Lema de estimación

En matemáticas, el lema de estimación , también conocido como desigualdad ML , proporciona un límite superior para una integral de contorno . Si f es una función continua de valores complejos en el contorno Γ y si su valor absoluto | f  ( z ) | está acotado por una constante M para todo z en Γ , entonces

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,l(\Gamma ),}$

donde l (Γ) es la longitud del arco de Γ . En particular, podemos tomar el máximo

${\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}$

como límite superior. Intuitivamente, el lema es muy sencillo de entender. Si pensamos en un contorno como muchos segmentos de contorno más pequeños conectados entre sí, entonces habrá un máximo | f  ( z ) | para cada segmento. De todo el máximo | f  ( z ) | Para los segmentos, habrá uno más grande en general. Por lo tanto, si el mayor | f  ( z ) | se suma sobre todo el camino, entonces la integral de f  ( z ) sobre el camino debe ser menor o igual que él.

Formalmente, se puede demostrar que la desigualdad se cumple utilizando la definición de integral de contorno, la desigualdad de valor absoluto para integrales y la fórmula para la longitud de una curva de la siguiente manera:

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,l(\Gamma )}$

El lema de estimación se usa más comúnmente como parte de los métodos de integración de contornos con la intención de mostrar que la integral sobre parte de un contorno llega a cero cuando | z | va al infinito. A continuación se muestra un ejemplo de tal caso.

Ejemplo

El contorno Γ .

Problema. Encuentre un límite superior para

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|,}$

donde Γ es el semicírculo superior | z | = a con radio a > 1 recorrido una vez en sentido antihorario.

Solución. Primero observe que la longitud del camino de integración es la mitad de la circunferencia de un círculo con radio a , por lo tanto

${\displaystyle l(\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a.}$

A continuación buscamos un límite superior M para el integrando cuando | z | = un . Por la desigualdad del triángulo vemos que

${\displaystyle |z|^{2}=\left|z^{2}\right|=\left|z^{2}+1-1\right|\leq \left|z^{2}+1\right|+1,}$

por lo tanto

${\displaystyle \left|z^{2}+1\right|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0}$

porque | z | = a > 1 en Γ . Por eso

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

Por lo tanto, aplicamos el lema de estimación con M =1/( un ² − 1) ². El límite resultante es

${\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{\left(a^{2}-1\right)^{2}}}.}$

Ver también

• El lema de Jordan

Referencias

• Saff, EB; Snider, AD (1993), Fundamentos del análisis complejo para matemáticas, ciencias e ingeniería (2ª ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615.
• Howie, JM (2003), Análisis complejo , Springer.