Circunvolución

Integral que expresa la cantidad de superposición de una función cuando se desplaza sobre otra

Comparación visual de convolución, correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función f , y suponiendo que la altura de f es 1,0, el valor del resultado en 5 puntos diferentes se indica mediante el área sombreada debajo de cada punto. La simetría de f es la razón y son idénticas en este ejemplo. ${\displaystyle f\star g}$ ${\displaystyle g*f}$

En matemáticas (en particular, análisis funcional ), la convolución es una operación matemática en dos funciones ( f y g ) que produce una tercera función ( ). El término convolución se refiere tanto a la función resultante como al proceso de calcularla. Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja sobre el eje y y se desplaza. La integral se evalúa para todos los valores de desplazamiento, produciendo la función de convolución. La elección de qué función se refleja y se desplaza antes de la integral no cambia el resultado de la integral (ver conmutatividad). Gráficamente, expresa cómo la "forma" de una función es modificada por la otra. ${\displaystyle f*g}$

Algunas características de la convolución son similares a la correlación cruzada : para funciones de valor real, de una variable continua o discreta, la convolución ( ) difiere de la correlación cruzada ( ) sólo en que f ( x ) o g ( x ) se refleja alrededor el eje y en convolución; por lo tanto, es una correlación cruzada de g (− x ) y f ( x ) , o f (− x ) y g ( x ) . ^[A]  Para funciones de valores complejos, el operador de correlación cruzada es el adjunto del operador de convolución. ${\displaystyle f*g}$ ${\displaystyle f\star g}$

La convolución tiene aplicaciones que incluyen probabilidad , estadística , acústica , espectroscopia , procesamiento de señales y procesamiento de imágenes , geofísica , ingeniería , física , visión por computadora y ecuaciones diferenciales . ^[1]

La convolución se puede definir para funciones en el espacio euclidiano y otros grupos (como estructuras algebraicas ). ^{[ cita necesaria ]} Por ejemplo, las funciones periódicas , como la transformada de Fourier de tiempo discreto , se pueden definir en un círculo y convolucionar mediante convolución periódica . (Consulte la fila 18 en DTFT § Propiedades ). Se puede definir una convolución discreta para funciones en el conjunto de números enteros .

Las generalizaciones de convolución tienen aplicaciones en el campo del análisis numérico y el álgebra lineal numérica , y en el diseño e implementación de filtros de respuesta de impulso finito en el procesamiento de señales. ^{[ cita necesaria ]}

Calcular la inversa de la operación de convolución se conoce como deconvolución .

Definición

La convolución de f y g se escribe f ∗ g , denotando al operador con el símbolo ∗ . ^[B] Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se refleja alrededor del eje y y se desplaza. Como tal, es un tipo particular de transformación integral :

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Una definición equivalente es (ver conmutatividad):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

Si bien el símbolo t se usa anteriormente, no es necesario que represente el dominio del tiempo. En cada t , la fórmula de convolución se puede describir como el área bajo la función f ( τ ) ponderada por la función g (− τ ) desplazada por la cantidad t . A medida que t cambia, la función de ponderación g ( t − τ ) enfatiza diferentes partes de la función de entrada f ( τ ) ; Si t es un valor positivo, entonces g ( t − τ ) es igual a g (− τ ) que se desliza o se desplaza a lo largo del eje - hacia la derecha (hacia +∞ ) por la cantidad de t , mientras que si t es un valor negativo, entonces g ( t − τ ) es igual a g (− τ ) que se desliza o se desplaza hacia la izquierda (hacia -∞ ) por la cantidad de |t| . ${\displaystyle \tau }$

Para funciones f , g admitidas solo en [0, ∞] (es decir, cero para argumentos negativos), los límites de integración se pueden truncar, lo que da como resultado:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

Para conocer la formulación multidimensional de convolución, consulte dominio de definición (a continuación).

Notación

Una convención de notación de ingeniería común es: ^[2]

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}$

que debe interpretarse con cuidado para evitar confusiones. Por ejemplo, f ( t )∗ g ( t − t ₀ ) es equivalente a ( f ∗ g )( t − t ₀ ) , pero f ( t − t ₀ )∗ g ( t − t ₀ ) es de hecho equivalente a ( f ∗ gramo )( t - 2 t ₀ ) . ^[3]

Relaciones con otras transformaciones.

Dadas dos funciones y con transformadas de Laplace bilaterales (transformada de Laplace bilateral) ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u}$

y

${\displaystyle G(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v}$

respectivamente, la operación de convolución se puede definir como la transformada de Laplace inversa del producto de y . ^{[4] [5]} Más precisamente, ${\displaystyle (f*g)(t)}$ ${\displaystyle F(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}}$

deja tal que ${\displaystyle t=u+v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que es la transformada de Laplace bilateral de . Se puede realizar una derivación similar utilizando la transformada de Laplace unilateral (transformada de Laplace unilateral). ${\displaystyle F(s)\cdot G(s)}$ ${\displaystyle (f*g)(t)}$

La operación de convolución también describe la salida (en términos de entrada) de una clase importante de operaciones conocida como lineal invariante en el tiempo (LTI). Consulte la teoría del sistema LTI para obtener una derivación de la convolución como resultado de las restricciones de LTI. En términos de las transformadas de Fourier de la entrada y salida de una operación LTI, no se crean nuevos componentes de frecuencia. Sólo se modifican los existentes (amplitud y/o fase). En otras palabras, la transformada de salida es el producto puntual de la transformada de entrada con una tercera transformada (conocida como función de transferencia ). Consulte el teorema de convolución para obtener una derivación de esa propiedad de convolución. Por el contrario, la convolución se puede derivar como la transformada de Fourier inversa del producto puntual de dos transformadas de Fourier.

Explicación visual

Desarrollos históricos

Uno de los primeros usos de la integral de convolución apareció en la derivación del teorema de Taylor por parte de D'Alembert en Recherches sur différents point importantes du système du monde, publicado en 1754. ^[6]

Además, una expresión del tipo:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

Es utilizado por Sylvestre François Lacroix en la página 505 de su libro titulado Tratado sobre las diferencias y las series , que es el último de 3 volúmenes de la serie enciclopédica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, París, 1797–1800. ^[7] Poco después, las operaciones de convolución aparecen en las obras de Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson y otros. El término en sí no se utilizó ampliamente hasta las décadas de 1950 y 1960. Antes de eso, a veces se la conocía como Faltung (que significa plegado en alemán ), producto de composición , integral de superposición e integral de Carson . ^[8] Sin embargo, aparece ya en 1903, aunque la definición es bastante desconocida en usos más antiguos. ^{[9] [10]}

La operacion:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

Es un caso particular de productos de composición considerados por el matemático italiano Vito Volterra en 1913. ^[11]

convolución circular

Cuando una función g _T es periódica, con periodo T , entonces para funciones f , tales que f ∗ g _T existe, la convolución también es periódica e idéntica a:

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

donde t ₀ es una elección arbitraria. La sumatoria se llama sumatoria periódica de la función f .

Cuando g _T es una suma periódica de otra función, g , entonces f ∗ g _T se conoce como convolución circular o cíclica de f y g .

Y si la suma periódica anterior se reemplaza por f _T , la operación se llama convolución periódica de f _T y g _T .

convolución discreta

Animación de convolución 2D discreta

Para funciones de valores complejos f , g definidas en el conjunto Z de números enteros, la convolución discreta de f y g viene dada por: ^[12]

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

o equivalentemente (ver conmutatividad) por:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

La convolución de dos secuencias finitas se define extendiendo las secuencias a funciones finitamente admitidas en el conjunto de números enteros. Cuando las secuencias son los coeficientes de dos polinomios , entonces los coeficientes del producto ordinario de los dos polinomios son la convolución de las dos secuencias originales. Esto se conoce como producto de Cauchy de los coeficientes de las secuencias.

Así, cuando g tiene un soporte finito en el conjunto (que representa, por ejemplo, una respuesta de impulso finita ), se puede utilizar una suma finita: ^[13] ${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

Convolución discreta circular

Cuando una función g _N es periódica, con periodo N , entonces para funciones f , tales que f ∗ g _N existe, la convolución también es periódica e idéntica a:

${\displaystyle (f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m].}$

La sumatoria de k se llama sumatoria periódica de la función f .

Si g _N es una suma periódica de otra función, g , entonces f ∗ g _N se conoce como convolución circular de f y g .

Cuando las duraciones distintas de cero de f y g se limitan al intervalo [0, N − 1] ,  f ∗ g _N se reduce a estas formas comunes:

La notación ( f ∗ N _g ) para convolución cíclica denota convolución sobre el grupo cíclico de números enteros módulo N.

La convolución circular surge con mayor frecuencia en el contexto de una convolución rápida con un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Algoritmos de convolución rápida

En muchas situaciones, las convoluciones discretas se pueden convertir en convoluciones circulares para poder utilizar transformaciones rápidas con una propiedad de convolución para implementar el cálculo. Por ejemplo, la convolución de secuencias de dígitos es la operación central en la multiplicación de números de varios dígitos, que por lo tanto puede implementarse eficientemente con técnicas de transformación (Knuth 1997, §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003, §8.2).

La ecuación 1 requiere N operaciones aritméticas por valor de salida y N ² operaciones para N salidas. Esto se puede reducir significativamente con cualquiera de varios algoritmos rápidos. El procesamiento de señales digitales y otras aplicaciones suelen utilizar algoritmos de convolución rápidos para reducir el costo de la convolución a una complejidad O ( N log N ).

Los algoritmos de convolución rápida más comunes utilizan algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) mediante el teorema de convolución circular . Específicamente, la convolución circular de dos secuencias de longitud finita se encuentra tomando una FFT de cada secuencia, multiplicando puntualmente y luego realizando una FFT inversa. Luego, las convoluciones del tipo definido anteriormente se implementan eficientemente utilizando esa técnica junto con la extensión cero y/o descartando partes de la salida. Otros algoritmos de convolución rápida, como el algoritmo de Schönhage-Strassen o la transformada de Mersenne, ^[14] utilizan transformadas rápidas de Fourier en otros anillos . El método Winograd se utiliza como alternativa a la FFT. ^[15] Acelera significativamente la convolución 1D, ^[16] 2D, ^[17] y 3D ^[18] .

Si una secuencia es mucho más larga que la otra, la extensión cero de la secuencia más corta y la convolución circular rápida no es el método disponible más eficiente desde el punto de vista computacional. ^[19] En cambio, descomponer la secuencia más larga en bloques y convolucionar cada bloque permite algoritmos más rápidos, como el método de superposición y guardado y el método de superposición y adición . ^[20] Un método de convolución híbrido que combina algoritmos de bloque y FIR permite una latencia de entrada-salida cero que es útil para cálculos de convolución en tiempo real. ^[21]

Dominio de definición

La convolución de dos funciones de valores complejos en R ^d es en sí misma una función de valores complejos en R ^d , definida por:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

y está bien definido sólo si f y g decaen lo suficientemente rápido en el infinito para que exista la integral. Las condiciones para la existencia de la convolución pueden ser complicadas, ya que una explosión de g en el infinito puede compensarse fácilmente con una caída suficientemente rápida de f . Por tanto, la cuestión de la existencia puede implicar diferentes condiciones en f y g :

Funciones compatibles de forma compacta

Si f y g son funciones continuas soportadas de forma compacta , entonces su convolución existe, y también es continua y soportada de forma compacta (Hörmander 1983, Capítulo 1). De manera más general, si cualquiera de las funciones (digamos f ) se admite de manera compacta y la otra es localmente integrable , entonces la convolución f ∗ g está bien definida y es continua.

La convolución de f y g también está bien definida cuando ambas funciones son localmente integrables al cuadrado en R y están soportadas en un intervalo de la forma [ a , +∞) (o ambas soportadas en [−∞, a ] ).

Funciones integrables

La convolución de f y g existe si f y g son funciones integrables de Lebesgue en L ¹ ( R ^d ) , y en este caso f ∗ g también es integrable (Stein & Weiss 1971, Teorema 1.3). Esta es una consecuencia del teorema de Tonelli . Esto también es válido para funciones en L ¹ , bajo la convolución discreta o, más generalmente, para la convolución en cualquier grupo.

Asimismo, si f ∈ L ¹ ( R ^d ) y   g ∈ L ^p ( R ^d ) donde 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces   f ∗ g ∈ L ^p ( R ^d ), y

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

En el caso particular p = 1 , esto muestra que L ¹ es un álgebra de Banach bajo la convolución (y la igualdad de los dos lados se cumple si f y g no son negativos en casi todas partes).

De manera más general, la desigualdad de Young implica que la convolución es un mapa bilineal continuo entre espacios L ^p adecuados . Específicamente, si 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ satisface:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

entonces

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},}$

de modo que la convolución sea un mapeo bilineal continuo de L ^p × L ^q a L ^r . La desigualdad de Young para la convolución también es cierta en otros contextos (grupo circular, convolución en Z ). La desigualdad anterior no es nítida en la recta real: cuando 1 < p , q , r < ∞ , existe una constante B _{p , q} < 1 tal que:

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.}$

El valor óptimo de B _{p , q} se descubrió en 1975 ^[22] e independientemente en 1976, ^[23] ver desigualdad de Brascamp-Lieb .

Una estimación más sólida es verdadera siempre que 1 < p , q , r < ∞ :

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

¿ Dónde está la norma débil L q ? La convolución también define un mapa continuo bilineal para , debido a la débil desigualdad de Young: ^[24] ${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$ ${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$ ${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

Funciones de descomposición rápida.

Además de las funciones soportadas de forma compacta y las funciones integrables, también se pueden convolucionar funciones que tienen una desintegración suficientemente rápida en el infinito. Una característica importante de la convolución es que si f y g decaen rápidamente, entonces f ∗ g también decae rápidamente. En particular, si f y g son funciones decrecientes rápidamente , entonces también lo es la convolución f ∗ g . Combinado con el hecho de que la convolución conmuta con la diferenciación (ver #Propiedades), se deduce que la clase de funciones de Schwartz está cerrada bajo convolución (Stein y Weiss 1971, Teorema 3.3).

Distribuciones

Si f es una función suave que se soporta de forma compacta y g es una distribución, entonces f ∗ g es una función suave definida por

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).}$

De manera más general, es posible ampliar la definición de convolución de una manera única con lo mismo que f arriba, de modo que la ley asociativa ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }$

sigue siendo válido en el caso en que f es una distribución y g una distribución con soporte compacto (Hörmander 1983, §4.2).

Medidas

La convolución de dos medidas de Borel cualesquiera μ y ν de variación acotada es la medida definida por (Rudin 1962) ${\displaystyle \mu *\nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}$

En particular,

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}$

donde es un conjunto medible y es la función indicadora de . ${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle 1_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Esto concuerda con la convolución definida anteriormente cuando μ y ν se consideran distribuciones, así como con la convolución de las funciones L ¹ cuando μ y ν son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue.

La convolución de medidas también satisface la siguiente versión de la desigualdad de Young

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

donde la norma es la variación total de una medida. Debido a que el espacio de medidas de variación acotada es un espacio de Banach , la convolución de medidas puede tratarse con métodos estándar de análisis funcional que pueden no aplicarse a la convolución de distribuciones.

Propiedades

Propiedades algebraicas

La convolución define un producto en el espacio lineal de funciones integrables. Este producto satisface las siguientes propiedades algebraicas, que formalmente significan que el espacio de funciones integrables con el producto dado por convolución es un álgebra asociativa conmutativa sin identidad (Strichartz 1994, §3.3). Otros espacios lineales de funciones, como el espacio de funciones continuas de soporte compacto, están cerrados bajo la convolución y, por tanto, también forman álgebras asociativas conmutativas.

Conmutatividad

$${\displaystyle f*g=g*f}$$

Prueba: Por definición:

$${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$

A continuación se cambia la variable de integración al resultado. ${\displaystyle u=t-\tau }$

asociatividad

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$

Prueba: Esto se desprende del uso del teorema de Fubini (es decir, las integrales dobles pueden evaluarse como integrales iteradas en cualquier orden).

Distributividad

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$

Prueba: Esto se deriva de la linealidad de la integral.

Asociatividad con multiplicación escalar

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$

para cualquier número real (o complejo) . ${\displaystyle a}$

Identidad multiplicativa

Ningún álgebra de funciones posee una identidad para la convolución. La falta de identidad no suele ser un inconveniente importante, ya que la mayoría de las colecciones de funciones sobre las que se realiza la convolución pueden convolucionarse con una distribución delta (un impulso unitario, centrado en cero) o, como mínimo (como es el caso de L ¹ ) admitir aproximaciones a la identidad . Sin embargo, el espacio lineal de distribuciones soportadas compactamente admite una identidad bajo la convolución. Específicamente,

$${\displaystyle f*\delta =f}$$

donde δ es la distribución delta.

elemento inverso

Algunas distribuciones S tienen un elemento inverso S ⁻¹ para la convolución que luego debe satisfacer

$${\displaystyle S^{-1}*S=\delta }$$

a partir del cual se puede obtener una fórmula explícita para S ^{−1 .}

El conjunto de distribuciones invertibles forma un grupo abeliano bajo la convolución.

Conjugación compleja

$${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$$

Relación con la diferenciación

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$

Prueba:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}$

Relación con la integración

Si y entonces ${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$ ${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$

$${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}$$

Integración

Si f y g son funciones integrables, entonces la integral de su convolución en todo el espacio se obtiene simplemente como el producto de sus integrales: ^[25]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}$

Esto se desprende del teorema de Fubini . El mismo resultado es válido si solo se supone que f y g son funciones mensurables no negativas, según el teorema de Tonelli .

Diferenciación

En el caso de una variable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

¿ Dónde está la derivada ? De manera más general, en el caso de funciones de varias variables, se cumple una fórmula análoga para la derivada parcial : ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

Una consecuencia particular de esto es que la convolución puede verse como una operación de "suavizado": la convolución de f y g es diferenciable tantas veces como f y g son en total.

Estas identidades se mantienen bajo la condición precisa de que f y g sean absolutamente integrables y al menos una de ellas tenga una derivada débil (L ¹ ) absolutamente integrable, como consecuencia de la desigualdad de convolución de Young . Por ejemplo, cuando f es continuamente diferenciable con soporte compacto y g es una función arbitraria localmente integrable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

Estas identidades también son válidas de manera mucho más amplia en el sentido de distribuciones templadas si una de f o g es una distribución templada decreciente rápidamente , una distribución templada con soporte compacto o una función de Schwartz y la otra es una distribución templada. Por otro lado, dos funciones positivas integrables e infinitamente diferenciables pueden tener una convolución continua en ninguna parte.

En el caso discreto, el operador de diferencia D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) satisface una relación análoga:

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

Teorema de convolución

El teorema de convolución establece que ^[26]

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

donde denota la transformada de Fourier de . ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ ${\displaystyle f}$

Convolución en otro tipo de transformaciones.

Las versiones de este teorema también son válidas para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral , la transformada Z y la transformada de Mellin .

Convolución en matrices

Si es la matriz de transformada de Fourier , entonces ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$,

donde es el producto de división de caras , ^{[27] [28] [29] [30] [31]} denota el producto de Kronecker , denota el producto de Hadamard (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de recuento ^[32] ). ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Equivarianza traslacional

La convolución conmuta con las traducciones, lo que significa que

${\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}$

donde τ _x f es la traducción de la función f por x definida por

${\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}$

Si f es una función de Schwartz , entonces τ _x f es la convolución con una función delta de Dirac traducida τ _x f = f ∗ τ _x δ . Entonces, la invariancia de traducción de la convolución de funciones de Schwartz es una consecuencia de la asociatividad de la convolución.

Además, bajo ciertas condiciones, la convolución es la operación invariante de traducción más general. Informalmente hablando, se cumple lo siguiente

Supongamos que S es un operador lineal acotado que actúa sobre funciones que conmuta con traslaciones: S ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) para todo x . Entonces S se da como convolución con una función (o distribución) g _S ; es decir Sf = g _S ∗ f .

Por tanto, algunas operaciones invariantes de traducción se pueden representar como convolución. Las convoluciones juegan un papel importante en el estudio de sistemas invariantes en el tiempo , y especialmente en la teoría de sistemas LTI . La función representativa g _S es la respuesta al impulso de la transformación S .

Una versión más precisa del teorema citado anteriormente requiere especificar la clase de funciones sobre las cuales se define la convolución, y también requiere asumir además que S debe ser un operador lineal continuo con respecto a la topología apropiada . Se sabe, por ejemplo, que cada operador lineal continuo invariante de traducción continua en L ¹ es la convolución con una medida de Borel finita . De manera más general, cada operador lineal continuo invariante de traducción continua en L ^p para 1 ≤ p < ∞ es la convolución con una distribución templada cuya transformada de Fourier está acotada. Es decir, todos están dados por multiplicadores de Fourier acotados .

Convoluciones en grupos

Si G es un grupo adecuado dotado de una medida λ, y si f y g son funciones integrables de valores reales o complejos en G , entonces podemos definir su convolución por

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

No es conmutativo en general. En casos típicos de interés, G es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y λ es una medida de Haar (izquierda) . En ese caso, a menos que G sea unimodular , la convolución definida de esta manera no es la misma que . La preferencia de uno sobre el otro se hace de modo que la convolución con una función fija g conmuta con la traducción a la izquierda en el grupo: ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Además, la convención también es necesaria para mantener la coherencia con la definición de convolución de medidas que se da a continuación. Sin embargo, con una medida de Haar derecha en lugar de izquierda, se prefiere la última integral a la primera.

En grupos abelianos localmente compactos , se cumple una versión del teorema de convolución : la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. El grupo circular T con la medida de Lebesgue es un ejemplo inmediato. Para una g fija en L ¹ ( T ), tenemos el siguiente operador familiar que actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( T ):

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

El operador T es compacto . Un cálculo directo muestra que su T* adjunto es convolución con

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

Según la propiedad de conmutatividad citada anteriormente, T es normal : T * T = TT *. Además, T viaja con los operadores de traducción. Considere la familia S de operadores que consta de todas esas convoluciones y los operadores de traducción. Entonces S es una familia de operadores normales que se desplazan al trabajo. Según la teoría espectral , existe una base ortonormal { hk _} que simultáneamente diagonaliza S. Esto caracteriza las convoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

que son precisamente los personajes de T . Cada convolución es un operador de multiplicación compacto en esta base. Esto puede verse como una versión del teorema de convolución discutido anteriormente.

Un ejemplo discreto es un grupo cíclico finito de orden n . Los operadores de convolución están representados aquí por matrices circulantes y pueden diagonalizarse mediante la transformada discreta de Fourier .

Un resultado similar es válido para grupos compactos (no necesariamente abelianos): los coeficientes matriciales de representaciones unitarias de dimensión finita forman una base ortonormal en L ² según el teorema de Peter-Weyl , y un análogo del teorema de convolución continúa siendo válido, junto con muchos otros aspectos del análisis armónico que dependen de la transformada de Fourier.

Convolución de medidas

Sea G un grupo topológico (escrito multiplicativamente). Si μ y ν son medidas finitas de Borel en G , entonces su convolución μ ∗ ν se define como la medida de avance de la acción del grupo y se puede escribir como

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

para cada subconjunto medible E de G . La convolución es también una medida finita, cuya variación total satisface

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

En el caso en que G es localmente compacto con la medida de Haar (izquierda) λ, y μ y ν son absolutamente continuos con respecto a λ, de modo que cada uno tiene una función de densidad , entonces la convolución μ∗ν también es absolutamente continua, y su función de densidad es simplemente la convolución de las dos funciones de densidad separadas.

Si μ y ν son medidas de probabilidad en el grupo topológico ( R ,+), entonces la convolución μ ∗ ν es la distribución de probabilidad de la suma X + Y de dos variables aleatorias independientes X e Y cuyas respectivas distribuciones son μ y ν.

convolución íntima

En el análisis convexo , la convolución mínima de funciones convexas propias (no idénticas ) se define por: ^[33] ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.}$$

transformada de Legendre

$${\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).}$$

$${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}$$

Bialgebras

Sea ( X , Δ, ∇, ε , η ) una biálgebra con comultiplicación Δ, multiplicación ∇, unidad η y cuenta ε . La convolución es un producto definido en el álgebra de endomorfismo End( X ) de la siguiente manera. Sean φ , ψ ∈ End( X ), es decir, φ , ψ : X → X son funciones que respetan toda la estructura algebraica de X , entonces la convolución φ ∗ ψ se define como la composición

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

La convolución aparece notablemente en la definición de álgebras de Hopf (Kassel 1995, §III.3). Una bialgebra es un álgebra de Hopf si y sólo si tiene una antípoda: un endomorfismo S tal que

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

Aplicaciones

El desenfoque gaussiano se puede utilizar para obtener una imagen digital suave en escala de grises de una impresión de medios tonos .

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas.

• Las redes neuronales convolucionales aplican múltiples núcleos de convolución en cascada con aplicaciones en visión artificial e inteligencia artificial . ^{[34] [35]} Aunque en la mayoría de los casos se trata de correlaciones cruzadas en lugar de convoluciones. ^[36]
• En el procesamiento de imágenes no basado en redes neuronales
  • En el procesamiento de imágenes digitales, el filtrado convolucional juega un papel importante en muchos algoritmos importantes en la detección de bordes y procesos relacionados (consulte Kernel (procesamiento de imágenes) ).
  • En óptica , una fotografía desenfocada es una convolución de la imagen nítida con una función de lente. El término fotográfico para esto es bokeh .
  • En aplicaciones de procesamiento de imágenes, como agregar desenfoque.
• En el procesamiento de datos digitales
  • En química analítica , los filtros de suavizado Savitzky-Golay se utilizan para el análisis de datos espectroscópicos. Pueden mejorar la relación señal-ruido con una distorsión mínima de los espectros.
  • En estadística , una media móvil ponderada es una convolución.
• En acústica , la reverberación es la convolución del sonido original con ecos de los objetos que rodean la fuente del sonido.
  • En el procesamiento de señales digitales, la convolución se utiliza para mapear la respuesta al impulso de una sala real en una señal de audio digital.
  • En la música electrónica, la convolución es la imposición de una estructura espectral o rítmica a un sonido. A menudo esta envolvente o estructura se toma de otro sonido. La convolución de dos señales es el filtrado de una a través de la otra. ^[37]
• En ingeniería eléctrica , la convolución de una función (la señal de entrada ) con una segunda función (la respuesta al impulso) da la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En cualquier momento dado, la salida es un efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, siendo los valores más recientes los que suelen tener la mayor influencia (expresados ​​como un factor multiplicativo). La función de respuesta al impulso proporciona ese factor en función del tiempo transcurrido desde que ocurrió cada valor de entrada.
• En física , siempre que existe un sistema lineal con un " principio de superposición ", aparece una operación de convolución. Por ejemplo, en espectroscopia , el ensanchamiento de la línea debido al efecto Doppler por sí solo da una forma de línea espectral gaussiana y el ensanchamiento por colisión por sí solo da una forma de línea lorentziana . Cuando ambos efectos están operativos, la forma de la línea es una convolución de Gauss y Lorentz, una función de Voigt .
  • En la espectroscopia de fluorescencia resuelta en el tiempo , la señal de excitación se puede tratar como una cadena de pulsos delta, y la fluorescencia medida es una suma de desintegraciones exponenciales de cada pulso delta.
  • En dinámica de fluidos computacional , el modelo de turbulencia de simulación de grandes remolinos (LES) utiliza la operación de convolución para reducir el rango de escalas de longitud necesarias en el cálculo, reduciendo así el costo computacional.
• En teoría de la probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales.
  • En la estimación de la densidad del núcleo , se estima una distribución a partir de puntos de muestra mediante convolución con un núcleo, como un gaussiano isotrópico. ^[38]
• En los sistemas de planificación de tratamientos de radioterapia, la mayoría de los códigos de cálculo modernos utilizan un algoritmo de superposición de convolución. ^{[ se necesita aclaración ]}
• En confiabilidad estructural, el índice de confiabilidad se puede definir con base en el teorema de convolución.
  • La definición de índice de confiabilidad para funciones de estado límite con distribuciones no normales se puede establecer correspondiente a la función de distribución conjunta . De hecho, la función de distribución conjunta se puede obtener utilizando la teoría de convolución. ^[39]
• En hidrodinámica de partículas suavizadas , las simulaciones de dinámica de fluidos se calculan utilizando partículas, cada una con núcleos circundantes. Para cualquier partícula dada , alguna cantidad física se calcula como una convolución con una función de ponderación, donde denota los vecinos de la partícula : aquellos que se encuentran dentro de su núcleo. La convolución se aproxima como una suma sobre cada vecino. ^[40] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$
• En cálculo fraccional, la convolución es fundamental en varias definiciones de integral fraccionaria y derivada fraccionaria.

Ver también

• Procesamiento de señales analógicas
• matriz circulante
• Convolución para respuestas ópticas de haz ancho en medios de dispersión.
• poder de convolución
• cociente de convolución
• convolución de Dirichlet
• Promedio de señal generalizado
• Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad.
• Teoría del sistema LTI # Respuesta al impulso y convolución
• Convolución discreta multidimensional
• Correlación escalada
• Teorema de convolución de Titchmarsh
• Matriz de Toeplitz (las convoluciones pueden considerarse una operación de matriz de Toeplitz donde cada fila es una copia desplazada del núcleo de convolución)
• transformada wavelet

Notas

1. Las razones de la reflexión incluyen:
   • Es necesario implementar el equivalente del producto puntual de las transformadas de Fourier de f y g .
   • Cuando la convolución se ve como un promedio ponderado móvil , la función de ponderación, g (− x ) , a menudo se especifica en términos de otra función, g ( x ) , llamada respuesta al impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo .
2. El símbolo U+2217 ∗ ASTERISK OPERATOR es diferente de U+002A * ASTERISK , que a menudo se usa para indicar conjugación compleja. Ver Asterisco § Tipografía matemática .

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Usos más tempranos: la entrada sobre Convolución tiene información histórica.
• Convolución, en el libro breve sobre análisis de datos
• https://jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java de convolución visual
• https://jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java de convolución visual para funciones de tiempo discreto
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution calculadora en línea de convolución discreta
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Demostración y visualización de convolución en javascript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Otra demostración de convolución en javascript
• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 7 trata sobre convolución 2-D, por Alan Peters
• * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Tutorial interactivo sobre la operación de la máscara del núcleo de convolución
• Convolución en MathWorld
• Procesador de respuesta a impulsos Freeverb3: procesador de respuesta a impulsos de latencia cero de código abierto con complementos VST
• Demostración Flash interactiva CS 178 de la Universidad de Stanford que muestra cómo funciona la convolución espacial.
• Una videoconferencia sobre el tema de la convolución impartida por Salman Khan
• Ejemplo de convolución FFT para reconocimiento de patrones (procesamiento de imágenes)
• Guía intuitiva para la convolución Una entrada de blog sobre una interpretación intuitiva de la convolución.