Fórmula integral de Cauchy

Proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa.

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy , que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy , es una afirmación central en el análisis complejo . Expresa el hecho de que una función holomorfa definida en un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco y proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy muestra que, en el análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": la diferenciación compleja, como la integración, se comporta bien bajo límites uniformes , un resultado que no se cumple en el análisis real .

Teorema

Sea U un subconjunto abierto del plano complejo C y supongamos que el disco cerrado D se define como

$${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$

Uf  : U → Cfunción holomorfaγcírculoen sentido antihorariofronteraD. ainteriorD

$${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,}$$

La prueba de esta afirmación utiliza el teorema integral de Cauchy y, al igual que ese teorema, solo requiere que f sea diferenciable compleja . Dado que se puede expandir como una serie de potencias en la variable ${\displaystyle 1/(z-a)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$$

las funciones holomorfas son analíticas, f

$${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

Esta fórmula a veces se denomina fórmula de diferenciación de Cauchy .

El teorema expuesto anteriormente se puede generalizar. El círculo γ puede ser reemplazado por cualquier curva cerrada rectificable en U que tenga el devanado número uno alrededor de a . Además, en cuanto al teorema integral de Cauchy, es suficiente exigir que f sea holomorfa en la región abierta encerrada por el camino y continua en su cierre .

Tenga en cuenta que no todas las funciones continuas en la frontera se pueden utilizar para producir una función dentro de la frontera que se ajuste a la función de frontera dada. Por ejemplo, si ponemos la función f ( z ) =1/z, definido para | z | = 1 , en la fórmula integral de Cauchy, obtenemos cero para todos los puntos dentro del círculo. De hecho, dar solo la parte real en el límite de una función holomorfa es suficiente para determinar la función hasta una constante imaginaria: solo hay una parte imaginaria en el límite que corresponde a la parte real dada, hasta la suma de una constante. . Podemos usar una combinación de una transformación de Möbius y la fórmula de inversión de Stieltjes para construir la función holomorfa a partir de la parte real en el límite. Por ejemplo, la función f ( z ) = i − iz tiene parte real Re f ( z ) = Im z . En el círculo unitario esto se puede escribiri/z− es/2. Usando la transformación de Möbius y la fórmula de Stieltjes construimos la función dentro del círculo. Eli/zEl término no contribuye y encontramos la función − iz . Esto tiene la parte real correcta en el límite y también nos da la parte imaginaria correspondiente, pero fuera de una constante, es decir, i .

Bosquejo de prueba

Utilizando el teorema integral de Cauchy , se puede demostrar que la integral sobre C (o la curva rectificable cerrada) es igual a la misma integral tomada sobre un círculo arbitrariamente pequeño alrededor de a . Dado que f ( z ) es continua, podemos elegir un círculo lo suficientemente pequeño en el que f ( z ) esté arbitrariamente cerca de f ( a ) . Por otra parte, la integral

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$

Caintegración por sustituciónz ( t ) = a + εe ^it0 ≤ t ≤ 2πε

Dejar ε → 0 da la estimación deseada

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

Ejemplo

Superficie de la parte real de la función g ( z ) =z ²/z ² + 2 z + 2y sus singularidades, con los contornos descritos en el texto.

Dejar

$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

C| z | = 2

Para encontrar la integral de g ( z ) alrededor del contorno C , necesitamos conocer las singularidades de g ( z ) . Observe que podemos reescribir g de la siguiente manera:

$${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

z ₁ = − 1 + iz ₂ = − 1 − i

Por tanto, g tiene polos en z ₁ y z ₂ . Los módulos de estos puntos son menores que 2 y, por tanto, se encuentran dentro del contorno. Esta integral se puede dividir en dos integrales más pequeñas mediante el teorema de Cauchy-Goursat ; es decir, podemos expresar la integral alrededor del contorno como la suma de la integral alrededor de z ₁ y z ₂ donde el contorno es un pequeño círculo alrededor de cada polo. Llame a estos contornos C ₁ alrededor de z ₁ y C ₂ alrededor de z ₂ .

Ahora bien, cada una de estas integrales más pequeñas puede evaluarse mediante la fórmula integral de Cauchy, pero primero deben reescribirse para aplicar el teorema. Para la integral alrededor de C ₁ , defina f ₁ como f ₁ ( z ) = ( z − z ₁ ) g ( z ) . Esto es analítico (ya que el contorno no contiene la otra singularidad). Podemos simplificar f ₁ para que sea:

$${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$

$${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

Dado que la fórmula integral de Cauchy dice que:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$

$${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

Haciendo lo mismo para el otro contorno:

$${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$

$${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

La integral alrededor del contorno original C es entonces la suma de estas dos integrales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

Un truco elemental que utiliza la descomposición en fracciones parciales :

$${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

Consecuencias

La fórmula integral tiene amplias aplicaciones. Primero, implica que una función que es holomorfa en un conjunto abierto es de hecho infinitamente diferenciable allí. Además, es una función analítica , lo que significa que se puede representar como una serie de potencias . La prueba de esto utiliza el teorema de convergencia dominada y la serie geométrica aplicada a

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

La fórmula también se utiliza para demostrar el teorema del residuo , que es un resultado de funciones meromórficas , y un resultado relacionado, el principio argumental . Se sabe por el teorema de Morera que el límite uniforme de funciones holomorfas es holomórfico. Esto también se puede deducir de la fórmula integral de Cauchy: de hecho, la fórmula también se cumple en el límite y el integrando, y por tanto la integral, se puede expandir como una serie de potencias. Además, las fórmulas de Cauchy para las derivadas de orden superior muestran que todas estas derivadas también convergen uniformemente.

El análogo de la fórmula integral de Cauchy en el análisis real es la fórmula integral de Poisson para funciones armónicas ; Muchos de los resultados de funciones holomorfas se trasladan a esta configuración. Sin embargo, estos resultados no son válidos para clases más generales de funciones analíticas reales o diferenciables. Por ejemplo, la existencia de la primera derivada de una función real no implica necesariamente la existencia de derivadas de orden superior, ni en particular la analiticidad de la función. Asimismo, el límite uniforme de una secuencia de funciones diferenciables (reales) puede no ser diferenciable, o puede ser diferenciable pero con una derivada que no sea el límite de las derivadas de los miembros de la secuencia.

Otra consecuencia es que si f ( z ) = Σ a _n z ⁿ es holomorfa en | z | < R y 0 < r < R entonces los coeficientes an _satisfacen la desigualdad de Cauchy ^[1]

$${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

De la desigualdad de Cauchy, se puede deducir fácilmente que toda función entera acotada debe ser constante (que es el teorema de Liouville ).

La fórmula también se puede utilizar para derivar el teorema del valor medio de Gauss , que establece ^[2]

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

En otras palabras, el valor promedio de f sobre el círculo centrado en z con radio r es f ( z ) . Esto se puede calcular directamente mediante una parametrización del círculo.

Generalizaciones

Funciones suaves

Una versión de la fórmula integral de Cauchy es la fórmula de Cauchy- Pompeiu , ^[3] y también es válida para funciones suaves , ya que se basa en el teorema de Stokes . Sea D un disco en C y supongamos que f es una función C 1 de valor complejo en el cierre de D . Entonces ^{[4] [5]}

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

Se puede utilizar esta fórmula de representación para resolver las ecuaciones no homogéneas de Cauchy- Riemann en D. De hecho, si φ es una función en D , entonces una solución particular f de la ecuación es una función holomorfa fuera del soporte de μ . Además, si en un conjunto abierto D ,

$${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$

φ ∈ C ^k ( D )k  ≥ 1f ( ζ , ζ )C ^k ( D )

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

La primera conclusión es, sucintamente, que la convolución μ ∗ k ( z ) de una medida soportada compactamente con el núcleo de Cauchy

$${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$

μpvvalor principalsolución fundamentalTenga en cuenta que para funciones fC

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$

distribución(π z ) ⁻¹solución fundamentaloperador de Cauchy-Riemann∂/∂ z̄^[6]XC ¹ ∂ Xderivada distribucionalfunción característica χ _XX

$${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

la integración del contornode ∂ X. ^[7]

Varias variables

En varias variables complejas , la fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a polidiscos . ^[8] Sea D el polidisco dado como el producto cartesiano de n discos abiertos D ₁ , ..., D _n :

$${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

Supongamos que f es una función holomorfa en D continua en el cierre de D . Entonces

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

ζ = ( ζ ₁ ,..., ζ _n ) ∈ D

En álgebras reales

La fórmula integral de Cauchy es generalizable a espacios vectoriales reales de dos o más dimensiones. La comprensión de esta propiedad proviene del álgebra geométrica , donde se consideran objetos más allá de escalares y vectores (como bivectores planos y trivectores volumétricos), y una generalización adecuada del teorema de Stokes .

El cálculo geométrico define un operador derivado ∇ = ê _i ∂ _i bajo su producto geométrico, es decir, para un k -campo vectorial ψ ( r ) , la derivada ∇ ψ generalmente contiene términos de grado k + 1 y k − 1 . Por ejemplo, un campo vectorial ( k = 1 ) generalmente tiene en su derivada una parte escalar, la divergencia ( k = 0 ), y una parte bivectorial, el rizo ( k = 2 ). Este operador derivado particular tiene una función de Green :

$${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$

S _nnbolaS ₂ = 2πS ₃ = 4π

$${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

Es esta útil propiedad la que se puede utilizar junto con el teorema generalizado de Stokes:

$${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$

nd S( n − 1)d Vnf ( r )G ( r , r ′) f ( r ′)

$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

Cuando ∇ f = 0 , f ( r ) se denomina función monogénica , la generalización de funciones holomorfas a espacios de dimensiones superiores; de hecho, se puede demostrar que la condición de Cauchy-Riemann es solo la expresión bidimensional de la condición monogénica. . Cuando se cumple esa condición, el segundo término de la integral de la derecha desaparece, dejando sólo

$${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$

i _nnpseudoescalar

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

Así, como en el caso bidimensional (análisis complejo), el valor de una función analítica (monogénica) en un punto se puede encontrar mediante una integral sobre la superficie que rodea el punto, y esto es válido no sólo para funciones escalares sino también para funciones vectoriales. y funciones multivectoriales generales también.

Ver también

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Métodos de integración de contornos.
• teorema de nachbin
• teorema de morera
• Teorema de Mittag-Leffler
• La función de Green generaliza esta idea a la configuración no lineal.
• Fórmula integral de Schwarz
• Fórmula de Parseval-Gutzmer
• Fórmula de Bochner-Martinelli

Notas

1. Titchmarsh 1939, pag. 84
2. "Teorema del valor medio de Gauss". Sitio Wolfram Alpha .
3. Pompeya 1905
4. "§2. 2 formas complejas: fórmula de Cauchy-Pompeiu" (PDF) .
5. Hörmander 1966, Teorema 1.2.1
6. Hörmander 1983, págs.63, 81
7. Hörmander 1983, págs. 62-63
8. Hörmander 1966, Teorema 2.2.1

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Pompeyo, D. (1905). "Sur la continuité des fonctions de variables complexes" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . Serie 2. 7 (3): 265–315.
• Titchmarsh, CE (1939). Teoría de funciones (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford .
• Hörmander, Lars (1966). Introducción al análisis complejo en varias variables . Van Nostrand.
• Hörmander, Lars (1983). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Saltador. ISBN 3-540-12104-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Álgebra geométrica para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-71595-9.

enlaces externos

• "Integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Fórmula integral de Cauchy". MundoMatemático .