cuatro corrientes

Análogo 4D de la densidad de corriente eléctrica.

En relatividad especial y general , las cuatro corrientes (técnicamente la densidad de cuatro corrientes ) ^[1] es el análogo tetradimensional de la densidad de corriente , con unidades de carga por unidad de tiempo por unidad de área. También conocida como corriente vectorial , se utiliza en el contexto geométrico del espacio -tiempo de cuatro dimensiones , en lugar de separar el tiempo del espacio tridimensional . Matemáticamente es un cuatro vectores y es covariante de Lorentz .

Este artículo utiliza la convención de suma para índices. Consulte covarianza y contravarianza de vectores para obtener información general sobre índices elevados y reducidos, y cómo aumentar y disminuir índices sobre cómo cambiar entre ellos.

Definición

Usando la métrica de Minkowski de firma métrica (+ − − −) , los cuatro componentes actuales vienen dados por: ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

dónde:

• c es la velocidad de la luz ;
• ρ es la densidad de carga volumétrica ;
• j es la densidad de corriente convencional ;
• El índice ficticio α etiqueta las dimensiones del espacio-tiempo .

Movimiento de cargas en el espacio-tiempo.

Esto también se puede expresar en términos de las cuatro velocidades mediante la ecuación: ^{[2] [3]}

${\displaystyle J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho _{u}}$es la densidad de carga medida por un observador inercial O que ve la corriente eléctrica moviéndose a una velocidad u (la magnitud de la velocidad 3 );
• ${\displaystyle \rho _{0}}$es “la densidad de carga en reposo”, es decir, la densidad de carga para un observador comovil (un observador que se mueve a la velocidad u - con respecto al observador inercial O - junto con las cargas).

Cualitativamente, el cambio en la densidad de carga (carga por unidad de volumen) se debe al volumen de carga contratado debido a la contracción de Lorentz .

Interpretación física

Las cargas (libres o distribuidas) en reposo parecerán permanecer en la misma posición espacial durante algún intervalo de tiempo (siempre que estén estacionarias). Cuando se mueven, esto corresponde a cambios de posición, por lo tanto las cargas tienen velocidad y el movimiento de la carga constituye una corriente eléctrica. Esto significa que la densidad de carga está relacionada con el tiempo, mientras que la densidad de corriente está relacionada con el espacio.

Las cuatro corrientes unifican la densidad de carga (relacionada con la electricidad) y la densidad de corriente (relacionada con el magnetismo) en una entidad electromagnética.

Ecuación de continuidad

En relatividad especial, el enunciado de conservación de carga es que la divergencia invariante de Lorentz de J es cero: ^[4]

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

¿Dónde está el cuatro gradiente ? Esta es la ecuación de continuidad . ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$

En relatividad general, la ecuación de continuidad se escribe como:

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}$

donde el punto y coma representa una derivada covariante .

ecuaciones de maxwell

La cuatro corriente aparece en dos formulaciones equivalentes de las ecuaciones de Maxwell , en términos del cuatro potencial ^[5] cuando se cumple la condición de calibre de Lorenz :

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

¿Dónde está el operador D'Alembert , o tensor de campo electromagnético ? ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

donde μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre y ∇ _α es la derivada covariante .

Relatividad general

En la relatividad general , la cuádruple corriente se define como la divergencia del desplazamiento electromagnético, definido como:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}$

entonces:

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Teoría cuántica de campos

La densidad de carga de cuatro corrientes es un componente esencial de la densidad lagrangiana utilizada en electrodinámica cuántica. ^[6] En 1956, Gershtein y Zeldovich consideraron la hipótesis de la corriente vectorial conservada (CVC) para interacciones electrodébiles. ^{[7] [8] [9]}

Ver también

• Cuatro vectores
• teorema de noether
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico.
• cálculo de ricci

Referencias

1. Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2ª ed.). Publicaciones científicas de Oxford. págs. 103-107. ISBN 978-0-19-853952-0.
2. Roald K. Wangsness, Campos electromagnéticos, 2ª edición (1986), pág. 518, 519
3. Melvin Schwartz, Principios de electrodinámica, edición de Dover (1987), p. 122, 123
4. JD Jackson, Electrodinámica clásica, tercera edición (1999), pág. 554
5. como [réf. 1, p519]
6. Cottingham, W. Noël; Greenwood, Derek A. (2003). Una introducción al modelo estándar de física de partículas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 67.ISBN​ 9780521588324.
7. Marshak, Robert E. (1993). Fundamentos conceptuales de la física de partículas moderna . Compañía editorial científica mundial. pag. 20.ISBN​ 9789813103368.
8. Gershtein, SS; Zeldovich, YB (1956), Médico soviético. JETP , 2 576.
9. Thomas, Anthony W. (1996). "CVC en física de partículas". arXiv : nucl-th/9609052 .