Sistema lineal invariante en el tiempo

Modelo matemático que es a la vez lineal e invariante en el tiempo.

Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición y la invariancia temporal para un sistema determinista de tiempo continuo de una sola entrada y una sola salida. El sistema satisface el principio de superposición y es invariante en el tiempo si y sólo si y ₃ ( t ) = a ₁ y ₁ ( t – t ₀ ) + a ₂ y ₂ ( t – t ₀ ) para todo el tiempo t , para todos los tiempos reales . constantes a ₁ , a ₂ , t ₀ y para todas las entradas x ₁ ( t ), x ₂ ( t ) . ^[1] Haga clic en la imagen para ampliarla.

En el análisis de sistemas , entre otros campos de estudio, un sistema lineal invariante en el tiempo ( LTI ) es un sistema que produce una señal de salida a partir de cualquier señal de entrada sujeta a las restricciones de linealidad e invariancia en el tiempo ; Estos términos se definen brevemente a continuación. Estas propiedades se aplican (exacta o aproximadamente) a muchos sistemas físicos importantes, en cuyo caso la respuesta y ( t ) del sistema a una entrada arbitraria x ( t ) se puede encontrar directamente usando convolución : y ( t ) = ( x ∗ h )( t ) donde h ( t ) se llama respuesta al impulso del sistema y ∗ representa convolución (no debe confundirse con multiplicación). Es más, existen métodos sistemáticos para resolver cualquier sistema de este tipo (determinando h ( t ) ), mientras que los sistemas que no cumplen ambas propiedades son generalmente más difíciles (o imposibles) de resolver analíticamente. Un buen ejemplo de un sistema LTI es cualquier circuito eléctrico que consta de resistencias , condensadores , inductores y amplificadores lineales . ^[2]

La teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se utiliza en el procesamiento de imágenes , donde los sistemas tienen dimensiones espaciales en lugar de, o además de, una dimensión temporal. Estos sistemas pueden denominarse invariantes de traducción lineal para darle a la terminología el alcance más general. En el caso de sistemas genéricos de tiempo discreto (es decir, muestreados ), el término correspondiente es el invariante de desplazamiento lineal . La teoría de sistemas LTI es un área de las matemáticas aplicadas que tiene aplicaciones directas en el análisis y diseño de circuitos eléctricos , procesamiento de señales y diseño de filtros , teoría de control , ingeniería mecánica , procesamiento de imágenes , diseño de instrumentos de medición de muchos tipos, espectroscopia de RMN ^{[ cita necesaria ]} y muchas otras áreas técnicas donde se presentan sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Descripción general

Las propiedades definitorias de cualquier sistema LTI son la linealidad y la invariancia temporal .

• Linealidad significa que la relación entre la entrada y la salida , ambas consideradas funciones, es una aplicación lineal: si es una constante, entonces la salida del sistema es ; Si hay una entrada adicional con salida del sistema , entonces la salida del sistema es , esto se aplica a todas las opciones de ,, . Esta última condición suele denominarse principio de superposición . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ax(t)}$ ${\displaystyle ay(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$ ${\displaystyle y'(t)}$ ${\displaystyle x(t)+x'(t)}$ ${\displaystyle y(t)+y'(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x'(t)}$
• La invariancia de tiempo significa que ya sea que apliquemos una entrada al sistema ahora o dentro de T segundos, la salida será idéntica excepto por un retraso de tiempo de T segundos. Es decir, si la salida debida a la entrada es , entonces la salida debida a la entrada es . Por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo porque la salida no depende del momento particular en que se aplica la entrada. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t-T)}$ ${\displaystyle y(t-T)}$

El resultado fundamental de la teoría del sistema LTI es que cualquier sistema LTI puede caracterizarse completamente por una única función llamada respuesta al impulso del sistema . La salida del sistema es simplemente la convolución de la entrada al sistema con la respuesta al impulso del sistema . A esto se le llama sistema de tiempo continuo . De manera similar, un sistema lineal invariante en el tiempo (o, más generalmente, "invariante por desplazamiento") se define como uno que opera en tiempo discreto : donde y , x y h son secuencias y la convolución, en tiempo discreto, utiliza una suma discreta en lugar de una integral. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

Relación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia

Los sistemas LTI también se pueden caracterizar en el dominio de la frecuencia mediante la función de transferencia del sistema , que es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso del sistema (o transformada Z en el caso de sistemas de tiempo discreto). Como resultado de las propiedades de estas transformadas, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia es el producto de la función de transferencia y la transformada de la entrada. En otras palabras, la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

Para todos los sistemas LTI, las funciones propias y las funciones base de las transformadas son exponenciales complejas . Es decir, si la entrada a un sistema es la forma de onda compleja para alguna amplitud y frecuencia complejas , la salida será una constante compleja multiplicada por la entrada, digamos para alguna nueva amplitud compleja . La relación es la función de transferencia en frecuencia . ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{s}e^{st}}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$ ${\displaystyle s}$

Dado que las sinusoides son una suma de exponenciales complejas con frecuencias conjugadas complejas, si la entrada al sistema es una sinusoide, entonces la salida del sistema también será una sinusoide, quizás con una amplitud diferente y una fase diferente , pero siempre con la misma frecuencia al alcanzar el estado estacionario. Los sistemas LTI no pueden producir componentes de frecuencia que no estén en la entrada.

La teoría de sistemas LTI es buena para describir muchos sistemas importantes. La mayoría de los sistemas LTI se consideran "fáciles" de analizar, al menos en comparación con el caso no lineal y/o variable en el tiempo. Cualquier sistema que pueda modelarse como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es un sistema LTI. Ejemplos de tales sistemas son los circuitos eléctricos compuestos por resistencias , inductores y condensadores (circuitos RLC). Los sistemas ideales resorte-masa-amortiguador también son sistemas LTI y son matemáticamente equivalentes a los circuitos RLC.

La mayoría de los conceptos de sistemas LTI son similares entre los casos de tiempo continuo y de tiempo discreto (invariante de desplazamiento lineal). En el procesamiento de imágenes, la variable tiempo se reemplaza con dos variables espaciales, y la noción de invariancia temporal se reemplaza por invariancia de desplazamiento bidimensional. Al analizar bancos de filtros y sistemas MIMO , suele resultar útil considerar vectores de señales.

Un sistema lineal que no es invariante en el tiempo se puede resolver utilizando otros enfoques, como el método de la función de Green .

Sistemas de tiempo continuo

Respuesta de impulso y convolución.

El comportamiento de un sistema lineal, de tiempo continuo e invariante en el tiempo con señal de entrada x ( t ) y señal de salida y ( t ) se describe mediante la integral de convolución: ^[3]

¿ Dónde está la respuesta del sistema a un impulso ? es por tanto proporcional a un promedio ponderado de la función de entrada . La función de ponderación simplemente se desplaza por cantidad . A medida que cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. Cuando es cero para todo negativo , depende sólo de valores anteriores al tiempo , y se dice que el sistema es causal . ${\textstyle h(t)}$ ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x(\tau )}$ ${\textstyle h(-\tau )}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle h(\tau )}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$

Para comprender por qué la convolución produce la salida de un sistema LTI, dejemos que la notación represente la función con variable y constante . Y dejemos que la notación más corta represente . Luego, un sistema de tiempo continuo transforma una función de entrada en una función de salida . Y, en general, cada valor de la salida puede depender de cada valor de la entrada. Este concepto está representado por: ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ ${\textstyle x(u-\tau )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \tau }$ ${\textstyle \{x\}}$ ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ ${\textstyle \{x\},}$ ${\textstyle \{y\}}$

$${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$

${\textstyle O_{t}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t}$

Para un sistema lineal, debe satisfacer la Ec.1 : ${\textstyle O}$

Y el requisito de invariancia en el tiempo es:

En esta notación, podemos escribir la respuesta al impulso como ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Similarmente:

Sustituyendo este resultado en la integral de convolución:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

que tiene la forma del lado derecho de la Ec.2 para el caso y ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

La ecuación 2 permite entonces esta continuación:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

En resumen, la función de entrada, , se puede representar mediante un continuo de funciones de impulso desplazadas en el tiempo, combinadas "linealmente", como se muestra en la ecuación 1 . La propiedad de linealidad del sistema permite que la respuesta del sistema sea representada por el correspondiente continuo de respuestas impulsivas , combinadas de la misma manera. Y la propiedad de invariancia en el tiempo permite que esa combinación se represente mediante la integral de convolución. ${\textstyle \{x\}}$

Las operaciones matemáticas anteriores tienen una simulación gráfica simple. ^[4]

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es una versión escalada de la misma función. Eso es,

$${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

fvalor propio ${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un operador lineal invariante en el tiempo . Una simple prueba ilustra este concepto. Supongamos que la entrada es . La salida del sistema con respuesta impulsiva es entonces ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$ ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$

la convolución

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}}$$

donde el escalar

$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

s

Entonces la respuesta del sistema es una versión escalada de la entrada. En particular, para cualquiera , la salida del sistema es el producto de la entrada y la constante . Por lo tanto, es una función propia de un sistema LTI y el valor propio correspondiente es . ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle Ae^{st}}$ ${\displaystyle H(s)}$

prueba directa

También es posible derivar directamente exponenciales complejas como funciones propias de sistemas LTI.

Establezcamos una versión exponencial compleja y una versión diferida en el tiempo. ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$por linealidad con respecto a la constante . ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$por invariancia temporal de . ${\displaystyle H}$

Entonces . Configurando y cambiando el nombre obtenemos: ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$ ${\displaystyle t=0}$

$${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$

${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Transformadas de Fourier y Laplace

La propiedad de función propia de los exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para el conocimiento de los sistemas LTI. La transformada de Laplace unilateral

$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

transformada de Fourierfunción del sistemarespuesta del sistemafunción de transferencia ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(j\omega )}$

La transformada de Laplace se utiliza normalmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para todos los valores de t menores que algún valor. Por lo general, este "tiempo de inicio" se establece en cero, por conveniencia y sin pérdida de generalidad, y la transformada integral se toma de cero al infinito (la transformada que se muestra arriba con el límite inferior de integración del infinito negativo se conoce formalmente como la transformada bilateral de Laplace). transformar ).

La transformada de Fourier se utiliza para analizar sistemas que procesan señales de extensión infinita, como las sinusoides moduladas, aunque no se puede aplicar directamente a señales de entrada y salida que no son integrables al cuadrado . La transformada de Laplace en realidad funciona directamente para estas señales si son cero antes de un tiempo de inicio, incluso si no son integrables al cuadrado, para sistemas estables. La transformada de Fourier se aplica a menudo a espectros de señales infinitas mediante el teorema de Wiener-Khinchin incluso cuando no existen transformadas de Fourier de las señales.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada, dadas las señales para las que existen las transformadas.

$${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

Se puede utilizar la respuesta del sistema directamente para determinar cómo un sistema maneja cualquier componente de frecuencia particular con esa transformada de Laplace. Si evaluamos la respuesta del sistema (transformada de Laplace de la respuesta impulsiva) a una frecuencia compleja s = jω , donde ω = 2 πf , obtenemos | H ( s )| que es la ganancia del sistema para la frecuencia f . El cambio de fase relativo entre la salida y la entrada para ese componente de frecuencia también viene dado por arg( H ( s )).

Ejemplos

• Un ejemplo sencillo de operador LTI es la derivada .
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

  Cuando se toma la transformada de Laplace de la derivada, se transforma en una simple multiplicación por la variable de Laplace s .

  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$$
  El hecho de que la derivada tenga una transformada de Laplace tan simple explica en parte la utilidad de la transformada.
• Otro operador LTI simple es un operador promedio.
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$$
  Por la linealidad de la integración,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$$
  es lineal. Además, porque
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$$
  es invariante en el tiempo. De hecho, se puede escribir como una convolución con la función furgón . Eso es, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,}$$
  donde funciona el furgón
  $${\displaystyle \Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$$

Propiedades importantes del sistema

Algunas de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. La causalidad es una necesidad para un sistema físico cuya variable independiente es el tiempo, sin embargo esta restricción no está presente en otros casos como el procesamiento de imágenes.

Causalidad

Un sistema es causal si la producción depende sólo de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es

$${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

¿ Dónde está la respuesta al impulso? En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada de Laplace bilateral . Sin embargo, cuando se trabaja en el dominio del tiempo, normalmente se utiliza la transformada de Laplace unilateral que requiere causalidad. ${\displaystyle h(t)}$

Estabilidad

Un sistema es estable de entradas y salidas acotadas (estable BIBO) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si cada entrada que satisface

$${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

conduce a una salida que satisface

$${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(es decir, un valor absoluto máximo finito de implica un valor absoluto máximo finito de ), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta impulsiva, esté en L 1 (tenga una norma L ^{1 finita):} ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$

$${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el eje imaginario . ${\displaystyle s=j\omega }$

Como ejemplo, el filtro de paso bajo ideal con respuesta de impulso igual a una función sinc no es BIBO estable, porque la función sinc no tiene una norma L ¹ finita . Por lo tanto, para alguna entrada limitada, la salida del filtro de paso bajo ideal es ilimitada. En particular, si la entrada es cero para e igual a una sinusoide en la frecuencia de corte para , entonces la salida será ilimitada para todos los momentos distintos de los cruces por cero. ^{[ dudoso ]} ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle t>0}$

Deducir la solución de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo

Se da un sistema lineal explícito de ecuaciones diferenciales en la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t)+b\,u(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}}$

con el vector de estado , la matriz del sistema , la entrada , el vector de entrada y la condición inicial . La solución consta de una parte homogénea y otra particular. ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$

Solución homogénea

La ecuación diferencial homogénea se obtiene igualando la entrada a cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}}$

Esta solución ahora se puede describir usando una representación en serie de Taylor :

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=\phi (t)x_{0}=(E+\phi _{1}t+\phi _{2}t^{2}+...+\phi _{n}t^{n}+...)x_{0}\end{aligned}}}$

¿ Dónde está la matriz unitaria? Sustituyendo esta solución en la ecuación anterior, se obtiene: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\phi (t)x_{0})&=A\,\phi (t)\,x_{0}\\(\phi _{1}+2\,\phi _{2}\,t+...+n\,\phi _{n}\,t^{n-1}+...)x_{0}&=(A+A\phi _{1}t+A\phi _{2}t^{2}+...+A\phi _{n}t^{n}+...)\,x_{0}\end{aligned}}}$

Ahora las matrices desconocidas se pueden determinar comparando coeficientes: ${\displaystyle \phi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&=A\\\phi _{2}&={\frac {1}{2}}A\,\phi _{1}={\frac {1}{2!}}A^{^{2}}\\\phi _{3}&={\frac {1}{3}}A\,\phi _{2}={\frac {1}{3!}}A^{3}\\&...\\\phi _{n}&={\frac {1}{n!}}A^{n}.\end{aligned}}}$

La siguiente notación se utiliza comúnmente para la matriz fundamental : ${\displaystyle \phi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)=e^{At}=E+At+{\frac {1}{2!}}A^{2}t^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}t^{3}+...+{\frac {1}{n!}}A^{n}t^{n}+...\end{aligned}}}$

Solución particular

Suponiendo y , sigue: ${\displaystyle u(t)\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x(t)=A\,x(t)+b\,u(t)\end{aligned}}}$

La solución particular se obtiene de la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{p}(t)=\phi (t)\xi (t)=e^{At}\xi (t),\end{aligned}}}$

donde es un vector de función desconocido con . De las dos ecuaciones anteriores se sigue: ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (0)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x_{p}(t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\xi (t){\frac {d}{dt}}\phi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,\phi (t)\xi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,x_{p}(t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\end{aligned}}}$

Así se puede determinar: ${\displaystyle \xi (t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\xi (t)=\phi ^{-1}(t)bu(t)\\\end{aligned}}}$

Se obtiene por integración utilizando las propiedades de la matriz fundamental:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)\xi (t)&=\phi (t)\int _{0}^{t}\phi ^{-1}(\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}}$

Así, finalmente obtenemos la solución de una ecuación diferencial lineal invariante en el tiempo:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=e^{At}x_{0}+\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}}$

Sistemas de tiempo discreto

Casi todo lo que ocurre en los sistemas de tiempo continuo tiene su contraparte en los sistemas de tiempo discreto.

Sistemas de tiempo discreto a partir de sistemas de tiempo continuo.

En muchos contextos, un sistema de tiempo discreto (DT) es en realidad parte de un sistema de tiempo continuo (CT) más amplio. Por ejemplo, un sistema de grabación digital toma un sonido analógico, lo digitaliza, posiblemente procesa las señales digitales y reproduce un sonido analógico para que la gente lo escuche.

En sistemas prácticos, las señales DT obtenidas suelen ser versiones muestreadas uniformemente de señales CT. Si es una señal CT, entonces el circuito de muestreo utilizado antes de un convertidor analógico a digital la transformará en una señal DT: ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

Tperíodo de muestreofiltro Nyquistpor encima defrecuencia de Nyquistasigna

Respuesta de impulso y convolución.

Representemos la secuencia. ${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$ ${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

Y dejemos que la notación más corta represente ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Un sistema discreto transforma una secuencia de entrada en una secuencia de salida. En general, cada elemento de la salida puede depender de cada elemento de la entrada. Representando el operador de transformación por , podemos escribir: ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}.}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

Tenga en cuenta que, a menos que la transformación misma cambie con n , la secuencia de salida es simplemente constante y el sistema no es interesante. (De ahí el subíndice, n .) En un sistema típico, y [ n ] depende más de los elementos de x cuyos índices están cerca de n .

Para el caso especial de la función delta de Kronecker , la secuencia de salida es la respuesta al impulso : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$

$${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

Para un sistema lineal, debe satisfacer: ${\displaystyle O}$

Y el requisito de invariancia en el tiempo es:

En tal sistema, la respuesta al impulso, caracteriza completamente el sistema. Es decir, para cualquier secuencia de entrada, la secuencia de salida se puede calcular en términos de la respuesta de entrada y de impulso. Para ver cómo se hace eso, considere la identidad: ${\displaystyle \{h\}}$

$${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

que se expresa en términos de una suma de funciones delta ponderadas. ${\displaystyle \{x\}}$

Por lo tanto:

$${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

donde hemos invocado la Ec.4 para el caso y . ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$ ${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

Y debido a la Ec.5 , podemos escribir:

$${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

Por lo tanto:

que es la conocida fórmula de convolución discreta. Por tanto, el operador puede interpretarse como proporcional a un promedio ponderado de la función x [ k ]. La función de ponderación es h [− k ], simplemente desplazada por la cantidad n . A medida que n cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. De manera equivalente, la respuesta del sistema a un impulso en n = 0 es una copia invertida en "tiempo" de la función de ponderación no desplazada. Cuando h [ k ] es cero para todo k negativo , se dice que el sistema es causal . ${\displaystyle O_{n}}$

Exponenciales como funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es la misma función, escalada por alguna constante. En símbolos,

$${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

donde f es la función propia y es el valor propio , una constante. ${\displaystyle \lambda }$

Las funciones exponenciales , donde , son funciones propias de un operador lineal invariante en el tiempo . es el intervalo de muestreo, y . Una simple prueba ilustra este concepto. ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Supongamos que la entrada es . La salida del sistema con respuesta impulsiva es entonces ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$ ${\displaystyle h[n]}$

$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

que es equivalente a lo siguiente por la propiedad conmutativa de convolución

$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$

$${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

z

También lo es una función propia de un sistema LTI porque la respuesta del sistema es la misma que la entrada multiplicada por la constante . ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle H(z)}$

Transformadas Z y de Fourier en tiempo discreto

La propiedad de función propia de los exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para el conocimiento de los sistemas LTI. La transformada Z

$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

es exactamente la forma de obtener los valores propios de la respuesta al impulso. ^{[ se necesita aclaración ]} De particular interés son las sinusoides puras; es decir, exponenciales de la forma , donde . Estos también se pueden escribir como con ^{[ aclaración necesaria ]} . La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) proporciona los valores propios de las sinusoides puras ^{[ aclaración necesaria ]} . Ambos de y se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia . ${\displaystyle e^{j\omega n}}$ ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z^{n}}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$ ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Al igual que la transformada de Laplace unilateral, la transformada Z se utiliza normalmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para t<0. La serie de Fourier de transformada de Fourier de tiempo discreto se puede utilizar para analizar señales periódicas.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de transformación. Eso es,

$${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

Al igual que la función de transferencia de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas en tiempo continuo, la transformada Z facilita el análisis de sistemas y la obtención de información sobre su comportamiento.

Ejemplos

• Un ejemplo sencillo de operador LTI es el operador de retraso . ${\displaystyle D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (es decir, es lineal)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]}$   (es decir, es invariante en el tiempo)

  La transformada Z del operador de retardo es una simple multiplicación por z ⁻¹ . Eso es,

  $${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$$
• Otro operador LTI simple es el operador promedio.
  $${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$$
  Debido a la linealidad de las sumas,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$$
  y entonces es lineal. Porque,
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$$
  también es invariante en el tiempo.

Propiedades importantes del sistema

Las características de entrada-salida del sistema LTI de tiempo discreto se describen completamente por su respuesta al impulso . Dos de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. Los sistemas no causales (en el tiempo) se pueden definir y analizar como se indicó anteriormente, pero no se pueden implementar en tiempo real. Los sistemas inestables también se pueden analizar y construir, pero sólo son útiles como parte de un sistema más grande cuya función de transferencia general sea estable. ${\displaystyle h[n]}$

Causalidad

Un sistema LTI de tiempo discreto es causal si el valor actual de la salida depende únicamente del valor actual y de los valores pasados ​​de la entrada. ^[5] Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es

$${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$

^{[ dudoso ]}región de convergencia ${\displaystyle h[n]}$

Estabilidad

Un sistema es entrada acotada, salida acotada estable (BIBO estable) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si

$${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

implica que

$${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(es decir, si una entrada acotada implica una salida acotada, en el sentido de que los valores absolutos máximos de y son finitos), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que , la respuesta al impulso, satisfaga ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

$${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el círculo unitario (es decir, el lugar geométrico que satisface el complejo z ). ${\displaystyle |z|=1}$

Notas

1. Bessai, Horst J. (2005). Señales y Sistemas MIMO . Saltador. págs. 27-28. ISBN 0-387-23488-8.
2. Hespanha 2009, pag. 78.
3. Crutchfield, pag. 1. ¡Bienvenido!
4. Crutchfield, pag. 1. Ejercicios
5. Phillips 2007, pag. 508.

Ver también

• matriz circulante
• Respuesta frecuente
• Respuesta impulsiva
• Análisis del sistema
• Función verde
• Gráfico de flujo de señal

Referencias

• Phillips, Cl, Parr, JM y Riskin, EA (2007). Señales, sistemas y Transformadas . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Hespanha, JP (2009). Teoría de sistemas lineales . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution", Universidad Johns Hopkins , consultado el 21 de noviembre de 2010
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "Papel de los inversos anticausales en bancos de filtros multitasa - Parte I: fundamentos teóricos del sistema" (PDF) . Traducción IEEE. Proceso de señal . 43 (6): 1090. Código bibliográfico : 1995ITSP...43.1090V. doi : 10.1109/78.382395.

Otras lecturas

• Porat, Booz (1997). Un curso de procesamiento de señales digitales . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
• Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "Papel de los inversos anticausales en bancos de filtros multitasa - Parte I: fundamentos teóricos del sistema" (PDF) . Traducción IEEE. Proceso de señal . 43 (5): 1090. Código bibliográfico : 1995ITSP...43.1090V. doi : 10.1109/78.382395.

enlaces externos

• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI: breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
• ECE 209: Fuentes de cambio de fase: brinda una explicación intuitiva de la fuente de cambio de fase en dos sistemas LTI eléctricos comunes.
• JHU 520.214 Notas del curso Señales y Sistemas. Un curso resumido sobre teoría de sistemas LTI. Adecuado para el autodidacta.
• Ejemplo de sistema LTI: filtro de paso bajo RC. Respuesta de amplitud y fase.