Álgebra del espacio físico

En física , el álgebra del espacio físico ( APS ) es el uso del Clifford o álgebra geométrica Cl _3,0 ( R ) del espacio euclidiano tridimensional como modelo para el espaciotiempo de dimensiones (3+1) , que representa un punto. en el espacio-tiempo a través de un paravector (vector tridimensional más un escalar unidimensional).

El álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) tiene una representación fiel , generada por matrices de Pauli , en la representación de espín C ² ; además, Cl _3,0 ( R ) es isomorfo a la subálgebra par Cl^[0]
_3,1( R ) del álgebra de Clifford Cl _3,1 ( R ).

APS se puede utilizar para construir un formalismo compacto, unificado y geométrico tanto para la mecánica clásica como para la cuántica.

APS no debe confundirse con el álgebra del espacio-tiempo (STA), que se refiere al álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ) del espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones .

Relatividad especial

Paravector de posición del espacio-tiempo

En APS, la posición del espacio-tiempo se representa como el paravector.

$${\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}$$

x ⁰ = te ₁e ₂e ₃base estándarc = 1 , llamadas unidades naturalesde la matriz de Pauli

$${\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}$$

Transformaciones de Lorentz y rotores.

Las transformaciones restringidas de Lorentz que preservan la dirección del tiempo e incluyen rotaciones y aumentos se pueden realizar mediante una exponenciación del biparavector de rotación del espacio-tiempo W

$${\displaystyle L=e^{W/2}.}$$

En la representación matricial, se ve que el rotor de Lorentz forma una instancia del grupo SL(2, C ) ( grupo lineal especial de grado 2 sobre los números complejos ), que es la doble cubierta del grupo de Lorentz . La unimodularidad del rotor de Lorentz se traduce en la siguiente condición en términos del producto del rotor de Lorentz por su conjugación de Clifford

$${\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.}$$

Este rotor de Lorentz siempre se puede descomponer en dos factores, uno hermitiano B = B ^† , y otro unitario R ^† = R ⁻¹ , tal que

$${\displaystyle L=BR.}$$

El elemento unitario R se llama rotor porque codifica rotaciones y el elemento hermitiano B codifica impulsos.

Paravector de cuatro velocidades

La velocidad de cuatro , también llamada velocidad propia , se define como la derivada del paravector de posición del espacio-tiempo con respecto al tiempo propio τ :

$${\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}$$

Esta expresión se puede llevar a una forma más compacta definiendo la velocidad ordinaria como

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}$$

factor gamma

$${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}$$

$${\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}$$

La velocidad propia es un paravector unimodular positivo , lo que implica la siguiente condición en términos de la conjugación de Clifford

$${\displaystyle u{\bar {u}}=1.}$$

La velocidad adecuada se transforma bajo la acción del rotor de Lorentz L como

$${\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.}$$

Paravector de cuatro momentos

El momento de cuatro en APS se puede obtener multiplicando la velocidad adecuada por la masa como

$${\displaystyle p=mu,}$$

de masa de caparazón

$${\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.}$$

Electrodinámica clásica

Campo electromagnético, potencial y corriente.

El campo electromagnético se representa como un biparavector F :

$${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}$$

campo eléctrico Emagnético B.

$${\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}$$

La fuente del campo F es la cuatro corriente electromagnética :

$${\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,}$$

densidad de carga eléctrica ρdensidad de corriente eléctrica jparavector de potencial electromagnético

$${\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}$$

potencial eléctrico ϕmagnético A.

$${\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.}$$

$${\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}}$$

$${\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}}$$

$${\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}$$

Ftransformación de calibre

$${\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}$$

campo escalar ${\displaystyle \chi }$

El campo electromagnético es covariante bajo transformaciones de Lorentz según la ley.

$${\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.}$$

Las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz.

Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en una sola ecuación:

$${\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}$$

conjugación de Clifford

La ecuación de fuerza de Lorentz toma la forma

$${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}$$

Lagrangiano electromagnético

El lagrangiano electromagnético es

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}$$

Mecánica cuántica relativista

La ecuación de Dirac , para una partícula cargada eléctricamente de masa m y carga e , toma la forma:

$${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },}$$

e ₃Ainteracción electromagnéticaun acoplamiento mínimoA.

Espinor clásico

La ecuación diferencial del rotor de Lorentz que es consistente con la fuerza de Lorentz es

$${\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}$$

$${\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}$$

${\displaystyle x(\tau )}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}$$

Ver también

• Paravector
• Multivector
• wikilibros: Física usando álgebra geométrica
• Ecuación de Dirac en el álgebra del espacio físico.
• Álgebra

Referencias

Libros de texto

• Baylis, William (2002). Electrodinámica: un enfoque geométrico moderno (2ª ed.). ISBN 0-8176-4025-8.
• Baylis, William, ed. (1999) [1996]. Álgebras (geométricas) de Clifford: con aplicaciones a la física, las matemáticas y la ingeniería. Saltador. ISBN 978-0-8176-3868-9.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007) [2003]. Álgebra geométrica para físicos. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-64314-6.
• Hestenes, David (1999). Nuevos fundamentos de la mecánica clásica (2ª ed.). Kluwer. ISBN 0-7923-5514-8.

= Artículos =

• Baylis, NOSOTROS (2004). "La relatividad en la introducción a la física". Revista Canadiense de Física . 82 (11): 853–873. arXiv : física/0406158 . Código Bib : 2004CaJPh..82..853B. doi :10.1139/p04-058. S2CID  35027499.
• Baylis, NOSOTROS; Jones, G (7 de enero de 1989). "El enfoque del álgebra de Pauli para la relatividad especial". Revista de Física A: Matemática y General . 22 (1): 1–15. Código Bib : 1989JPhA...22....1B. doi :10.1088/0305-4470/22/1/008.
• Baylis, WE (1 de marzo de 1992). "Eigenspinors clásicos y la ecuación de Dirac". Revisión física A. 45 (7): 4293–4302. Código bibliográfico : 1992PhRvA..45.4293B. doi :10.1103/physreva.45.4293. PMID  9907503.
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