Multivector

Elemento de un álgebra exterior.

En álgebra multilineal , un multivector , a veces llamado número de Clifford o multor , [ ^1] es un elemento del álgebra exterior Λ( V ) de un espacio vectorial V. Esta álgebra es graduada , asociativa y alterna , y consta de combinaciones lineales de k -vectores ^[2] simples (también conocidos como k -vectores ^[3] descomponibles o k -hojas ) de la forma

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

donde están en V . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$

Un k -vector es una combinación lineal que es homogénea de grado k (todos los términos son k -hojas para el mismo k ). Dependiendo de los autores, un "multivector" puede ser un k -vector o cualquier elemento del álgebra exterior (cualquier combinación lineal de k -hojas con valores potencialmente diferentes de k ). ^[4]

En geometría diferencial , un k -vector es un vector en el álgebra exterior del espacio vectorial tangente ; es decir, es un tensor antisimétrico obtenido tomando combinaciones lineales del producto exterior de k vectores tangentes , para algún número entero k ≥ 0 . Una k diferencial es una k -vector en el álgebra exterior del dual del espacio tangente, que también es el dual del álgebra exterior del espacio tangente.

Para k = 0, 1, 2 y 3 , los k -vectores a menudo se denominan respectivamente escalares , vectores , bivectores y trivectores ; son respectivamente duales a formas 0, formas 1, formas 2 y formas 3 . ^{[5] [6]}

Producto exterior

El producto exterior (también llamado producto cuña) utilizado para construir multivectores es multilineal (lineal en cada entrada), asociativo y alterno. Esto significa que para los vectores u , v y w en un espacio vectorial V y para los escalares α , β , el producto exterior tiene las propiedades:

• Lineal en una entrada: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• De asociación: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}$
• Alterno: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

El producto exterior de k vectores o una suma de dichos productos (para un solo k ) se llama multivector de grado k o k -vector. El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial V.

La linealidad en cualquiera de las entradas junto con la propiedad alterna implica linealidad en la otra entrada. La multilinealidad del producto exterior permite expresar un multivector como una combinación lineal de productos exteriores de vectores base de V. El producto exterior de k vectores base de V es la forma estándar de construir cada elemento base para el espacio de k -vectores, que tiene dimensión (^nk
_​) en el álgebra exterior de unespacio vectorial n -dimensional. ^[2]

Área y volumen

El k -vector obtenido del producto exterior de k vectores separados en un n -espacio dimensional tiene componentes que definen los ( k − 1) -volúmenes proyectados del k - paralelotopo abarcado por los vectores. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos componentes define el volumen del k -paralelotopo. ^{[2] [7]}

Los siguientes ejemplos muestran que un bivector en dos dimensiones mide el área de un paralelogramo y la magnitud de un bivector en tres dimensiones también mide el área de un paralelogramo. De manera similar, un trivector en tres dimensiones mide el volumen de un paralelepípedo.

Es fácil comprobar que la magnitud de un tres vectores en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo abarcado por estos vectores.

Multivectores en R 2

Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional V = R ² . Sean los vectores base e ₁ y e ₂ , por lo que u y v están dados por

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

y el multivector u ∧ v , también llamado bivector, se calcula como

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Las barras verticales denotan el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo abarcada por los vectores u y v . La magnitud de u ∧ v es el área de este paralelogramo. Observe que debido a que V tiene dimensión dos , el bivector base e ₁ ∧ e ₂ es el único multivector en Λ V.

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

Multivectores en R 3

Se pueden ver más características de los multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional V = R ³ . En este caso, sean los vectores base e ₁ , e ₂ y e ₃ , por lo que u , v y w están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

y el bivector u ∧ v se calcula como

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto vectorial. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto muestra que la magnitud del bivector u ∧ v es el área del paralelogramo abarcada por los vectores u y v tal como se encuentra en el espacio tridimensional V. Los componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo en cada uno de los tres planos de coordenadas.

Observe que debido a que V tiene dimensión tres, hay un vector base de tres en Λ V. Calcular los tres vectores.

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

Esto muestra que la magnitud de los tres vectores u ∧ v ∧ w es el volumen del paralelepípedo abarcado por los tres vectores u , v y w .

En espacios de dimensiones superiores, los tres vectores componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los tres espacios coordinados, y la magnitud de los tres vectores es el volumen del paralelepípedo tal como se asienta en el espacio de dimensiones superiores.

Coordenadas de Grassmann

En esta sección, consideramos multivectores en un espacio proyectivo P ⁿ , que proporcionan un conjunto conveniente de coordenadas para líneas, planos e hiperplanos que tienen propiedades similares a las coordenadas homogéneas de puntos, llamadas coordenadas de Grassmann . ^[8]

Los puntos en un espacio proyectivo real P ⁿ se definen como líneas que pasan por el origen del espacio vectorial R ^{n +1} . Por ejemplo, el plano proyectivo P ² es el conjunto de rectas que pasan por el origen de R ³ . Por lo tanto, los multivectores definidos en R ^{n +1} pueden verse como multivectores en P ⁿ .

Una forma conveniente de ver un multivector en P ⁿ es examinarlo en un componente afín de P ⁿ , que es la intersección de las líneas que pasan por el origen de R ^{n +1} con un hiperplano seleccionado, como H: x _{n +1} = 1 . Las líneas que pasan por el origen de R ³ intersectan el plano E: z = 1 para definir una versión afín del plano proyectivo al que solo le faltan los puntos para los cuales z = 0 , llamados puntos en el infinito.

Multivectores en P 2

Los puntos en el componente afín E: z = 1 del plano proyectivo tienen coordenadas x = ( x , y , 1) . Una combinación lineal de dos puntos p = ( p ₁ , p ₂ , 1) y q = ( q ₁ , q ₂ , 1) define un plano en R ³ que corta a E en la línea que une py q . El multivector p ∧ q define un paralelogramo en R ³ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Observe que la sustitución de α p + β q por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de R ³ .

El conjunto de puntos x = ( x , y , 1 ) en la recta que pasa por p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el plano E: z = 1 . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

que se simplifica a la ecuación de una recta

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

Esta ecuación se satisface con los puntos x = α p + β q para valores reales de α y β.

Los tres componentes de p ∧ q que definen la línea λ se llaman coordenadas de Grassmann de la línea. Debido a que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las líneas en el plano proyectivo. Esto se llama principio de dualidad .

Multivectores en P 3

Espacio proyectivo tridimensional, P ³ consta de todas las líneas que pasan por el origen de R ⁴ . Sea el hiperplano tridimensional, H: w = 1 , el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos x = ( x , y , z , 1) . El multivector p ∧ q ∧ r define un paralelepípedo en R ⁴ dado por

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

Observe que la sustitución de α p + β q + γ r por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q ∧ r son coordenadas homogéneas para el espacio tridimensional que pasa por el origen de R ⁴ .

Un plano en el componente afín H: w = 1 es el conjunto de puntos x = ( x , y , z , 1) en la intersección de H con el espacio 3 definido por p ∧ q ∧ r . Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , es decir,

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

que se simplifica a la ecuación de un plano

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Esta ecuación se satisface con los puntos x = α p + β q + γ r para valores reales de α , β y γ .

Los cuatro componentes de p ∧ q ∧ r que definen el plano λ se denominan coordenadas de Grassmann del plano. Debido a que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

Una línea como unión de dos puntos: En el espacio proyectivo, la línea λ que pasa por dos puntos p y q puede verse como la intersección del espacio afín H: w = 1 con el plano x = α p + β q en R ⁴ . El multivector p ∧ q proporciona coordenadas homogéneas para la recta

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

Éstas se conocen como coordenadas de Plücker de la línea, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

Una recta como intersección de dos planos: Una recta μ en el espacio proyectivo también se puede definir como el conjunto de puntos x que forman la intersección de dos planos π y ρ definidos por multivectores de grado tres, por lo que los puntos x son las soluciones de la ecuaciones lineales

${\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}$

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea μ , asigne los multivectores π y ρ a sus coordenadas de punto dual utilizando el operador estrella de Hodge , ^[2]

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}),}$

entonces

${\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Entonces, las coordenadas de Plücker de la línea μ están dadas por

${\displaystyle \mu :({\star }\pi )\wedge ({\star }\rho )={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.}$

Debido a que las seis coordenadas homogéneas de una línea se pueden obtener a partir de la unión de dos puntos o de la intersección de dos planos, se dice que la línea es autodual en el espacio proyectivo.

producto clifford

WK Clifford combinó multivectores con el producto interno definido en el espacio vectorial, para obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los cuaterniones de Hamilton . ^{[9] [10]}

El producto de Clifford entre dos vectores u y v es bilineal y asociativo como el producto exterior, y tiene la propiedad adicional de que el multivector uv está acoplado al producto interno u ⋅ v mediante la relación de Clifford,

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

La relación de Clifford conserva la propiedad anticonmutación para vectores perpendiculares. Esto se puede ver en los vectores unitarios mutuamente ortogonales e _i , i = 1, ..., n en R ⁿ : la relación de Clifford produce

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},}$

lo que muestra que los vectores de base se anticonmutan mutuamente,

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}$

A diferencia del producto exterior, el producto de Clifford de un vector consigo mismo no es cero. Para ver esto, calcule el producto.

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}$

cuyos rendimientos

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}$

El conjunto de multivectores construido utilizando el producto de Clifford produce un álgebra asociativa conocida como álgebra de Clifford . Se pueden utilizar productos internos con diferentes propiedades para construir diferentes álgebras de Clifford. ^{[11] [12]}

álgebra geométrica

El término k-blade se utilizó en Clifford Algebra to Geométrico Cálculo (1984) ^[13]

Los multivectores desempeñan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica. Según David Hestenes ,

Los k- vectores [no escalares] a veces se denominan k-blades o, simplemente, blades , para enfatizar el hecho de que, a diferencia de los 0-vectores (escalares), tienen "propiedades direccionales". ^[14]

En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término hoja para un multivector que puede escribirse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores. Aquí, mediante la afirmación "Cualquier multivector se puede expresar como la suma de láminas", los escalares se definen implícitamente como 0 láminas. ^[15]

En álgebra geométrica , un multivector se define como la suma de k -láminas de diferente grado , como la suma de un escalar , un vector y un 2-vector. ^[16] Una suma de sólo k componentes de grado se llama k -vector, ^[17] o multivector homogéneo . ^[18]

El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar .

Si un elemento dado es homogéneo de grado k , entonces es un k -vector, pero no necesariamente un k -blade. Tal elemento es una k -blade cuando puede expresarse como el producto exterior de k vectores. Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos palas cualesquiera, una tomada del plano XY y la otra tomada del plano ZW, formará un vector de 2 que no es una de 2 hojas. En un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de dimensión 2 o 3, todas las sumas de 2 palas pueden escribirse como una sola 2 palas.

Ejemplos

Interpretación geométrica de elementos de grado n en un álgebra exterior real para n = 0 (punto con signo), 1 (segmento de línea dirigido o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se puede visualizar como cualquier forma n -dimensional (por ejemplo, n - paralelotopo , n - elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por su límite dimensional ( n − 1) y de qué lado está el interior. ^{[19] [20]}

• Los vectores 0 son escalares;
• 1-vectores son vectores;
• Los 2 vectores son bivectores ;
• ( n − 1)-vectores son pseudovectores ;
• n -vectores son pseudoescalares .

En presencia de una forma de volumen (como, por ejemplo, dado un producto interno y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares se pueden identificar con vectores y escalares, lo cual es una rutina en el cálculo vectorial , pero sin una forma de volumen esto no se puede hacer sin hacer una forma arbitraria. elección.

En el álgebra del espacio físico (el álgebra geométrica del 3-espacio euclidiano, utilizado como modelo de (3+1)-espacio-tiempo), una suma de un escalar y un vector se llama paravector y representa un punto en el espacio-tiempo ( el vector el espacio, el escalar el tiempo).

Bivectores

Un bivector es un elemento del producto tensor antisimétrico de un espacio tangente consigo mismo.

En álgebra geométrica , además, un bivector es un elemento de grado 2 (un 2-vector) resultante del producto de cuña de dos vectores, por lo que es geométricamente un área orientada , de la misma manera que un vector es un segmento de recta orientado. Si a y b son dos vectores, el bivector a ∧ b tiene

• una norma que es su área, dada por

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• una dirección: el plano donde se encuentra esa área, es decir, el plano determinado por a y b , siempre que sean linealmente independientes;
• una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores de origen.

Los bivectores están conectados a pseudovectores y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ ² V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n ), tiene sentido definir un producto interno en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, escriba cualquier elemento F ∈ Λ ² V en términos de una base ( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n} de Λ ² V como

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

donde se utiliza la convención de suma de Einstein .

Ahora defina una aplicación G : Λ ² V × Λ ² V → R insistiendo en que

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

donde hay un conjunto de números. ${\displaystyle G_{abcd}}$

Aplicaciones

Los bivectores desempeñan muchas funciones importantes en física, por ejemplo, en la clasificación de campos electromagnéticos .

Ver también

• Hoja (geometría)
• Paravector

Referencias

1. John Snygg (2012), Un nuevo enfoque de la geometría diferencial utilizando el álgebra geométrica de Clifford , Birkhäuser, p. 5 §2.12
2. Harley Flanders (1989) [1963] Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , § 2.1 El espacio de los vectores p , páginas 5 a 7, Dover Books
3. Wendell Fleming (1977) [1965] Funciones de varias variables , sección 7.5 Multivectores, página 295, ISBN  978-1-4684-9461-7
4. Élie Cartan, La teoría de los espinores , p. 16, considera sólo vectores homogéneos, particularmente los simples, refiriéndose a ellos como "multivectores" (colectivamente) o p -vectores (específicamente).
5. William M. Pezzaglia Jr. (1992). "Derivación del álgebra de Clifford de las hipersuperficies características de las ecuaciones de Maxwell". En Julian Ławrynowicz (ed.). Deformaciones de estructuras matemáticas II . Saltador. pag. 131 y sigs . ISBN 0-7923-2576-1. Por lo tanto, en 3D asociamos los términos alternativos de pseudovector para bivector y pseudoescalar para trivector.
6. Baylis (1994). Métodos teóricos en las ciencias físicas: una introducción a la resolución de problemas utilizando Maple V. Birkhäuser. pag. 234, ver nota al pie. ISBN 0-8176-3715-X.
7. GE Shilov, Álgebra lineal , (trad. RA Silverman), Publicaciones de Dover, 1977.
8. WVD Hodge y D. Pedoe, Métodos de geometría algebraica, vol. 1, Universidad de Cambridge. Prensa, 1947
9. WK Clifford, "Bosquejo preliminar de bicuaterniones", Proc. Matemáticas de Londres. Soc. vol. 4 (1873) págs. 381–395
10. WK Clifford, Mathematical Papers , (ed. R. Tucker), Londres: Macmillan, 1882.
11. JM McCarthy, Introducción a la cinemática teórica, págs. 62–5, MIT Press 1990.
12. O. Bottema y B. Roth, Cinemática teórica, Publ. de Holanda Septentrional. Co., 1979
13. David Hestenes y Garret Sobczyk (1984) Desde el álgebra de Clifford hasta el cálculo geométrico , p. 4, D. Reidel ISBN 90-277-1673-0 
14. David Hestenes (1999) [1986] Nuevos fundamentos de la mecánica clásica, página 34, D. Reidel ISBN 90-277-2090-8 
15. C. Doran y A. Lasenby (2003) Álgebra geométrica para físicos , página 87, Cambridge University Press ISBN 9780511807497 
16. Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para reconocimiento y clasificación de patrones . Científico mundial. pag. 3 y siguientes . ISBN 981-02-4278-6.
17. R Wareham, J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme en visión por computadora y gráficos". En Hongbo Li; Peter J. Olver ; Gerald Sommer (eds.). Álgebra informática y álgebra geométrica con aplicaciones . Saltador. pag. 330.ISBN​ 3-540-26296-2.
18. Eduardo Bayro-Corrochano (2004). "Álgebra geométrica de Clifford: un marco prometedor para la visión por computadora, la robótica y el aprendizaje". En Alberto Sanfeliu; José Francisco Martínez Trinidad; Jesús Ariel Carrasco Ochoa (eds.). Avances en reconocimiento de patrones, análisis de imágenes y aplicaciones . Saltador. pag. 25.ISBN​ 3-540-23527-2.
19. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
20. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 83.ISBN​ 0-7167-0344-0.