En topología , el teorema de la curva de Jordan , formulado por Camille Jordan en 1887, afirma que cada curva de Jordan (una curva plana simple cerrada) divide el plano en una región " interior " delimitada por la curva y una región " exterior " que contiene todas las puntos exteriores cercanos y lejanos. Cada camino continuo que conecta un punto de una región con un punto de la otra se cruza con la curva en algún lugar. Si bien el teorema parece intuitivamente obvio, se necesita algo de ingenio para demostrarlo por medios elementales. "Aunque el JCT es uno de los teoremas topológicos más conocidos, hay muchos, incluso entre los matemáticos profesionales, que nunca han leído una demostración del mismo". (Tverberg (1980, Introducción)). Demostraciones más transparentes se basan en la maquinaria matemática de la topología algebraica , y éstas conducen a generalizaciones a espacios de dimensiones superiores.
El teorema de la curva de Jordan lleva el nombre de la matemática Camille Jordan (1838-1922), quien publicó su primera prueba reivindicada en 1887. [1] [2] Durante décadas, los matemáticos generalmente pensaron que esta prueba era defectuosa y que la primera prueba rigurosa era realizado por Oswald Veblen . Sin embargo, esta noción ha sido revocada por Thomas C. Hales y otros. [3]
Una curva de Jordan o una curva cerrada simple en el plano R 2 es la imagen C de un mapa continuo inyectivo de un círculo en el plano, φ : S 1 → R 2 . Un arco de Jordan en el plano es la imagen de un mapa continuo inyectivo de un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] en el plano. Es una curva plana que no es necesariamente suave ni algebraica .
Alternativamente, una curva de Jordan es la imagen de un mapa continuo φ : [0,1] → R 2 tal que φ (0) = φ (1) y la restricción de φ a [0,1) es inyectiva. Las dos primeras condiciones dicen que C es un bucle continuo, mientras que la última condición estipula que C no tiene puntos de autointersección.
Con estas definiciones, el teorema de la curva de Jordan se puede enunciar de la siguiente manera:
Teorema : Sea C una curva de Jordan en el plano R 2 . Entonces su complemento , R 2 \ C , consta exactamente de dos componentes conectados . Uno de estos componentes es acotado (el interior ) y el otro es ilimitado (el exterior ), y la curva C es el límite de cada componente.
Por el contrario, el complemento de un arco de Jordan en el plano es conexo.
El teorema de la curva de Jordan fue generalizado de forma independiente a dimensiones superiores por H. Lebesgue y L. E. J. Brouwer en 1911, lo que dio como resultado el teorema de separación de Jordan-Brouwer .
Teorema : Sea X una esfera topológica de n dimensiones en el espacio euclidiano de ( n +1) dimensiones R n +1 ( n > 0), es decir, la imagen de un mapeo continuo inyectivo de la n -esfera S n en R n +1 . Entonces el complemento Y de X en R n +1 consta exactamente de dos componentes conectados. Uno de estos componentes está acotado (el interior) y el otro es ilimitado (el exterior). El conjunto X es su límite común.
La prueba utiliza la teoría de la homología . Primero se establece que, de manera más general, si X es homeomorfo a la k -esfera, entonces los grupos de homología integral reducida de Y = R n +1 \ X son los siguientes:
Esto se demuestra por inducción en k usando la secuencia de Mayer-Vietoris . Cuando n = k , la homología reducida cero de Y tiene rango 1, lo que significa que Y tiene 2 componentes conectados (que, además, están conectados por trayectoria ), y con un poco de trabajo adicional, se demuestra que su límite común es X. JW Alexander encontró una generalización adicional , quien estableció la dualidad de Alexander entre la homología reducida de un subconjunto compacto X de R n +1 y la cohomología reducida de su complemento. Si X es una subvariedad conectada compacta de n dimensiones de R n +1 (o S n +1 ) sin límite, su complemento tiene 2 componentes conectados.
Existe un fortalecimiento del teorema de la curva de Jordan, llamado teorema de Jordan-Schönflies , que establece que las regiones planas interiores y exteriores determinadas por una curva de Jordan en R 2 son homeomórficas con respecto al interior y al exterior del disco unitario . En particular, para cualquier punto P en la región interior y un punto A en la curva de Jordan, existe un arco de Jordan que conecta P con A y, con la excepción del punto final A , se encuentra completamente en la región interior. Una formulación alternativa y equivalente del teorema de Jordan-Schönflies afirma que cualquier curva de Jordan φ : S 1 → R 2 , donde S 1 se considera el círculo unitario en el plano, puede extenderse a un homeomorfismo ψ : R 2 → R 2 del avión. A diferencia de la generalización del teorema de la curva de Jordan de Lebesgue y Brouwer, esta afirmación se vuelve falsa en dimensiones superiores: mientras que el exterior de la bola unitaria en R 3 es simplemente conexo , porque se retrae sobre la esfera unitaria, la esfera con cuernos de Alexander es un subconjunto de R 3 homeomórfico a una esfera , pero tan retorcido en el espacio que el componente ilimitado de su complemento en R 3 no está simplemente conectado y, por lo tanto, no es homeomórfico con el exterior de la bola unitaria.
El teorema de la curva de Jordan se puede demostrar a partir del teorema del punto fijo de Brouwer (en 2 dimensiones), [4] y el teorema del punto fijo de Brouwer se puede demostrar a partir del teorema de Hex: "cada juego de Hex tiene al menos un ganador", de donde obtenemos una implicación lógica: el teorema hexadecimal implica el teorema del punto fijo de Brouwer, que implica el teorema de la curva de Jordan. [5]
Está claro que el teorema de la curva de Jordan implica el "teorema del Hex fuerte": "cada juego de Hex termina con exactamente un ganador, sin posibilidad de que ambos lados pierdan o ambos ganen", por lo que el teorema de la curva de Jordan es equivalente al teorema del Hex fuerte. teorema, que es un teorema puramente discreto .
El teorema del punto fijo de Brouwer, al estar intercalado entre los dos teoremas equivalentes, también es equivalente a ambos. [6]
En matemáticas inversas y matemáticas formalizadas por computadora, el teorema de la curva de Jordan comúnmente se prueba convirtiéndolo primero en una versión discreta equivalente similar al teorema de Hex fuerte y luego demostrando la versión discreta. [7]
En el procesamiento de imágenes , una imagen binaria es una cuadrícula cuadrada discreta de 0 y 1, o equivalentemente, un subconjunto compacto de . Es posible que las invariantes topológicas de , como el número de componentes, no estén bien definidas si no tienen una estructura gráfica definida adecuadamente .
Hay dos estructuras gráficas obvias en :
Ambas estructuras gráficas no satisfacen el teorema hexadecimal fuerte. La cuadrícula de 4 vecinos permite una situación sin ganadores, y la cuadrícula de 8 vecinos permite una situación de dos ganadores. En consecuencia, las propiedades de conectividad en , como el teorema de la curva de Jordan, no se generalizan bajo ninguna de las estructuras gráficas.
Si se impone la estructura de "cuadrícula cuadrada de 6 vecinos" , entonces es la cuadrícula hexagonal y, por lo tanto, satisface el teorema hexagonal fuerte, lo que permite generalizar el teorema de la curva de Jordan. Por esta razón, cuando se calculan componentes conectados en una imagen binaria, generalmente se utiliza la cuadrícula de 6 vecinos. [8]
El teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus muestra en cierto sentido que la cuadrícula de 4 vecinos y la cuadrícula de 8 vecinos "juntas" implica el teorema de la curva de Jordan, y la cuadrícula de 6 vecinos es una interpolación precisa entre ellas. [9] [10]
El teorema establece que: supongamos que pones bombas en algunas casillas de un tablero de ajedrez, de modo que un rey no puede moverse del lado inferior al superior sin pisar una bomba, entonces una torre puede moverse del lado izquierdo al lado derecho pisando sólo en bombas.
El enunciado del teorema de la curva de Jordan puede parecer obvio al principio, pero es un teorema bastante difícil de demostrar. Bernard Bolzano fue el primero en formular una conjetura precisa, observando que no era una afirmación evidente, sino que requería una prueba. [11] Es fácil establecer este resultado para polígonos , pero el problema surgió al generalizarlo a todo tipo de curvas que se comportan mal, que incluyen curvas que no son diferenciables en ninguna parte , como el copo de nieve de Koch y otras curvas fractales , o incluso una curva de Jordan de Área positiva construida por Osgood (1903).
La primera demostración de este teorema fue dada por Camille Jordan en sus conferencias sobre análisis real , y fue publicada en su libro Cours d'analyse de l'École Polytechnique . [1] Existe cierta controversia sobre si la prueba de Jordan fue completa: la mayoría de los comentaristas han afirmado que la primera prueba completa fue dada más tarde por Oswald Veblen , quien dijo lo siguiente sobre la prueba de Jordan:
Su demostración, sin embargo, no resulta satisfactoria para muchos matemáticos. Asume el teorema sin demostración en el importante caso especial de un polígono simple, y del argumento a partir de ese momento hay que admitir al menos que no se dan todos los detalles. [12]
Sin embargo, Thomas C. Hales escribió:
Casi todas las citas modernas que he encontrado coinciden en que la primera prueba correcta se debe a Veblen... En vista de las fuertes críticas a la prueba de Jordan, me sorprendió cuando me senté a leer su prueba y no encontré nada objetable en ella. Desde entonces, me he puesto en contacto con varios de los autores que han criticado a Jordan, y en cada caso el autor ha admitido no tener conocimiento directo de un error en la prueba de Jordan. [13]
Hales también señaló que el caso especial de polígonos simples no sólo es un ejercicio fácil, sino que Jordan no lo utilizó de todos modos, y citó a Michael Reeken diciendo:
La prueba de Jordan es esencialmente correcta... La prueba de Jordan no presenta los detalles de manera satisfactoria. Pero la idea es correcta y, con un poco de pulido, la prueba sería impecable. [14]
Anteriormente, Schoenflies (1924) ya había analizado y completado críticamente la prueba de Jordan y otra prueba temprana de Charles Jean de la Vallée Poussin . [15]
Debido a la importancia del teorema de la curva de Jordan en la topología de baja dimensión y el análisis complejo , recibió mucha atención por parte de destacados matemáticos de la primera mitad del siglo XX. JW Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred Pringsheim y Arthur Moritz Schoenflies construyeron varias pruebas del teorema y sus generalizaciones .
Se siguen realizando nuevas demostraciones elementales del teorema de la curva de Jordan, así como simplificaciones de las demostraciones anteriores.
La raíz de la dificultad se explica a continuación en Tverberg (1980). Es relativamente sencillo demostrar que el teorema de la curva de Jordan se cumple para cada polígono de Jordan (Lema 1), y cada curva de Jordan puede aproximarse arbitrariamente mediante un polígono de Jordan (Lema 2). Un polígono de Jordan es una cadena poligonal , el límite de un conjunto abierto acotado y conectado , llámelo polígono abierto, y su cierre , polígono cerrado. Considere el diámetro del disco más grande contenido en el polígono cerrado. Evidentemente, es positivo. Usando una secuencia de polígonos de Jordan (que convergen a la curva de Jordan dada) tenemos una secuencia que presumiblemente converge a un número positivo, el diámetro del disco más grande contenido en la región cerrada delimitada por la curva de Jordan. Sin embargo, tenemos que demostrar que la secuencia no converge a cero, utilizando sólo la curva de Jordan dada, no la región presumiblemente delimitada por la curva. Este es el objetivo del Lema 3 de Tverberg. Aproximadamente, los polígonos cerrados no deberían reducirse a cero en todas partes. Además, no deberían reducirse a cero en alguna parte, que es el objetivo del Lema 4 de Tverberg.
La primera demostración formal del teorema de la curva de Jordan fue creada por Hales (2007a) en el sistema HOL Light , en enero de 2005, y contenía alrededor de 60.000 líneas. En 2005, un equipo internacional de matemáticos produjo otra prueba formal rigurosa de 6.500 líneas utilizando el sistema Mizar . Tanto la prueba de Mizar como la de HOL Light se basan en bibliotecas de teoremas previamente probados, por lo que estos dos tamaños no son comparables. Nobuyuki Sakamoto y Keita Yokoyama (2007) demostraron que en matemáticas inversas el teorema de la curva de Jordan es equivalente al lema de Kőnig débil sobre el sistema .
En geometría computacional , el teorema de la curva de Jordan se puede utilizar para probar si un punto se encuentra dentro o fuera de un polígono simple . [16] [17] [18]
Desde un punto dado, trazar un rayo que no pase por ningún vértice del polígono (todos los rayos excepto un número finito son convenientes). Luego, calcula el número n de intersecciones del rayo con un borde del polígono. La prueba del teorema de la curva de Jordan implica que el punto está dentro del polígono si y sólo si n es impar .
Adler, Daskalakis y Demaine [19] demuestran que una versión computacional del teorema de Jordan es PPAD-completa . Como corolario, muestran que el teorema de Jordan implica el teorema del punto fijo de Brouwer . Esto complementa el resultado anterior de Maehara, de que el teorema del punto fijo de Brouwer implica el teorema de Jordan. [20]
