Integración de contorno

Método de evaluación de ciertas integrales a lo largo de caminos en el plano complejo.

En el campo matemático del análisis complejo , la integración de contornos es un método para evaluar ciertas integrales a lo largo de trayectorias en el plano complejo . ^{[1] [2] [3]}

La integración de contornos está estrechamente relacionada con el cálculo de residuos , ^[4] un método de análisis complejo .

Un uso de las integrales de contorno es la evaluación de integrales a lo largo de la recta real que no se encuentran fácilmente utilizando únicamente métodos de variables reales. ^[5]

Los métodos de integración de contornos incluyen:

• integración directa de una función de valor complejo a lo largo de una curva en el plano complejo;
• aplicación de la fórmula integral de Cauchy ; y
• Aplicación del teorema del residuo .

Se puede utilizar un método, o una combinación de estos métodos, o varios procesos limitantes, con el fin de encontrar estas integrales o sumas.

Curvas en el plano complejo.

En análisis complejo un contorno es un tipo de curva en el plano complejo . En la integración de contornos, los contornos proporcionan una definición precisa de las curvas sobre las cuales se puede definir adecuadamente una integral. Una curva en el plano complejo se define como una función continua desde un intervalo cerrado de la recta real hasta el plano complejo: . ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$

Esta definición de curva coincide con la noción intuitiva de curva, pero incluye una parametrización mediante una función continua a partir de un intervalo cerrado. Esta definición más precisa nos permite considerar qué propiedades debe tener una curva para que sea útil para la integración. En las siguientes subsecciones limitamos el conjunto de curvas que podemos integrar para incluir solo aquellas que se pueden construir a partir de un número finito de curvas continuas a las que se les puede dar una dirección. Además, restringiremos que las "piezas" se crucen entre sí y requerimos que cada pieza tenga una derivada continua finita (que no desaparezca). Estos requisitos corresponden a exigir que consideremos sólo curvas que se puedan trazar, como por ejemplo con un bolígrafo, en una secuencia de trazos uniformes y constantes, que se detengan sólo para comenzar una nueva parte de la curva, todo ello sin levantar el bolígrafo. ^[6]

Curvas suaves dirigidas

Los contornos a menudo se definen en términos de curvas suaves dirigidas. ^[6] Estos proporcionan una definición precisa de una "parte" de una curva suave, a partir de la cual se forma un contorno.

Una curva suave es una curva con una derivada continua que no desaparece, tal que cada punto se atraviesa solo una vez ( z es uno a uno), con la posible excepción de una curva tal que los puntos finales coincidan ( ). En el caso en que los puntos finales coincidan, la curva se llama cerrada, y se requiere que la función sea uno a uno en todos los demás lugares y la derivada debe ser continua en el punto identificado ( ). Una curva suave que no está cerrada a menudo se denomina arco suave. ^[6] ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z(a)=z(b)}$ ${\displaystyle z'(a)=z'(b)}$

La parametrización de una curva proporciona un orden natural de los puntos de la curva: viene antes de si . Esto lleva a la noción de una curva suave dirigida . Es más útil considerar curvas independientes de la parametrización específica. Esto se puede hacer considerando clases de equivalencia de curvas suaves con la misma dirección. Una curva suave dirigida se puede definir entonces como un conjunto ordenado de puntos en el plano complejo que es la imagen de alguna curva suave en su orden natural (según la parametrización). Tenga en cuenta que no todos los ordenamientos de los puntos son el ordenamiento natural de una curva suave. De hecho, una curva suave dada sólo tiene dos de esos ordenamientos. Además, una única curva cerrada puede tener cualquier punto como punto final, mientras que un arco suave solo tiene dos opciones para sus puntos finales. ${\displaystyle z(x)}$ ${\displaystyle z(y)}$ ${\displaystyle x<y}$

Contornos

Los contornos son la clase de curvas en las que definimos la integración de contornos. Un contorno es una curva dirigida que se compone de una secuencia finita de curvas suaves dirigidas cuyos puntos finales coinciden para dar una única dirección. Esto requiere que la secuencia de curvas sea tal que el punto terminal de coincida con el punto inicial de para todo tal que . Esto incluye todas las curvas suaves dirigidas. Además, un único punto en el plano complejo se considera contorno. El símbolo se utiliza a menudo para indicar la unión de curvas para formar una nueva curva. Así podríamos escribir un contorno que esté formado por curvas como ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i<n}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}$$

Integrales de contorno

La integral de contorno de una función compleja es una generalización de la integral para funciones de valores reales. Para funciones continuas en el plano complejo , la integral de contorno se puede definir de manera análoga a la integral de línea definiendo primero la integral a lo largo de una curva suave dirigida en términos de una integral sobre un parámetro de valor real. Se puede dar una definición más general en términos de particiones del contorno en analogía con la partición de un intervalo y la integral de Riemann . En ambos casos la integral sobre un contorno se define como la suma de las integrales sobre las curvas suaves dirigidas que conforman el contorno. ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

Para funciones continuas

Para definir la integral de contorno de esta manera, primero se debe considerar la integral, sobre una variable real, de una función de valores complejos. Sea una función de valor complejo de una variable real, . Las partes real e imaginaria de a menudo se denotan como y , respectivamente, de modo que ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}$$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora, para definir la integral de contorno, sea una función continua en la curva suave dirigida . Sea cualquier parametrización que sea consistente con su orden (dirección). Entonces la integral a lo largo se denota ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}$$

^[6]

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}$$

Esta definición está bien definida. Es decir, el resultado es independiente de la parametrización elegida. ^[6] En el caso de que la integral real en el lado derecho no exista, se dice que la integral a lo largo no existe. ${\displaystyle \gamma }$

Como generalización de la integral de Riemann

La generalización de la integral de Riemann a funciones de una variable compleja se realiza en completa analogía con su definición para funciones de números reales. La partición de una curva suave dirigida se define como un conjunto finito y ordenado de puntos en . La integral sobre la curva es el límite de sumas finitas de valores de funciones, tomadas en los puntos de la partición, en el límite en que la distancia máxima entre dos puntos sucesivos cualesquiera de la partición (en el plano complejo bidimensional), también conocida como malla, va a cero. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Métodos directos

Los métodos directos implican el cálculo de la integral mediante métodos similares a los del cálculo de integrales de línea en el cálculo multivariado. Esto significa que utilizamos el siguiente método:

• parametrizando el contorno

  El contorno se parametriza mediante una función diferenciable de valores complejos de variables reales, o el contorno se divide en pedazos y se parametriza por separado.

• sustitución de la parametrización en el integrando

  Sustituir la parametrización en el integrando transforma la integral en una integral de una variable real.

• evaluación directa

  La integral se evalúa con un método similar a una integral de variable real.

Ejemplo

Un resultado fundamental en el análisis complejo es que la integral de contorno de1/zes 2π i , donde la trayectoria del contorno se considera el círculo unitario recorrido en sentido antihorario (o cualquier curva de Jordan orientada positivamente alrededor de 0). En el caso del círculo unitario existe un método directo para evaluar la integral

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}$$

Al evaluar esta integral, utilice el círculo unitario | z | = 1 como contorno, parametrizado por z ( t ) = e ^it , con t ∈ [0, 2π] , entoncesdz/dt= es decir ^, y

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i}$$

cual es el valor de la integral. Este resultado sólo se aplica al caso en el que z se eleva a la potencia de -1. Si la potencia no es igual a -1, entonces el resultado siempre será cero.

Aplicaciones de teoremas integrales

Las aplicaciones de teoremas integrales también se utilizan a menudo para evaluar la integral de contorno a lo largo de un contorno, lo que significa que la integral de valor real se calcula simultáneamente junto con el cálculo de la integral de contorno.

Los teoremas integrales como la fórmula integral de Cauchy o el teorema del residuo se utilizan generalmente en el siguiente método:

• Se elige un contorno específico:

  El contorno se elige de modo que siga la parte del plano complejo que describe la integral de valor real y también incluya singularidades del integrando, por lo que es posible la aplicación de la fórmula integral de Cauchy o el teorema del residuo.

• aplicación del teorema integral de Cauchy

  La integral se reduce a sólo una integración alrededor de un pequeño círculo alrededor de cada polo.

• aplicación de la fórmula integral de Cauchy o teorema del residuo

  La aplicación de estas fórmulas integrales nos da un valor para la integral alrededor de todo el contorno.

• división del contorno en un contorno a lo largo de la parte real y la parte imaginaria

  La totalidad del contorno se puede dividir en el contorno que sigue la parte del plano complejo que describe la integral de valor real elegida antes (llámela R ) y la integral que cruza el plano complejo (llámela I ). La integral sobre todo el contorno es la suma de la integral sobre cada uno de estos contornos.

• demostración de que la integral que cruza el plano complejo no juega ningún papel en la suma

  Si se puede demostrar que la integral I es cero, o si la integral de valor real que se busca es impropia, entonces si demostramos que la integral I como se describió anteriormente tiende a 0, la integral a lo largo de R tenderá a la integral alrededor de la contorno R + I .

• conclusión

  Si podemos mostrar el paso anterior, entonces podemos calcular directamente R , la integral de valor real.

Ejemplo 1

Considere la integral

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}$$

Para evaluar esta integral, observamos la función de valores complejos

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}$$

que tiene singularidades en i y − i . Elegimos un contorno que encierre la integral de valor real; aquí será conveniente un semicírculo con un diámetro límite en la línea real (que va, digamos, de − a a a ). Llame a este contorno C .

Hay dos formas de proceder, utilizando la fórmula integral de Cauchy o por el método de los residuos:

Usando la fórmula integral de Cauchy

Tenga en cuenta que:

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}$$

$${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}$$

Además, observe que

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2}(z-i)^{2}}}.}$$

Dado que la única singularidad en el contorno es la que está en  i , entonces podemos escribir

$${\displaystyle f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}},}$$

lo que pone la función en la forma para aplicación directa de la fórmula. Luego, usando la fórmula integral de Cauchy,

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(z-i)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\right|_{z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2}}}$$

Tomamos la primera derivada, en los pasos anteriores, porque el polo es un polo de segundo orden. Es decir, ( z − i ) se lleva a la segunda potencia, por lo que empleamos la primera derivada de f ( z ) . Si fuera ( z − i ) elevado a la tercera potencia, usaríamos la segunda derivada y dividiríamos por 2!, etc. El caso de ( z − i ) a la primera potencia corresponde a una derivada de orden cero, solo f ( z ) en sí.

Necesitamos demostrar que la integral sobre el arco del semicírculo tiende a cero cuando a → ∞ , usando el lema de estimación

$${\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}$$

donde M es un límite superior en | f ( z ) | a lo largo del arco y L la longitud del arco. Ahora,

$${\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }$$

Utilizando el método de los residuos.

Considere la serie de Laurent de f ( z ) sobre i , la única singularidad que debemos considerar. entonces tenemos

$${\displaystyle f(z)={\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}+{\frac {-i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)+{\frac {-5}{64}}(z-i)^{2}+\cdots }$$

(Consulte el ejemplo de cálculo de Laurent de la serie de Laurent para obtener la derivación de esta serie).

Mediante inspección queda claro que el residuo es :i/4, entonces, por el teorema del residuo , tenemos

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square }$$

Así obtenemos el mismo resultado que antes.

nota de contorno

Aparte, puede surgir la pregunta de si no tomamos el semicírculo para incluir la otra singularidad, que encierra − i . Para que la integral a lo largo del eje real se mueva en la dirección correcta, el contorno debe viajar en el sentido de las agujas del reloj, es decir, en dirección negativa, invirtiendo el signo de la integral en general.

Esto no afecta el uso del método de residuos por series.

Ejemplo 2: distribución de Cauchy

la integral

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

el contorno

(que surge en la teoría de la probabilidad como un múltiplo escalar de la función característica de la distribución de Cauchy ) resiste las técnicas del cálculo elemental . Lo evaluaremos expresándolo como un límite de integrales de contorno a lo largo del contorno C que va a lo largo de la línea real de − a a a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 de a a − a . Considere que a es mayor que 1, de modo que la unidad imaginaria i quede encerrada dentro de la curva. La integral de contorno es

$${\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Dado que e ^itz es una función completa (que no tiene singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades sólo donde el denominador z ² + 1 es cero. Dado que z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , eso sucede sólo donde z = i o z = − i . Sólo uno de esos puntos se encuentra en la región delimitada por este contorno. El residuo de f ( z ) en z = i es

$${\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Entonces, según el teorema del residuo , tenemos

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

El contorno C se puede dividir en una parte "recta" y un arco curvo, de modo que

$${\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}$$

$${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}$$

Según el lema de Jordan , si t > 0 entonces

$${\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}$$

Por lo tanto, si t > 0 entonces

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}$$

Un argumento similar con un arco que gira alrededor de −i en lugar de i muestra que si t < 0 entonces

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}$$

(Si t = 0 entonces la integral cede inmediatamente a los métodos de cálculo de valores reales y su valor es π ).

Ejemplo 3 – integrales trigonométricas

Se pueden hacer ciertas sustituciones en integrales que involucran funciones trigonométricas , por lo que la integral se transforma en una función racional de una variable compleja y luego se pueden usar los métodos anteriores para evaluar la integral.

Como ejemplo, considere

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}$$

Buscamos hacer una sustitución de z = e ^it . Ahora recuerda

$${\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}$$

$${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}$$

Tomando C como el círculo unitario, lo sustituimos para obtener:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}$$

Las singularidades a considerar son: Sea C ₁ un círculo pequeño y C ₂ un círculo pequeño. Entonces llegamos a lo siguiente: ${\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}$$

Ejemplo 3a – integrales trigonométricas, el procedimiento general

El método anterior se puede aplicar a todas las integrales del tipo

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}$$

donde P y Q son polinomios, es decir, se está integrando una función racional en términos trigonométricos. Tenga en cuenta que los límites de integración también pueden ser π y − π , como en el ejemplo anterior, o cualquier otro par de puntos finales separados por 2 π .

El truco consiste en utilizar la sustitución z = e ^it donde dz = ie ^it dt y por tanto

$${\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}$$

Esta sustitución asigna el intervalo [0, 2π] al círculo unitario. Además,

$${\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}$$

$${\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}$$

f ( z )z

$${\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}$$

f ( z )1/es

La imagen de la derecha ilustra esto para

$${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}$$

$${\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}$$

La sustitución produce

$${\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}$$

Los polos de esta función están en 1 ± √ 2 y −1 ± √ 2 . De estos, 1 + √ 2 y −1 − √ 2 están fuera del círculo unitario (se muestran en rojo, no a escala), mientras que 1 − √ 2 y −1 + √ 2 están dentro del círculo unitario (se muestran en azul). Los residuos correspondientes son ambos iguales a -yo √ 2/dieciséis, de modo que el valor de la integral es

$${\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}$$

Ejemplo 4: cortes de ramas

Considere la integral real

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Podemos comenzar formulando la integral compleja.

$${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}$$

Podemos utilizar nuevamente la fórmula integral de Cauchy o el teorema del residuo para obtener los residuos relevantes. Sin embargo, lo importante a tener en cuenta es que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , por lo que z ^1/2 tiene un corte de rama . Esto afecta nuestra elección del contorno C. Normalmente el corte de rama del logaritmo se define como el eje real negativo, sin embargo, esto complica un poco el cálculo de la integral, por lo que la definimos como el eje real positivo.

Luego, usamos el llamado contorno de ojo de cerradura , que consiste en un pequeño círculo alrededor del origen de radio ε , que se extiende hasta un segmento de línea paralelo y cercano al eje real positivo pero sin tocarlo, hasta un círculo casi completo, regresando a un segmento de recta paralelo, cercano y por debajo del eje real positivo en sentido negativo, regresando al pequeño círculo en el medio.

Tenga en cuenta que z = −2 y z = −4 están dentro del círculo grande. Estos son los dos polos restantes, derivables factorizando el denominador del integrando. El punto de bifurcación en z = 0 se evitó desviándose alrededor del origen.

Sea γ el círculo pequeño de radio ε , Γ el mayor, de radio R , entonces

$${\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}$$

Se puede demostrar que las integrales sobre Γ y γ tienden a cero cuando ε → 0 y R → ∞ , mediante un argumento de estimación anterior, que deja dos términos. Ahora bien, dado que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , en el contorno fuera del corte de la rama, hemos ganado 2 π en argumento a lo largo de γ . (Por la identidad de Euler , e ^{i π} representa el vector unitario, que por lo tanto tiene π como su log. Este π es lo que se entiende por el argumento de z . El coeficiente de1/2nos obliga a usar 2 π .) Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto:

$${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Al utilizar el teorema del residuo o la fórmula integral de Cauchy (primero empleando el método de fracciones parciales para derivar una suma de dos integrales de contorno simples) se obtiene

$${\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }$$

Ejemplo 5: el cuadrado del logaritmo

Esta sección trata un tipo de integral de la cual

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}$$

Para calcular esta integral se utiliza la función

$${\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}$$

−π < arg z ≤ π

Calcularemos la integral de f ( z ) a lo largo del contorno del ojo de cerradura que se muestra a la derecha. Resulta que esta integral es un múltiplo de la integral inicial que deseamos calcular y por el teorema del residuo de Cauchy tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}.\end{aligned}}}$$

Sea R el radio del círculo grande y r el radio del círculo pequeño. Denotaremos la línea superior por M y la línea inferior por N. Como antes tomamos el límite cuando R → ∞ y r → 0 . Las aportaciones de los dos círculos se desvanecen. Por ejemplo, uno tiene el siguiente límite superior con el lema ML :

$${\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}$$

Para calcular las contribuciones de M y N establecemos z = − x + iε en M y z = − x − iε en N , con 0 < x < ∞ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}$$

lo que da

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}$$

Ejemplo 6: logaritmos y el residuo en el infinito

Buscamos evaluar

$${\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}$$

Esto requiere un estudio detenido de

$${\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}$$

Construiremos f ( z ) de modo que tenga una rama cortada en [0, 3] , que se muestra en rojo en el diagrama. Para hacer esto, elegimos dos ramas del logaritmo, estableciendo

$${\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }$$

$${\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}$$

Por lo tanto, el corte de z ^{3 ⁄ 4} es (−∞, 0] y el corte de (3 − z ) ^1/4 es (−∞, 3] . Es fácil ver que el corte del producto de los dos, es decir , f ( z ) , es [0, 3] , porque f ( z ) es en realidad continua a lo largo de (−∞, 0) . Esto se debe a que cuando z = − r < 0 y nos acercamos al corte desde arriba, f ( z) . ) tiene el valor

$${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}$$

Cuando nos acercamos desde abajo, f ( z ) tiene el valor

$${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}$$

Pero

$${\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}$$

para que tengamos continuidad en todo el corte. Esto se ilustra en el diagrama, donde los dos círculos negros orientados están etiquetados con el valor correspondiente del argumento del logaritmo utilizado en z ^{3 ⁄ 4} y (3 − z ) ^1/4 .

Usaremos el contorno que se muestra en verde en el diagrama. Para hacer esto debemos calcular el valor de f ( z ) a lo largo de los segmentos de línea justo encima y justo debajo del corte.

Sea z = r (en el límite, es decir, cuando los dos círculos verdes se reducen hasta el radio cero), donde 0 ≤ r ≤ 3 . A lo largo del segmento superior, encontramos que f ( z ) tiene el valor

$${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}$$

$${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}$$

De ello se deduce que la integral def ( z )/5 − za lo largo del segmento superior es − iI en el límite, y a lo largo del segmento inferior, I .

Si podemos demostrar que las integrales a lo largo de los dos círculos verdes desaparecen en el límite, entonces también tenemos el valor de I , según el teorema del residuo de Cauchy . Sea ρ el radio de los círculos verdes , donde ρ < 0,001 y ρ → 0 , y aplique la desigualdad ML . Para el círculo C _L de la izquierda, encontramos

$${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}$$

De manera similar, para el círculo C _R de la derecha, tenemos

$${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}$$

Ahora, usando el teorema del residuo de Cauchy , tenemos

$${\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}$$

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}$$

El poste se muestra en azul en el diagrama. El valor se simplifica a

$${\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}$$

Usamos la siguiente fórmula para el residuo en el infinito:

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

Sustituyendo encontramos

$${\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}$$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}$$

−1 = e ^{π i}

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}$$

La conclusión es que

$${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}$$

Finalmente, se deduce que el valor de I es

$${\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}$$

$${\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}$$

Evaluación con teorema de residuos.

Usando el teorema del residuo , podemos evaluar integrales de contorno cerrado. Los siguientes son ejemplos de cómo evaluar integrales de contorno con el teorema del residuo.

Usando el teorema del residuo, evalúemos esta integral de contorno.

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\,dz}$$

Como repaso, el teorema del residuo establece

$${\displaystyle \oint _{C}f(z)=2\pi i\cdot \sum \operatorname {Res} (f,a_{k}),}$$

¿Dónde está el residuo de ? ${\displaystyle \operatorname {Res} }$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)}$tiene un solo polo, . A partir de eso, determinamos que el residuo de to be ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}f(z)&=\oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\\&=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=0}f(z)\\&=2\pi i\operatorname {Res} _{z=0}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}\\&=2\pi i\cdot {\frac {1}{2}}\\&=\pi i\end{aligned}}}$$

Así, utilizando el teorema del residuo , podemos determinar:

$${\displaystyle \oint _{C}{\frac {e^{z}}{z^{3}}}dz=\pi i.}$$

Integrales de contorno multivariables

Para resolver integrales de contorno multivariables (es decir , integrales de superficie , integrales de volumen complejas e integrales de orden superior ), debemos utilizar el teorema de la divergencia . Por ahora, seamos intercambiables con . Ambos servirán como divergencia del campo vectorial denotado como . Este teorema establece: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \operatorname {Div} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\operatorname {div} (\mathbf {F} )\,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$$

Además, también necesitamos evaluar dónde hay una notación alternativa de . La divergencia de cualquier dimensión se puede describir como ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\mathbf {F} )&=\nabla \cdot \mathbf {F} \\&=\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}},\dots \right)\cdot (F_{u},F_{x},F_{y},F_{z},\dots )\\&=\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$

Ejemplo 1

Sea el campo vectorial y esté delimitado por lo siguiente ${\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}$

$${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}$$

La integral de doble contorno correspondiente quedaría planteada como tal:

${\displaystyle }$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

Ahora evaluamos . Mientras tanto, establezca la integral triple correspondiente: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}$$

Ejemplo 2

Dejemos el campo vectorial y observemos que hay 4 parámetros en este caso. Sea este campo vectorial delimitado por lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {F} =u^{4}\mathbf {e} _{u}+x^{5}\mathbf {e} _{x}+y^{6}\mathbf {e} _{y}+z^{-3}\mathbf {e} _{z}}$

$${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {-10\leq y\leq 2\pi }\quad {4\leq z\leq 5}\quad {-1\leq u\leq 3}}$$

Para evaluar esto, debemos utilizar el teorema de la divergencia como se indicó anteriormente y debemos evaluar . Dejar ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle dV=dx\,dy\,dz\,du}$

${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial F_{u}}{\partial u}}+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}\left({\frac {\partial u^{4}}{\partial u}}+{\frac {\partial x^{5}}{\partial x}}+{\frac {\partial y^{6}}{\partial y}}+{\frac {\partial z^{-3}}{\partial z}}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\iiiint _{V}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\int _{-1}^{3}{\frac {4u^{3}z^{4}+5x^{4}z^{4}+5y^{4}z^{4}-3}{z^{4}}}\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\int _{4}^{5}\left({\frac {4(3u^{4}z^{3}+3y^{6}+91z^{3}+3)}{3z^{3}}}\right)\,dy\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{-10}^{2\pi }\left(4u^{4}+{\frac {743440}{21}}+{\frac {4}{z^{3}}}\right)\,dz\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left(-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}+{\frac {1486880\pi }{21}}+8\pi u^{4}+40u^{4}+{\frac {371720021}{1050}}\right)\,du\\[6pt]&={\frac {371728421}{1050}}+{\frac {14869136\pi ^{3}-105}{210\pi ^{2}}}\\[6pt]&\approx {576468.77}\end{aligned}}}$$

Por tanto, podemos evaluar una integral de contorno con . También podemos usar el mismo método para evaluar integrales de contorno para cualquier campo vectorial . ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n>4}$

Representación integral

Una representación integral de una función es una expresión de la función que involucra una integral de contorno. Se conocen varias representaciones integrales para muchas funciones especiales . Las representaciones integrales pueden ser importantes por razones teóricas, por ejemplo, para dar continuación analítica o ecuaciones funcionales , o algunas veces para evaluaciones numéricas .

contorno de hankel

Por ejemplo, la definición original de la función zeta de Riemann ζ ( s ) a través de una serie de Dirichlet ,

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$$

es válido sólo para Re( s ) > 1 . Pero

$${\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt,}$$

donde la integración se realiza sobre el contorno de Hankel H , es válida para todos los complejos s distintos de 1.

Ver también

• Residuo (análisis complejo)
• Valor principal de Cauchy
• Integral de Poison
• Contorno de martillo poch

Referencias

1. Acosador, John (1998). Análisis complejo: fundamentos de la teoría clásica de funciones. Saltador. pag. 77.ISBN​ 0-8176-4038-X.
2. Bak, José; Newman, Donald J. (1997). "Capítulos 11 y 12". Análisis complejo . Saltador. págs. 130-156. ISBN 0-387-94756-6.
3. Krantz, Steven George (1999). "Capitulo 2". Manual de variables complejas . Saltador. ISBN 0-8176-4011-8.
4. Mitrinović, Dragoslav S.; Kečkić, Jovan D. (1984). "Capitulo 2". El método Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones. Saltador. ISBN 90-277-1623-4.
5. Mitrinović, Dragoslav S.; Kečkić, Jovan D. (1984). "Capítulo 5". El método Cauchy de residuos: teoría y aplicaciones. Saltador. ISBN 90-277-1623-4.
6. Saff, Edward B.; Más sarcástico, Arthur David (2003). "Capítulo 4". Fundamentos del análisis complejo con aplicaciones a la ingeniería, las ciencias y las matemáticas (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-1390-7874-6.

Otras lecturas

• Titchmarsh, EC (1939), La teoría de las funciones (2ª ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853349-7
• Jean Jacquelin, Marko Riedel, Branche univalente ^{[ enlace muerto permanente ]} , Les-Mathematiques.net , en francés.
• Marko Riedel et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net , en francés.
• Marko Riedel et al., Integral por residuo, math.stackexchange.com .
• WWL Chen, Introducción al análisis complejo
• Varios autores, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas , en español.

enlaces externos

• "Integración compleja, método de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]