escalar de lorentz

Expresión que se evalúa como escalar, invariante bajo cualquier transformación de Lorentz en física

En una teoría relativista de la física , un escalar de Lorentz es una expresión, formada a partir de elementos de la teoría, que se evalúa como un escalar , invariante bajo cualquier transformación de Lorentz . Se puede generar un escalar de Lorentz a partir, por ejemplo, del producto escalar de vectores o de la contracción de tensores de la teoría. Si bien los componentes de los vectores y tensores generalmente se modifican bajo las transformaciones de Lorentz, los escalares de Lorentz permanecen sin cambios.

Un escalar de Lorentz no siempre se ve inmediatamente como un escalar invariante en el sentido matemático , pero el valor escalar resultante es invariante bajo cualquier transformación de base aplicada al espacio vectorial, en el que se basa la teoría considerada. Un escalar de Lorentz simple en el espacio-tiempo de Minkowski es la distancia espacio-temporal ("longitud" de su diferencia) de dos eventos fijos en el espacio-tiempo. Mientras que los vectores de "posición" -4- de los eventos cambian entre diferentes marcos inerciales, su distancia espacio-temporal permanece invariante bajo la correspondiente transformación de Lorentz. Otros ejemplos de escalares de Lorentz son la "longitud" de 4 velocidades (ver más abajo), o la curvatura de Ricci en un punto en el espacio-tiempo de la relatividad general , que es una contracción del tensor de curvatura de Riemann allí.

Escalares simples en relatividad especial

Longitud de un vector de posición

Líneas mundiales para dos partículas a diferentes velocidades.

En relatividad especial, la ubicación de una partícula en el espacio-tiempo de 4 dimensiones está dada por

$${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$

velocidad de la luz ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$

La "longitud" del vector es un escalar de Lorentz y viene dada por

$${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$$

métrica de Minkowski ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$

A menudo se utiliza la firma alternativa de la métrica de Minkowski en la que los signos de los unos se invierten.

$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

En la métrica de Minkowski, el intervalo espacial se define como ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

Usaremos la métrica espacial de Minkowski en el resto de este artículo.

Longitud de un vector de velocidad

Los vectores de velocidad en el espacio-tiempo para una partícula a dos velocidades diferentes. En relatividad una aceleración equivale a una rotación en el espacio-tiempo

La velocidad en el espacio-tiempo se define como

$${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$$

$${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

La magnitud de la velocidad 4 es un escalar de Lorentz,

$${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

Por tanto, es un escalar de Lorentz. ${\displaystyle c}$

Producto interno de la aceleración y la velocidad.

La aceleración 4 está dada por

$${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

La 4-aceleración es siempre perpendicular a la 4-velocidad

$${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

Por lo tanto, podemos considerar la aceleración en el espacio-tiempo simplemente como una rotación de la velocidad 4. El producto interno de la aceleración y la velocidad es un escalar de Lorentz y es cero. Esta rotación es simplemente una expresión de conservación de energía:

$${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Energía, masa en reposo, 3 impulsos y 3 velocidades a partir de 4 impulsos

El 4-momento de una partícula es

$${\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}$$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$$

Energía de una partícula

Considere una segunda partícula con 4 velocidades y 3 velocidades . En el sistema de reposo de la segunda partícula, el producto interno de con es proporcional a la energía de la primera partícula. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$

Dado que la relación es verdadera en el sistema de reposo de la segunda partícula, también lo es en cualquier sistema de referencia. , la energía de la primera partícula en el marco de la segunda partícula, es un escalar de Lorentz. Por lo tanto, ${\displaystyle E_{1}}$

$${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$

${\displaystyle E_{1}}$

Masa en reposo de la partícula.

En el sistema de reposo de la partícula, el producto interno del momento es

$${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

Por tanto, la masa en reposo ( m ) es un escalar de Lorentz. La relación sigue siendo verdadera independientemente del marco en el que se calcula el producto interior. En muchos casos, la masa en reposo se escribe para evitar confusión con la masa relativista, que es . ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \gamma m_{0}}$

3-momento de una partícula

Tenga en cuenta que

$${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

El cuadrado de la magnitud del momento 3 de la partícula medido en el marco de la segunda partícula es un escalar de Lorentz.

Medición de las 3 velocidades de la partícula.

La velocidad de 3, en el marco de la segunda partícula, se puede construir a partir de dos escalares de Lorentz.

$${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$

Escalares más complicados

Los escalares también se pueden construir a partir de tensores y vectores, a partir de la contracción de tensores (como ), o combinaciones de contracciones de tensores y vectores (como ). ${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}$

Referencias

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, LD y Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7.

enlaces externos

• Medios relacionados con el escalar de Lorentz en Wikimedia Commons