Estado del medidor de Lorenz

Fijación del calibre del potencial electromagnético.

En electromagnetismo , la condición de calibre de Lorenz o calibre de Lorenz (en honor a Ludvig Lorenz ) es una fijación de calibre parcial del potencial del vector electromagnético al requerir . El nombre se confunde frecuentemente con Hendrik Lorentz , quien ha dado su nombre a muchos conceptos en este campo. ^[1] La condición es invariante de Lorentz . La condición de calibre de Lorenz no determina completamente el calibre: todavía se puede hacer una transformación de calibre donde es el cuatro gradiente y es cualquier función escalar armónica : es decir, una función escalar que obedece a la ecuación de un campo escalar sin masa . ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$ ${\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,}$

La condición de calibre de Lorenz se utiliza para eliminar el componente redundante de espín 0 en las ecuaciones de Maxwell cuando se utilizan para describir un campo cuántico de espín 1 sin masa. También se utiliza para campos masivos de spin-1 donde el concepto de transformaciones de calibre no se aplica en absoluto.

Descripción

En electromagnetismo , la condición de Lorenz se utiliza generalmente en cálculos de campos electromagnéticos dependientes del tiempo mediante potenciales retardados . ^[2] La condición es

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$$

potencial de cuatrodiferenciación parcialconvención de suma de Einsteininvariante de Lorentz ${\displaystyle A^{\mu }}$

En notación vectorial ordinaria y unidades SI , la condición es

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$$

potencial del vector magnéticopotencial eléctrico^{[3] [4]}fijación del calibre ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

En unidades gaussianas la condición es ^{[5] [6]}

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Se puede encontrar una justificación rápida del calibre de Lorenz utilizando las ecuaciones de Maxwell y la relación entre el potencial del vector magnético y el campo magnético:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$$

Como el curl es cero, eso significa que hay una función escalar tal que ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Esto da una ecuación bien conocida para el campo eléctrico:

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Este resultado se puede introducir en la ecuación de Ampère-Maxwell ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

Esto deja

$${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$$

Para tener invariancia de Lorentz, las derivadas temporales y espaciales deben tratarse por igual (es decir, del mismo orden). Por lo tanto, es conveniente elegir la condición del calibre de Lorenz, que hace que el lado izquierdo sea cero y da el resultado

$${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} .}$$

Un procedimiento similar centrado en el potencial escalar eléctrico y haciendo la misma elección de calibre producirá

$${\displaystyle \Box \varphi =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\varphi =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}$$

Éstas son formas más simples y simétricas de las ecuaciones no homogéneas de Maxwell .

Aquí

$${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$$

d'alembertiano^[7] ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Las soluciones explícitas para y (únicas, si todas las cantidades desaparecen lo suficientemente rápido en el infinito) se conocen como potenciales retardados . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Historia

Cuando se publicó originalmente en 1867, el trabajo de Lorenz no fue bien recibido por James Clerk Maxwell . Maxwell había eliminado la fuerza electrostática de Coulomb de su derivación de la ecuación de la onda electromagnética ya que estaba trabajando en lo que hoy en día se denominaría el calibre de Coulomb . Por lo tanto, el medidor de Lorenz contradecía la derivación original de Maxwell de la ecuación de onda EM al introducir un efecto de retardo en la fuerza de Coulomb y llevarla dentro de la ecuación de onda EM junto con el campo eléctrico variable en el tiempo , que se introdujo en el artículo de Lorenz "Sobre la identidad de las vibraciones". de luz con corrientes eléctricas". El trabajo de Lorenz fue el primer uso de la simetría para simplificar las ecuaciones de Maxwell después de que el propio Maxwell publicara su artículo de 1865. En 1888, los potenciales retardados se generalizaron después de los experimentos de Heinrich Rudolf Hertz sobre ondas electromagnéticas . En 1895, la teoría de los potenciales retardados recibió un nuevo impulso tras la interpretación de JJ Thomson de los datos relativos a los electrones (después de lo cual la investigación de los fenómenos eléctricos pasó de las distribuciones de cargas y corrientes eléctricas dependientes del tiempo a cargas puntuales en movimiento ). ^[2]

Ver también

• Fijación del calibre

Referencias

1. Jackson, JD ; Okun, LB (2001), "Raíces históricas de la invariancia de calibre", Reseñas de física moderna , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph/0012061 , Bibcode : 2001RvMP...73..663J, doi : 10.1103/RevModPhys.73.663, S2CID  8285663
2. McDonald, Kirk T. (1997), "La relación entre expresiones para campos electromagnéticos dependientes del tiempo dadas por Jefimenko y Panofsky y Phillips" (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode :1997AmJPh..65.1074M, CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , doi :10.1119/1.18723, S2CID  13703110, archivado desde el original (PDF) el 19 de mayo de 2022 
3. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 240.ISBN​ 978-0-471-30932-1.
4. Keller, Ole (2 de febrero de 2012). Teoría cuántica de la electrodinámica de campo cercano. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 19. Código Bib : 2011qtnf.book.....K. ISBN 9783642174100.
5. Gbur, Gregory J. (2011). Métodos Matemáticos para Física e Ingeniería Óptica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 59. Bibcode : 2011mmop.book.......G. ISBN 978-0-521-51610-5.
6. Heitler, Walter (1954). La teoría cuántica de la radiación. Corporación de mensajería. pag. 3.ISBN​ 9780486645582.
7. Por ejemplo, consulte Cheremisin, MV; Okun, LB (2003). "Representación de Riemann-Silberstein del conjunto completo de ecuaciones de Maxwell". arXiv : hep-th/0310036 .

Enlaces externos y lecturas adicionales

General

• Weisstein, EW "Lorenz Gauge". Investigación Wolfram .

Otras lecturas

• Lorenz, L. (1867). "Sobre la identidad de las vibraciones de la luz con las corrientes eléctricas". Revista Filosófica . Serie 4. 34 (230): 287–301.
• van Bladel, J. (1991). "¿Lorenz o Lorentz?". Revista IEEE Antenas y Propagación . 33 (2): 69. doi :10.1109/MAP.1991.5672647. S2CID  21922455.
  • Véase también Bladel, J. (1991). "¿Lorenz o Lorentz? [Anexo]". Revista IEEE Antenas y Propagación . 33 (4): 56. Código bibliográfico : 1991IAPM...33...56B. doi :10.1109/MAP.1991.5672657.
• Becker, R. (1982). Campos electromagnéticos e interacciones . Publicaciones de Dover . Capítulo 3.
• O'Rahilly, A. (1938). Electromagnética . Longmans, Green y compañía . Capítulo 6.

Historia

• Nevels, R.; Shin, Chang-Seok (2001). "Lorenz, Lorentz y el medidor". Revista IEEE Antenas y Propagación . 43 (3): 70–71. Código Bib : 2001IAPM...43...70N. doi : 10.1109/74.934904.
• Whittaker, et al. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . vol. 1–2. Publicaciones de Dover . pag. 268.