por computadora o CAD , los valores absolutos de los multiplicadores suelen ser más pequeños (por ejemplo, cuando A, B, C están dentro del mismo cuadrante ), dando así un valor numérico más pequeño. error o, en casos extremos, evitando el desbordamiento aritmético .
Cuando no se sabe de antemano que la secuencia de puntos define un polígono simple, se debe tener en cuenta lo siguiente.
Para un polígono que se interseca a sí mismo ( polígono complejo ) (o para cualquier curva que se interseca a sí mismo) no existe una noción natural del "interior", por lo que la orientación no está definida. Al mismo tiempo, en geometría y infografía existen una serie de conceptos para reemplazar la noción de "interior" para curvas cerradas no simples; véase, por ejemplo, " relleno por inundación " y " número de devanado ".
En casos "leves" de autointersección, con vértices degenerados , cuando se permite que tres puntos consecutivos estén en la misma línea recta y formen un ángulo de cero grados, el concepto de "interior" todavía tiene sentido, pero se debe tener especial cuidado. en la selección del ángulo probado. En el ejemplo dado, imagine que el punto A se encuentra en el segmento BC. En esta situación el ángulo ABC y su determinante serán 0, por lo que serán inútiles. Una solución es probar esquinas consecutivas a lo largo del polígono (BCD, DEF,...) hasta encontrar un determinante distinto de cero (a menos que todos los puntos se encuentren en la misma línea recta ). (Observe que los puntos C, D, E están en la misma recta y forman un ángulo de 180 grados con determinante cero).
Una vez conocida la orientación de un polígono formado a partir de un conjunto ordenado de vértices, se puede determinar la concavidad de una región local del polígono utilizando una segunda matriz de orientación. Esta matriz se compone de tres vértices consecutivos cuya concavidad se está examinando. Por ejemplo, en el polígono que se muestra arriba, si quisiéramos saber si la secuencia de puntos FGH es cóncava , convexa o colineal (plana), construimos la matriz
Si el determinante de esta matriz es 0, entonces la secuencia es colineal, ni cóncava ni convexa. Si el determinante tiene el mismo signo que el de la matriz de orientación para todo el polígono, entonces la secuencia es convexa. Si los signos difieren, entonces la secuencia es cóncava. En este ejemplo, el polígono está orientado negativamente, pero el determinante de los puntos FGH es positivo, por lo que la secuencia FGH es cóncava.
La siguiente tabla ilustra reglas para determinar si una secuencia de puntos es convexa, cóncava o plana:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(O)&=1{\begin{vmatrix}x_{B}&y_{B}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}-1{ \begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{C}&y_{C}\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}\\x_{B }&y_{B}\end{vmatrix}}\\[4pt]&=x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}-x_{A}y_{C}+y_{A}x_ {C}+x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\\[4pt]&=(x_{B}y_{C}+x_{A}y_{B}+y_{A }x_{C})-(y_{A}x_{B}+y_{B}x_{C}+x_{A}y_{C}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a5f9441ca7207e2bb32894caf834d53f3669c2)
