En matemáticas , un bivector o binor o 2-vector es una cantidad en álgebra exterior o álgebra geométrica que amplía la idea de escalares y vectores . Si un escalar se considera una cantidad de grado cero y un vector es una cantidad de grado uno, entonces se puede considerar que un bivector es de grado dos. Los bivectores tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la física. Están relacionados con números complejos en dos dimensiones y tanto con pseudovectores como con cuaterniones en tres dimensiones. Se pueden utilizar para generar rotaciones en cualquier número de dimensiones y son una herramienta útil para clasificar dichas rotaciones. También se utilizan en física , uniendo una serie de cantidades que de otro modo no estarían relacionadas.
Geométricamente, un bivector simple puede interpretarse como un segmento plano orientado , de la misma manera que los vectores pueden considerarse como segmentos de línea dirigidos . [2] El bivector a ∧ b tiene una magnitud igual al área del paralelogramo con bordes a y b , tiene la orientación (o actitud ) del plano abarcado por a y b , y tiene orientación siendo el sentido de la rotación que alinearía a con b . [2] [3] En términos sencillos, cualquier superficie es el mismo bivector, si tiene la misma área, la misma orientación y es paralela al mismo plano (ver figura).
Los bivectores se generan por el producto exterior de los vectores: dados dos vectores a y b , su producto exterior a ∧ b es un bivector, al igual que la suma de cualquier bivector. No todos los bivectores se pueden generar como un único producto exterior. Más precisamente, un bivector que puede expresarse como un producto exterior se llama simple ; Hasta en tres dimensiones todos los bivectores son simples, pero en dimensiones superiores este no es el caso. [4] El producto exterior de dos vectores es alterno , por lo que b ∧ a es la negación del bivector a ∧ b , produciendo la orientación opuesta, y a ∧ a es el bivector cero. Un concepto estrechamente relacionado con el bivector es el de tensor antisimétrico de rango 2 .
El bivector fue definido por primera vez en 1844 por el matemático alemán Hermann Grassmann en álgebra exterior como el resultado del producto exterior de dos vectores. Justo el año anterior, en Irlanda, William Rowan Hamilton había descubierto los cuaterniones . Hamilton acuñó tanto el vector como el bivector , este último en sus Lectures on Quaternions (1853) cuando introdujo los bicuaterniones que tienen bivectores como sus partes vectoriales. No fue hasta que el matemático inglés William Kingdon Clifford añadió en 1888 el producto geométrico al álgebra de Grassmann, incorporando las ideas tanto de Hamilton como de Grassmann, y fundó el álgebra de Clifford , que surgió el bivector de este artículo. Henry Forder utilizó el término bivector para desarrollar el álgebra exterior en 1941. [5]
En la década de 1890, Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside desarrollaron el cálculo vectorial , que incluía productos cruzados y productos escalares separados que se derivaban de la multiplicación de cuaterniones. [6] [7] [8] El éxito del cálculo vectorial y del libro Vector Analysis de Gibbs y Wilson tuvo el efecto de que las ideas de Hamilton y Clifford fueron pasadas por alto durante mucho tiempo, ya que gran parte de las matemáticas y la ciencia del siglo XX La física se formuló en términos vectoriales. Gibbs usó vectores para cumplir el papel de bivectores en tres dimensiones, y usó bivector en el sentido de Hamilton, un uso que a veces ha sido copiado. [9] [10] [11] Hoy en día, el bivector se estudia en gran medida como un tema de álgebra geométrica , un álgebra de Clifford sobre espacios vectoriales reales o complejos con forma cuadrática . Su resurgimiento fue liderado por David Hestenes quien, junto con otros, aplicó el álgebra geométrica a una variedad de nuevas aplicaciones en física . [12]
En este artículo, el bivector se considerará únicamente en álgebras geométricas reales. En la práctica, esto no supone una gran restricción, ya que todas las aplicaciones útiles se extraen de dichas álgebras. Además, a menos que se indique lo contrario, todos los ejemplos tienen una métrica euclidiana y, por lo tanto, una forma cuadrática definida positiva .
El bivector surge de la definición del producto geométrico sobre un espacio vectorial. Para los vectores a , b y c , el producto geométrico de los vectores se define como el producto más general que satisface las siguientes propiedades:
De la asociatividad, a ( ab ) = a 2 b , es un escalar multiplicado por b . Cuando b no es paralelo y, por tanto, no es un múltiplo escalar de a , ab no puede ser un escalar. Pero
es una suma de escalares y por tanto un escalar. De la ley de los cosenos en el triángulo formado por los vectores su valor es | un | | segundo | cos θ , donde θ es el ángulo entre los vectores. Por tanto, es idéntico al producto escalar entre dos vectores y se escribe de la misma manera,
Es simétrico, de valor escalar y puede usarse para determinar el ángulo entre dos vectores: en particular, si a y b son ortogonales, el producto es cero.
Así como el producto escalar se puede formular como la parte simétrica del producto geométrico de otra cantidad, el producto exterior (a veces conocido como producto "en cuña" o "progresivo") se puede formular como su parte antisimétrica :
Es antisimétrico en a y b.
y por adición:
Es decir, el producto geométrico es la suma del producto escalar simétrico y el producto exterior alterno.
Para examinar la naturaleza de a ∧ b , considere la fórmula
que usando la identidad trigonométrica pitagórica da el valor de ( a ∧ b ) 2
Con un cuadrado negativo no puede ser una cantidad escalar o vectorial, por lo que es un nuevo tipo de objeto, un bivector . Tiene magnitud | un | | segundo | | pecado θ | , donde θ es el ángulo entre los vectores y también es cero para los vectores paralelos.
Para distinguirlos de los vectores, los bivectores se escriben aquí con mayúsculas en negrita, por ejemplo:
aunque se utilizan otras convenciones, en particular porque los vectores y bivectores son elementos del álgebra geométrica.
El álgebra generada por el producto geométrico es el álgebra geométrica sobre el espacio vectorial. Para un espacio vectorial euclidiano se escribe o Cl n ( R ), donde n es la dimensión del espacio vectorial R n . Cl n ( R ) es a la vez un espacio vectorial y un álgebra, generado por todos los productos entre vectores en R n , por lo que contiene todos los vectores y bivectores. Más precisamente, como espacio vectorial, contiene los vectores y bivectores como subespacios lineales , aunque no subálgebras (ya que el producto geométrico de dos vectores generalmente no es otro vector). El espacio de todos los bivectores se escribe ⋀ 2 R n . [13]
La subálgebra generada por los bivectores es la subálgebra par del álgebra geométrica, escrita Cl+
norte( R ). Esta álgebra resulta de considerar todos los productos de escalares y bivectores generados por el producto geométrico. Tiene dimensión 2 n −1 y contiene ⋀ 2 R n como un subespacio lineal con dimensión1/2n ( n − 1 ) (un número triangular ). En dos y tres dimensiones, la subálgebra par contiene sólo escalares y bivectores, y cada uno de ellos es de particular interés. En dos dimensiones ,la subálgebra par es isomorfa a los números complejos , C , mientras que en tres es isomorfa a los cuaterniones , H. De manera más general, la subálgebra par se puede usar para generar rotaciones en cualquier dimensión y puede generarse mediante bivectores en el álgebra.
Como se señaló en la sección anterior, la magnitud de un bivector simple, es decir, uno que es el producto exterior de dos vectores a y b , es | un | | segundo | pecado θ , donde θ es el ángulo entre los vectores. Esta escrito | B |, donde B es el bivector.
Para bivectores generales la magnitud se puede calcular tomando la norma del bivector considerado como un vector en el espacio ⋀ 2 R n . Si la magnitud es cero, entonces todos los componentes del bivector son cero, y el bivector es el bivector cero que, como elemento del álgebra geométrica, es igual al cero escalar.
Un bivector unitario es aquel con magnitud unitaria. Se puede derivar de cualquier bivector distinto de cero dividiendo el bivector por su magnitud, es decir
De particular interés son los bivectores unitarios formados a partir de los productos de la base estándar . Si e i y e j son vectores de base distintos, entonces el producto e i ∧ e j es un bivector. Como los vectores son ortogonales, esto es simplemente e i e j , escrito e ij , con magnitud unitaria ya que los vectores son vectores unitarios . El conjunto de todos esos bivectores forma una base para ⋀ 2 R n . Por ejemplo, en cuatro dimensiones, la base para ⋀ 2 R 4 es ( e 1 e 2 , e 1 e 3 , e 1 e 4 , e 2 e 3 , e 2 e 4 , e 3 e 4 ) o ( e 12 , e 13 , mi 14 , mi 23 , mi 24 , mi 34 ). [14]
El producto exterior de dos vectores es un bivector, pero no todos los bivectores son productos exteriores de dos vectores. Por ejemplo, en cuatro dimensiones el bivector
no se puede escribir como el producto exterior de dos vectores. Un bivector que puede escribirse como el producto exterior de dos vectores es simple. En dos y tres dimensiones todos los bivectores son simples, pero no en cuatro o más dimensiones; en cuatro dimensiones cada bivector es la suma de como máximo dos productos exteriores. Un bivector tiene un cuadrado real si y sólo si es simple, y sólo los bivectores simples pueden representarse geométricamente mediante un área plana orientada. [4]
El producto geométrico de dos bivectores, A y B , es
La cantidad A · B es el producto escalar de valor escalar, mientras que A ∧ B es el producto exterior de grado 4 que surge en cuatro o más dimensiones. La cantidad A × B es el producto del conmutador con valor bivectorial , dado por
El espacio de bivectores ⋀ 2 R n es un álgebra de Lie sobre R , con el producto del conmutador como soporte de Lie. El producto geométrico completo de bivectores genera la subálgebra par.
De particular interés es el producto de un bivector consigo mismo. Como el producto del conmutador es antisimétrico, el producto se simplifica a
Si el bivector es simple , el último término es cero y el producto es el valor escalar A · A , que puede usarse como verificación de simplicidad. En particular, el producto exterior de los bivectores sólo existe en cuatro o más dimensiones, por lo que todos los bivectores en dos y tres dimensiones son simples. [4]
Los bivectores son matrices isomorfas a simétricas sesgadas ; el bivector general B 23 e 23 + B 31 e 31 + B 12 e 12 se asigna a la matriz
Esto multiplicado por vectores en ambos lados da el mismo vector como producto de un vector y un bivector menos el producto exterior; un ejemplo es el tensor de velocidad angular .
Las matrices simétricas sesgadas generan matrices ortogonales con determinante 1 a través del mapa exponencial. En particular, el exponente de un bivector asociado con una rotación es una matriz de rotación , es decir, la matriz de rotación M R dada por la matriz simétrica sesgada anterior es
La rotación descrita por M R es la misma que la descrita por el rotor R dada por
y la matriz M R también se puede calcular directamente a partir del rotor R :
Los bivectores están relacionados con los valores propios de una matriz de rotación. Dada una matriz de rotación M, los valores propios se pueden calcular resolviendo la ecuación característica de esa matriz 0 = det( M − λ I ) . Según el teorema fundamental del álgebra, esto tiene tres raíces (sólo una de las cuales es real ya que sólo hay un vector propio, es decir, el eje de rotación). Las otras raíces deben ser un par conjugado complejo. Tienen magnitud unitaria, logaritmos puramente imaginarios, igual a la magnitud del bivector asociado con la rotación, que también es el ángulo de rotación. Los vectores propios asociados con los valores propios complejos están en el plano del bivector, por lo que el producto exterior de dos vectores propios no paralelos da como resultado el bivector (o un múltiplo del mismo).
Cuando se trabaja con coordenadas en álgebra geométrica, es habitual escribir los vectores base como ( e 1 , e 2 ,...), convención que se utilizará aquí.
Un vector en el espacio bidimensional real R 2 se puede escribir a = a 1 e 1 + a 2 e 2 , donde a 1 y a 2 son números reales, e 1 y e 2 son vectores de base ortonormal . El producto geométrico de dos de esos vectores es
Esto se puede dividir en el producto escalar simétrico, de valor escalar y un producto exterior antisimétrico de valor bivectorial:
Todos los bivectores en dos dimensiones tienen esta forma, es decir, múltiplos del bivector e 1 e 2 , escrito e 12 para enfatizar que es un bivector en lugar de un vector. La magnitud de e 12 es 1, con
por eso se llama bivector unitario . El término bivector unitario se puede utilizar en otras dimensiones, pero solo está definido de forma única (hasta un signo) en dos dimensiones y todos los bivectores son múltiplos de e 12 . Como elemento de grado más alto del álgebra e 12 también está el pseudoescalar al que se le da el símbolo i .
Con las propiedades de cuadrado negativo y magnitud unitaria, el bivector unitario se puede identificar con la unidad imaginaria de los números complejos . Los bivectores y escalares juntos forman la subálgebra par del álgebra geométrica, que es isomorfa a los números complejos C. La subálgebra par tiene base (1, e 12 ), todo el álgebra tiene base (1, e 1 , e 2 , e 12 ).
Los números complejos suelen identificarse con los ejes de coordenadas y los vectores bidimensionales, lo que significaría asociarlos con los elementos vectoriales del álgebra geométrica. No hay contradicción en esto, ya que para pasar de un vector general a un número complejo es necesario identificar un eje como el eje real, digamos e 1 . Esto se multiplica por todos los vectores para generar los elementos de la subálgebra par.
Todas las propiedades de los números complejos pueden derivarse de los bivectores, pero dos son de particular interés. Primero, como ocurre con los números complejos, los productos de bivectores y las subálgebras pares son conmutativas . Esto sólo es cierto en dos dimensiones, por lo que las propiedades del bivector en dos dimensiones que dependen de la conmutatividad no suelen generalizarse a dimensiones superiores.
En segundo lugar, se puede escribir un bivector general.
donde θ es un número real. Poner esto en la serie de Taylor para el mapa exponencial y usar la propiedad e 12 2 = −1 da como resultado una versión bivectorial de la fórmula de Euler ,
que cuando se multiplica por cualquier vector lo gira en un ángulo θ con respecto al origen:
El producto de un vector con un bivector en dos dimensiones es anticonmutativo , por lo que todos los siguientes productos generan la misma rotación
De estos, el último producto es el que se generaliza a dimensiones superiores. La cantidad necesaria se llama rotor y recibe el símbolo R , por lo que en dos dimensiones se puede escribir un rotor que gira en un ángulo θ .
y la rotación que genera es [16]
En tres dimensiones el producto geométrico de dos vectores es
Esto se puede dividir en el producto escalar simétrico, de valor escalar y el producto exterior antisimétrico, de valor bivectorial:
En tres dimensiones todos los bivectores son simples y, por tanto, el resultado de un producto exterior. Los bivectores unitarios e 23 , e 31 y e 12 forman una base para el espacio de bivectores ⋀ 2 R 3 , que es en sí mismo un espacio lineal tridimensional. Entonces, si un bivector general es:
se pueden agregar como vectores
mientras que al multiplicarlos producen lo siguiente
que se puede dividir en partes bivectoriales escalares simétricas y antisimétricas de la siguiente manera
El producto exterior de dos bivectores en tres dimensiones es cero.
Un bivector B se puede escribir como el producto de su magnitud y un bivector unitario, por lo que escribir β para | B | y usando la serie de Taylor para el mapa exponencial se puede demostrar que
Ésta es otra versión de la fórmula de Euler, pero con un bivector general en tres dimensiones. A diferencia de los bivectores bidimensionales, no son conmutativos, por lo que las propiedades que dependen de la conmutatividad no se aplican en tres dimensiones. Por ejemplo, en general e A + B ≠ e A e B en tres (o más) dimensiones.
El álgebra geométrica completa en tres dimensiones, Cl 3 ( R ), tiene base (1, e 1 , e 2 , e 3 , e 23 , e 31 , e 12 , e 123 ). El elemento e 123 es un trivector y el pseudoescalar de la geometría. Los bivectores en tres dimensiones a veces se identifican con pseudovectores [17] con los que están relacionados, como se analiza a continuación.
Los bivectores no están cerrados bajo el producto geométrico, pero la subálgebra par sí lo está. En tres dimensiones consta de todos los elementos escalares y bivectoriales del álgebra geométrica, por lo que un elemento general se puede escribir, por ejemplo, a + A , donde a es la parte escalar y A es la parte bivectorial. Está escrito Cl.+
3y tiene base (1, e 23 , e 31 , e 12 ). El producto de dos elementos generales de la subálgebra par es
La subálgebra par, es decir el álgebra que consta de escalares y bivectores, es isomorfa a los cuaterniones , H. Esto se puede ver comparando la base con la base del cuaternión, o del producto anterior que es idéntico al producto del cuaternión, excepto por un cambio de signo que se relaciona con los productos negativos en el producto escalar bivectorial A · B. Otras propiedades de los cuaterniones pueden relacionarse de manera similar o derivarse del álgebra geométrica.
Esto sugiere que la división habitual de un cuaternión en partes escalares y vectoriales se representaría mejor como una división en partes escalares y bivectoriales; si se hace esto, el producto del cuaternión es simplemente el producto geométrico. También relaciona cuaterniones en tres dimensiones con números complejos en dos, ya que cada uno es isomorfo a la subálgebra par de la dimensión, una relación que se generaliza a dimensiones superiores.
El vector de rotación, a partir de la representación eje-ángulo de las rotaciones, es una forma compacta de representar rotaciones en tres dimensiones. En su forma más compacta, consta de un vector, el producto de un vector unitario ω que es el eje de rotación con el ángulo de rotación (con signo) θ , de modo que la magnitud del vector de rotación general θω es igual al (sin signo) Ángulo de rotación.
El cuaternión asociado con la rotación es
En álgebra geométrica la rotación está representada por un bivector. Esto se puede ver en su relación con los cuaterniones. Sea Ω un bivector unitario en el plano de rotación y sea θ el ángulo de rotación . Entonces el bivector de rotación es Ω θ . El cuaternión corresponde estrechamente a la exponencial de la mitad del bivector Ω θ . Es decir, las componentes del cuaternión corresponden a las partes escalar y bivectorial de la siguiente expresión:
El exponencial se puede definir en términos de su serie de potencias y evaluarse fácilmente utilizando el hecho de que Ω al cuadrado es −1.
Entonces las rotaciones se pueden representar mediante bivectores. Así como los cuaterniones son elementos del álgebra geométrica, están relacionados por el mapa exponencial de esa álgebra.
El bivector Ω θ genera una rotación a través del mapa exponencial. Los elementos pares generados rotan un vector general en tres dimensiones de la misma forma que los cuaterniones:
Como en dos dimensiones, la cantidad e - Ω θ /2 se llama rotor y se escribe R. La cantidad e Ω θ /2 es entonces R −1 , y generan rotaciones como
El vector de rotación es un ejemplo de vector axial . Los vectores axiales, o pseudovectores, son vectores con la característica especial de que sus coordenadas sufren un cambio de signo con respecto a los vectores habituales (también llamados "vectores polares") bajo inversión a través del origen, reflexión en un plano u otra transformación lineal que invierte la orientación. . [18] Los ejemplos incluyen cantidades como el par , el momento angular y los campos magnéticos vectoriales . Las cantidades que usarían vectores axiales en álgebra vectorial se representan adecuadamente mediante bivectores en álgebra geométrica. [19] Más precisamente, si se elige una orientación subyacente, los vectores axiales se identifican naturalmente con los vectores habituales; el dual de Hodge luego proporciona el isomorfismo entre vectores axiales y bivectores, por lo que cada vector axial está asociado con un bivector y viceversa; eso es
donde ∗ indica el dual de Hodge. Tenga en cuenta que si la orientación subyacente se invierte mediante inversión a través del origen, tanto la identificación de los vectores axiales con los vectores habituales como el signo dual de Hodge cambian, pero los bivectores no se mueven. Alternativamente, usando la unidad pseudoescalar en Cl 3 ( R ), i = e 1 e 2 e 3 da
Esto es más fácil de usar ya que el producto es solo el producto geométrico. Pero es antisimétrico porque (como en dos dimensiones) la unidad pseudoescalar i eleva al cuadrado −1, por lo que se necesita un negativo en uno de los productos.
Esta relación se extiende a operaciones como el producto cruzado con valor vectorial y el producto exterior con valor bivectorial, ya que cuando se escriben como determinantes se calculan de la misma manera:
también están relacionados por el dual de Hodge:
Los bivectores tienen una serie de ventajas sobre los vectores axiales. Eliminan mejor la ambigüedad de los vectores axiales y polares, es decir, las cantidades representadas por ellos, por lo que queda más claro qué operaciones están permitidas y cuáles son sus resultados. Por ejemplo, el producto interno de un vector polar y un vector axial resultante del producto cruzado en el producto triple debería dar como resultado un pseudoescalar , un resultado que es más obvio si el cálculo se encuadra como el producto exterior de un vector y un bivector. Se generalizan a otras dimensiones; en particular, los bivectores se pueden utilizar para describir cantidades como el par y el momento angular en dos y tres dimensiones. Además, coinciden estrechamente con la intuición geométrica en varios aspectos, como se verá en la siguiente sección. [20]
Como sugiere su nombre y el del álgebra, uno de los atractivos de los bivectores es que tienen una interpretación geométrica natural. Esto se puede describir en cualquier dimensión, pero es mejor hacerlo en tres, donde se pueden trazar paralelos con objetos más familiares, antes de aplicarlo a dimensiones superiores. En dos dimensiones, la interpretación geométrica es trivial, ya que el espacio es bidimensional, por lo que tiene un solo plano y todos los bivectores están asociados con él y difieren solo en un factor de escala.
Todos los bivectores pueden interpretarse como planos o, más precisamente, como segmentos planos dirigidos. En tres dimensiones existen tres propiedades de un bivector que se pueden interpretar geométricamente:
En tres dimensiones, todos los bivectores pueden generarse mediante el producto exterior de dos vectores. Si el bivector B = a ∧ b entonces la magnitud de B es
donde θ es el ángulo entre los vectores. Esta es el área del paralelogramo con bordes a y b , como se muestra en el diagrama. Una interpretación es que el área es barrida por b a medida que avanza a lo largo de a . El producto exterior es antisimétrico, por lo que invertir el orden de a y b para hacer un movimiento a lo largo de b da como resultado un bivector con la dirección opuesta, que es la negativa del primero. El plano del bivector a ∧ b contiene tanto a como b , por lo que ambos son paralelos al plano.
Los bivectores y los vectores axiales están relacionados por Hodge dual . En un espacio vectorial real, el dual de Hodge relaciona un subespacio con su complemento ortogonal , por lo que si un bivector está representado por un plano, entonces el vector axial asociado con él es simplemente la superficie normal del plano . El plano tiene dos normales, una a cada lado, dando las dos orientaciones posibles para el plano y el bivector.
Esto relaciona el producto cruzado con el producto exterior . También se puede utilizar para representar cantidades físicas, como el par y el momento angular . En álgebra vectorial suelen estar representados por vectores, perpendiculares al plano de la fuerza , momento lineal o desplazamiento a partir del cual se calculan. Pero si en su lugar se utiliza un bivector, el plano es el plano del bivector, por lo que es una forma más natural de representar las cantidades y la forma en que actúan. También, a diferencia de la representación vectorial, se generaliza a otras dimensiones.
El producto de dos bivectores tiene una interpretación geométrica. Para bivectores A y B distintos de cero, el producto se puede dividir en partes simétricas y antisimétricas de la siguiente manera:
Como los vectores, estos tienen magnitudes | A · B | = | Un | | B | cos θ y | A × B | = | Un | | B | pecado θ , donde θ es el ángulo entre los planos. En tres dimensiones es lo mismo que el ángulo entre los vectores normales duales a los planos, y se generaliza hasta cierto punto en dimensiones superiores.
Los bivectores se pueden sumar como áreas. Dados dos bivectores B y C distintos de cero en tres dimensiones, siempre es posible encontrar un vector que esté contenido en ambos, por ejemplo, por lo que los bivectores se pueden escribir como productos exteriores que involucran a :
Esto se puede interpretar geométricamente como se ve en el diagrama: las dos áreas se suman para dar una tercera, y las tres áreas forman caras de un prisma con a , b , c y b + c como aristas. Esto corresponde a las dos formas de calcular el área utilizando la distributividad del producto exterior:
Esto sólo funciona en tres dimensiones ya que es la única dimensión donde debe existir un vector paralelo a ambos bivectores. En dimensiones superiores, los bivectores generalmente no están asociados con un solo plano, o si lo son (bivectores simples), es posible que dos bivectores no tengan ningún vector en común y, por lo tanto, suman un bivector no simple.
En cuatro dimensiones, los elementos básicos para el espacio ⋀ 2 R 4 de bivectores son ( e 12 , e 13 , e 14 , e 23 , e 24 , e 34 ), por lo que un bivector general tiene la forma
En cuatro dimensiones, el dual de Hodge de un bivector es un bivector, y el espacio ⋀ 2 R 4 es dual consigo mismo. Los vectores normales no son únicos, sino que cada plano es ortogonal a todos los vectores en su espacio dual de Hodge. Esto se puede utilizar para dividir los bivectores en dos "mitades", de la siguiente manera. Tenemos tres pares de bivectores ortogonales: ( e 12 , e 34 ), ( e 13 , e 24 ) y ( e 14 , e 23 ). Hay cuatro formas distintas de elegir un bivector de cada uno de los dos primeros pares, y una vez elegidos estos dos primeros, su suma produce el tercer bivector del otro par. Por ejemplo, ( e 12 , e 13 , e 14 ) y ( e 23 , e 24 , e 34 ).
En cuatro dimensiones, los bivectores se generan por el producto exterior de los vectores en R 4 , pero con una diferencia importante con respecto a R 3 y R 2 . En cuatro dimensiones no todos los bivectores son simples. Hay bivectores como e 12 + e 34 que no pueden generarse por el producto exterior de dos vectores. Esto también significa que no tienen un cuadrado real, es decir escalar. En este caso
El elemento e 1234 es el pseudoescalar en Cl 4 , distinto del escalar, por lo que el cuadrado no es escalar.
Todos los bivectores en cuatro dimensiones se pueden generar utilizando como máximo dos productos exteriores y cuatro vectores. El bivector anterior se puede escribir como
De manera similar, cada bivector se puede escribir como la suma de dos bivectores simples. Es útil elegir dos bivectores ortogonales para esto, y esto siempre es posible hacerlo. Además, para un bivector genérico la elección de bivectores simples es única, es decir, sólo hay una forma de descomponerse en bivectores ortogonales; la única excepción es cuando los dos bivectores ortogonales tienen magnitudes iguales (como en el ejemplo anterior): en este caso la descomposición no es única. [4] La descomposición es siempre única en el caso de bivectores simples, con la ventaja añadida de que una de las partes ortogonales es cero.
Como en tres dimensiones, los bivectores en cuatro dimensiones generan rotaciones a través del mapa exponencial, y todas las rotaciones se pueden generar de esta manera. Como en tres dimensiones, si B es un bivector entonces el rotor R es e B /2 y las rotaciones se generan de la misma manera:
Sin embargo, las rotaciones generadas son más complejas. Se pueden clasificar de la siguiente manera:
Estos son generados por bivectores de forma sencilla. Las rotaciones simples son generadas por bivectores simples, siendo el plano fijo dual u ortogonal al plano del bivector. Se puede decir que la rotación tiene lugar alrededor de ese plano, en el plano del bivector. Todos los demás bivectores generan rotaciones dobles, siendo los dos ángulos de rotación iguales a las magnitudes de los dos bivectores simples que componen el bivector no simple. Las rotaciones isoclínicas surgen cuando estas magnitudes son iguales, en cuyo caso la descomposición en dos bivectores simples no es única. [22]
Los bivectores en general no conmutan, pero una excepción son los bivectores ortogonales y sus exponentes. Entonces, si el bivector B = B 1 + B 2 , donde B 1 y B 2 son bivectores simples ortogonales, se usa para generar una rotación, se descompone en dos rotaciones simples que se conmutan de la siguiente manera:
Siempre es posible hacer esto ya que todos los bivectores se pueden expresar como sumas de bivectores ortogonales.
El espacio-tiempo es un modelo matemático de nuestro universo utilizado en la relatividad especial. Consta de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal combinadas en un único espacio de cuatro dimensiones. Naturalmente, se describe utilizando álgebra geométrica y bivectores, con la métrica euclidiana reemplazada por una métrica de Minkowski . Esa álgebra es idéntica a la del espacio euclidiano, excepto que se cambia la firma , por lo que
(Tenga en cuenta que el orden y los índices anteriores no son universales; aquí e 4 es la dimensión temporal). El álgebra geométrica es Cl 3,1 ( R ), y el subespacio de bivectores es ⋀ 2 R 3,1 .
Los bivectores simples son de dos tipos. Los bivectores simples e 23 , e 31 y e 12 tienen cuadrados negativos y abarcan los bivectores del subespacio tridimensional correspondiente al espacio euclidiano, R 3 . Estos bivectores generan rotaciones ordinarias en R 3 .
Los bivectores simples e 14 , e 24 y e 34 tienen cuadrados positivos y como planos abarcan una dimensión espacial y una dimensión temporal. Estas también generan rotaciones a través del mapa exponencial, pero en lugar de funciones trigonométricas se necesitan funciones hiperbólicas, las cuales generan un rotor de la siguiente manera:
donde Ω es el bivector ( e 14 , etc.), identificado mediante la métrica con una transformación lineal antisimétrica de R 3,1 . Estos son aumentos de Lorentz , expresados de una manera particularmente compacta, usando el mismo tipo de álgebra que en R 3 y R 4 .
En general todas las rotaciones del espacio-tiempo se generan a partir de bivectores a través del mapa exponencial, es decir, un rotor general generado por el bivector A tiene la forma
El conjunto de todas las rotaciones en el espacio-tiempo forman el grupo de Lorentz , y de él se pueden deducir la mayoría de las consecuencias de la relatividad especial. De manera más general, esto muestra cómo las transformaciones en el espacio y el espacio-tiempo euclidianos pueden describirse utilizando el mismo tipo de álgebra.
(Nota: en esta sección los 3 vectores tradicionales se indican mediante líneas sobre los símbolos y el vector espacio-temporal y los bivectores mediante símbolos en negrita, con los vectores J y A excepcionalmente en mayúsculas)
Las ecuaciones de Maxwell se utilizan en física para describir la relación entre los campos eléctricos y magnéticos . Normalmente dadas como cuatro ecuaciones diferenciales, tienen una forma particularmente compacta cuando los campos se expresan como un bivector espacio-temporal de ⋀ 2 R 3,1 . Si los campos eléctrico y magnético en R 3 son E y B , entonces el bivector electromagnético es
donde e 4 es nuevamente el vector base para la dimensión temporal y c es la velocidad de la luz . El producto B e 123 produce el bivector que es dual de Hodge con B en tres dimensiones, como se analizó anteriormente, mientras que E e 4 como producto de vectores ortogonales también tiene un valor bivectorial. En su conjunto es el tensor electromagnético expresado de forma más compacta como bivector, y se utiliza de la siguiente manera. Primero está relacionado con la J de 4 corrientes , una cantidad vectorial dada por
donde j es la densidad de corriente y ρ es la densidad de carga . Están relacionados por un operador diferencial ∂, que es
El operador ∇ es un operador diferencial en álgebra geométrica, que actúa sobre las dimensiones del espacio y está dado por ∇ M = ∇· M + ∇∧ M. Cuando se aplica a vectores, ∇· M es la divergencia y ∇∧ M es el rizo , pero con un resultado bivector en lugar de vectorial, es decir, dual en tres dimensiones con el rizo. Para la cantidad general M actúan como operadores diferenciales que suben y bajan la pendiente. En particular, si M es un escalar, entonces este operador es solo el gradiente y puede considerarse como un operador del algebraico geométrico .
En conjunto, estos pueden usarse para dar una forma particularmente compacta a las ecuaciones de Maxwell con fuentes:
Esta ecuación, cuando se descompone según el álgebra geométrica, utilizando productos geométricos que tienen efectos tanto de aumento como de reducción de la calificación, es equivalente a las cuatro ecuaciones de Maxwell. También está relacionado con el cuatro potencial electromagnético , un vector A dado por
donde A es el potencial magnético vectorial y V es el potencial eléctrico. Está relacionado con el bivector electromagnético de la siguiente manera.
usando el mismo operador diferencial ∂. [23]
Como se ha sugerido en secciones anteriores, gran parte del álgebra geométrica se generaliza bien en dimensiones superiores. El álgebra geométrica para el espacio real R n es Cl n ( R ), y el subespacio de bivectores es ⋀ 2 R n .
El número de bivectores simples necesarios para formar un bivector general aumenta con la dimensión, por lo que para n impar es ( n − 1) / 2 , para n par es n / 2 . Entonces, para cuatro y cinco dimensiones solo se necesitan dos bivectores simples, pero se requieren tres para seis y siete dimensiones. Por ejemplo, en seis dimensiones con base estándar ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 ) el bivector
es la suma de tres bivectores simples pero nada menos. Como en cuatro dimensiones, siempre es posible encontrar bivectores ortogonales simples para esta suma.
Como en tres y cuatro dimensiones los rotores son generados por el mapa exponencial, entonces
es el rotor generado por el bivector B . Las rotaciones simples, que tienen lugar en un plano de rotación alrededor de una hoja fija de dimensión ( n − 2 ), son generadas por bivectores simples, mientras que otros bivectores generan rotaciones más complejas que pueden describirse en términos de los bivectores simples de los que son sumas. cada uno relacionado con un plano de rotación. Todos los bivectores se pueden expresar como la suma de bivectores simples ortogonales y conmutativos, por lo que las rotaciones siempre se pueden descomponer en un conjunto de rotaciones conmutativas sobre los planos asociados con estos bivectores. El grupo de rotores en n dimensiones es el grupo de giro , Spin( n ).
Una característica notable, relacionada con el número de bivectores simples y, por tanto, de planos de rotación, es que en dimensiones impares cada rotación tiene un eje fijo; es engañoso llamarlo eje de rotación ya que en dimensiones superiores las rotaciones tienen lugar en múltiples planos ortogonales. lo. Esto está relacionado con los bivectores, ya que los bivectores en dimensiones impares se descomponen en la misma cantidad de bivectores que la dimensión par a continuación, por lo que tienen la misma cantidad de planos, pero una dimensión adicional. Como cada plano genera rotaciones en dos dimensiones, en dimensiones impares debe haber una dimensión, es decir un eje, que no esté girando. [24]
Los bivectores también están relacionados con la matriz de rotación en n dimensiones. Como en tres dimensiones, la ecuación característica de la matriz se puede resolver para encontrar los valores propios . En dimensiones impares, esto tiene una raíz real, con el vector propio como eje fijo, y en dimensiones pares no tiene raíces reales, por lo que todas o todas menos una de las raíces son pares conjugados complejos. Cada par está asociado con un componente simple del bivector asociado con la rotación. En particular, el log de cada par es ± la magnitud, mientras que los vectores propios generados a partir de las raíces son paralelos y, por lo tanto, pueden usarse para generar el bivector. En general, los valores propios y los bivectores son únicos, y el conjunto de valores propios da la descomposición completa en bivectores simples; si las raíces se repiten, entonces la descomposición del bivector en bivectores simples no es única.
El álgebra geométrica se puede aplicar a la geometría proyectiva de forma sencilla. El álgebra geométrica utilizada es Cl n ( R ), n ≥ 3 , el álgebra del espacio vectorial real R n . Esto se utiliza para describir objetos en el espacio proyectivo real RP n −1 . Los vectores distintos de cero en Cl n ( R ) o R n están asociados con puntos en el espacio proyectivo, por lo que los vectores que difieren solo en un factor de escala, por lo que su producto exterior es cero, se asignan al mismo punto. Los bivectores simples distintos de cero en ⋀ 2 R n representan líneas en RP n −1 , y los bivectores difieren solo por un factor de escala (positivo o negativo) que representa la misma línea.
Se puede construir una descripción de la geometría proyectiva en el álgebra geométrica utilizando operaciones básicas. Por ejemplo, dados dos puntos distintos en RP n −1 representados por los vectores a y b , la línea que los contiene está dada por a ∧ b (o b ∧ a ). Dos rectas se cruzan en un punto si A ∧ B = 0 para sus bivectores A y B . Este punto está dado por el vector
La operación "∨" es la reunión, que se puede definir como se indicó anteriormente en términos de la unión, J = A ∧ B [ se necesita aclaración ] para A ∧ B distinto de cero . Utilizando estas operaciones, la geometría proyectiva se puede formular en términos de álgebra geométrica. Por ejemplo, dado un tercer bivector C (distinto de cero), el punto p se encuentra en la recta dada por C si y sólo si
Entonces la condición para que las rectas dadas por A , B y C sean colineales es
que en Cl 3 ( R ) y RP 2 se simplifica a
donde los paréntesis angulares denotan la parte escalar del producto geométrico. De la misma manera, todas las operaciones espaciales proyectivas se pueden escribir en términos de álgebra geométrica, donde los bivectores representan líneas generales en el espacio proyectivo, por lo que toda la geometría se puede desarrollar usando álgebra geométrica. [15]
Como se señaló anteriormente, un bivector se puede escribir como una matriz simétrica sesgada, que a través del mapa exponencial genera una matriz de rotación que describe la misma rotación que el rotor, también generada por el mapa exponencial pero aplicada al vector. Pero también se usa con otros bivectores como el tensor de velocidad angular y el tensor electromagnético , respectivamente una matriz o tensor simétrico sesgado de 3 × 3 y 4 × 4.
Los bivectores reales en ⋀ 2 R n son isomórficos a n × n matrices simétricas sesgadas, o alternativamente a tensores antisimétricos de grado 2 en R n . Si bien los bivectores son isomórficos a los vectores (a través del dual) en tres dimensiones, pueden representarse mediante matrices simétricas sesgadas en cualquier dimensión. Esto es útil para relacionar bivectores con problemas descritos por matrices, de modo que puedan reformularse en términos de bivectores, darles una interpretación geométrica y luego, a menudo, resolverse más fácilmente o relacionarse geométricamente con otros problemas de bivectores. [25]
De manera más general, toda álgebra geométrica real es isomorfa a un álgebra matricial . Estos contienen bivectores como subespacio, aunque a menudo de una manera que no es especialmente útil. Estas matrices son de interés principalmente como forma de clasificar las álgebras de Clifford. [26]
El bivector algebraico no tiene una forma específica; geométricamente es una cantidad de área orientada en un plano específico, eso es todo.
elipse direccional.
Los términos vector axial y pseudovector a menudo se tratan como sinónimos, pero es bastante útil poder distinguir un bivector (...el pseudovector) de su dual (...el vector axial).
