Principio del argumento

Teorema en análisis complejo

El contorno simple C (negro), los ceros de f (azul) y los polos de f (rojo). Aquí tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.\,}$

En análisis complejo , el principio argumental (o principio argumental de Cauchy ) es un teorema que relaciona la diferencia entre el número de ceros y polos de una función meromorfa con una integral de contorno de la derivada logarítmica de la función .

Formulación

Si f ( z ) es una función meromorfa dentro y sobre algún contorno cerrado C , y f no tiene ceros ni polos en C , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P}$

donde Z y P denotan respectivamente el número de ceros y polos de f ( z ) dentro del contorno C , con cada cero y polo contados tantas veces como indique su multiplicidad y orden , respectivamente. Este enunciado del teorema supone que el contorno C es simple, es decir, sin autointersecciones, y que está orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj.

De manera más general, supongamos que f ( z ) es una función meromorfa en un conjunto abierto Ω en el plano complejo y que C es una curva cerrada en Ω que evita todos los ceros y polos de f y es contráctil hasta un punto dentro de Ω. Para cada punto z ∈ Ω, sea n ( C , z ) el número de devanados de C alrededor de z . Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,}$

donde la primera suma es sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma es sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

Interpretación de la integral de contorno.

La integral de contorno se puede interpretar como 2π i multiplicado por el número de devanados del camino f ( C ) alrededor del origen, usando la sustitución w = f ( z ): ${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

Es decir, es i veces el cambio total en el argumento de f ( z ) cuando z viaja alrededor de C , lo que explica el nombre del teorema; esto se sigue de

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

y la relación entre argumentos y logaritmos.

Prueba del principio de argumentación.

Sea z _Z un cero de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z  −  z _Z ) ^k g ( z ) donde k es la multiplicidad del cero y, por tanto, g ( z _Z ) ≠ 0. Obtenemos

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

Dado que g ( z _Z ) ≠ 0, se deduce que g' ( z )/ g ( z ) no tiene singularidades en z _Z y, por tanto, es analítico en z _Z , lo que implica que el residuo de f ′( z )/ f ( z ) en z _Z es  k .

Sea z _P un polo de f . Podemos escribir f ( z ) = ( z  −  z _P ) ^{− m} h ( z ) donde m es el orden del polo y h ( z _P ) ≠ 0. Entonces,

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

y

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

de manera similar a lo anterior. De ello se deduce que h ′( z )/ h ( z ) no tiene singularidades en z _P ya que h ( z _P ) ≠ 0 y por lo tanto es analítico en z _P . Encontramos que el residuo de f ′( z )/ f ( z ) en z _P es − m .

Poniéndolos juntos, cada cero z _Z de multiplicidad k de f crea un polo simple para f ′( z )/ f ( z ) con el residuo k , y cada polo z _P de orden m de f crea un polo simple para f ′( z )/ f ( z ) siendo el residuo − m . (Aquí, por polo simple nos referimos a un polo de orden uno.) Además, se puede demostrar que f ′( z )/ f ( z ) no tiene otros polos y, por tanto, no tiene otros residuos.

Por el teorema del residuo tenemos que la integral alrededor de C es el producto de 2 πi y la suma de los residuos. Juntos, la suma de los k ' s para cada cero z _Z es el número de ceros contando las multiplicidades de los ceros, y lo mismo para los polos, y así tenemos nuestro resultado.

Aplicaciones y consecuencias

El principio del argumento se puede utilizar para localizar eficientemente ceros o polos de funciones meromórficas en una computadora. Incluso con errores de redondeo, la expresión producirá resultados cercanos a un número entero; determinando estos números enteros para diferentes contornos C se puede obtener información sobre la ubicación de los ceros y los polos. Las pruebas numéricas de la hipótesis de Riemann utilizan esta técnica para obtener un límite superior para el número de ceros de la función de Riemann dentro de un rectángulo que cruza la línea crítica. El principio del argumento también se puede utilizar para demostrar el teorema de Rouché , que se puede utilizar para unir las raíces de raíces polinómicas. ${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$ ${\displaystyle \xi (s)}$

Una consecuencia de la formulación más general del principio argumental es que, bajo la misma hipótesis, si g es una función analítica en Ω, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

Por ejemplo, si f es un polinomio que tiene ceros z ₁ , ..., z _p dentro de un contorno simple C y g ( z ) = z ^k , entonces

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

es un polinomio simétrico de suma de potencias de las raíces de f .

Otra consecuencia es si calculamos la integral compleja:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

para una elección adecuada de g y f tenemos la fórmula de Abel-Plana :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}$

que expresa la relación entre una suma discreta y su integral.

El principio de argumentación también se aplica en la teoría del control . En los libros modernos sobre teoría del control por retroalimentación, se utiliza comúnmente como fundamento teórico del criterio de estabilidad de Nyquist . Además, se puede emplear una forma más generalizada del principio del argumento para derivar la integral de sensibilidad de Bode y otras relaciones integrales relacionadas. ^[1]

Principio de argumentación generalizada

Hay una generalización inmediata del principio argumental. Supongamos que g es analítico en la región . Entonces ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,}$

donde la primera suma es nuevamente sobre todos los ceros a de f contados con sus multiplicidades, y la segunda suma es nuevamente sobre los polos b de f contados con sus órdenes.

Historia

Según el libro de Frank Smithies ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997, p. 177), Augustin-Louis Cauchy presentó un teorema similar al anterior el 27 de noviembre de 1831, durante su exilio autoimpuesto. en Turín (entonces capital del Reino de Piamonte-Cerdeña) lejos de Francia. Sin embargo, según este libro, sólo se mencionaron ceros, no polos. Este teorema de Cauchy no se publicó hasta muchos años después, en 1874, en forma manuscrita, por lo que es bastante difícil de leer. Cauchy publicó un artículo con una discusión sobre los ceros y los polos en 1855, dos años antes de su muerte.

Ver también

• Derivada logarítmica
• Criterio de estabilidad de Nyquist

Referencias

1. Xu, Yong; Chen, pandilla; Chen, Jie; Qiu, Li (2023). "Principio de argumentación y relaciones integrales: vínculos ocultos y formas generalizadas". Transacciones IEEE sobre control automático . 68 (3): 1831–1838. doi :10.1109/TAC.2022.3159565. ISSN  0018-9286.

• Rudin, Walter (1986). Análisis Real y Complejo (Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo: una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Churchill, Ruel Vance; Marrón, James Ward (1989). Variables complejas y aplicaciones . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les ceros de la función zeta(s) de Riemann, CR Acad. Ciencia. París 158, 1979–1982.

enlaces externos

• "Argumento, principio de la", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]