Tensor de velocidad angular

El tensor de velocidad angular es una matriz antisimétrica definida por:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Los elementos escalares anteriores corresponden a los componentes del vector de velocidad angular . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Esta es una matriz de rotación infinitesimal . La función lineal Ω actúa como un producto vectorial : ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

donde es un vector de posición . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

Cuando se multiplica por una diferencia de tiempo, da como resultado el tensor de desplazamiento angular .

Cálculo del tensor de velocidad angular de un marco giratorio

Un vector que experimenta un movimiento circular uniforme alrededor de un eje fijo satisface: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\Omega \mathbf {r} }$

Sea la matriz de orientación de un marco, cuyas columnas , , y son los vectores de coordenadas ortonormales móviles del marco. Podemos obtener el tensor de velocidad angular Ω ( t ) de A ( t ) de la siguiente manera: ${\displaystyle A(t)=[\mathbf {e} _{1}(t)\ \mathbf {e} _{2}(t)\ \mathbf {e} _{3}(t)]}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

La velocidad angular debe ser la misma para cada uno de los vectores columna , por lo que tenemos: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}&={\begin{bmatrix}{\dfrac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}&{\dfrac {d\mathbf {e} _{3}}{dt}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\omega \times \mathbf {e} _{1}&\omega \times \mathbf {e} _{2}&\omega \times \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\Omega \mathbf {e} _{1}&\Omega \mathbf {e} _{2}&\Omega \mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}\\&=\Omega A,\end{aligned}}}$$

lo cual se cumple incluso si A ( t ) no gira uniformemente. Por lo tanto, el tensor de velocidad angular es:

${\displaystyle \Omega ={\frac {dA}{dt}}A^{-1}={\frac {dA}{dt}}A^{\mathsf {T}},}$

ya que la inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$

Propiedades

En general, la velocidad angular en un espacio n -dimensional es la derivada temporal del tensor de desplazamiento angular, que es un tensor antisimétrico de segundo rango .

Este tensor Ω tendrá n ( n −1)/2 componentes independientes, que es la dimensión del álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones de un espacio de producto interno n -dimensional. ^[1]

Dualidad respecto al vector velocidad

En tres dimensiones, la velocidad angular se puede representar mediante un pseudovector porque los tensores de segundo rango son duales a los pseudovectores en tres dimensiones. Dado que el tensor de velocidad angular Ω = Ω ( t ) es una matriz antisimétrica :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}},}$

Su dual de Hodge es un vector, que es precisamente el vector de velocidad angular anterior . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Exponencial de Ω

Si conocemos un sistema inicial A (0) y nos dan un tensor de velocidad angular constante Ω , podemos obtener A ( t ) para cualquier t dado . Recordemos la ecuación diferencial matricial:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\Omega \cdot A.}$

Esta ecuación se puede integrar para obtener:

${\displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}$

lo que muestra una conexión con el grupo de rotaciones de Lie.

Ω es antisimétrico

Demostramos que el tensor de velocidad angular es antisimétrico , es decir, satisface . ${\displaystyle \Omega ={\frac {dA(t)}{dt}}\cdot A^{\text{T}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{\text{T}}=-\Omega }$

Una matriz de rotación A es ortogonal, inversa a su transpuesta, por lo que tenemos . Para una matriz de marco, al tomar la derivada temporal de la ecuación se obtiene: ${\displaystyle I=A\cdot A^{\text{T}}}$ ${\displaystyle A=A(t)}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+A{\frac {dA^{\text{T}}}{dt}}}$

Aplicando la fórmula , ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+\left({\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\Omega +\Omega ^{\text{T}}}$

Por lo tanto, Ω es el negativo de su transpuesta, lo que implica que es antisimétrica.

Descripción sin coordenadas

En cualquier instante , el tensor de velocidad angular representa un mapa lineal entre el vector de posición y los vectores de velocidad de un punto en un cuerpo rígido que gira alrededor del origen: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\Omega \mathbf {r} .}$

La relación entre este mapa lineal y el pseudovector de velocidad angular es la siguiente. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Debido a que Ω es la derivada de una transformación ortogonal , la forma bilineal

${\displaystyle B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=(\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} }$

es antisimétrica . Por lo tanto, podemos aplicar el hecho del álgebra exterior de que existe una única forma lineal en esa ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$

${\displaystyle L(\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )=B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )}$

¿Dónde está el producto exterior de y ? ${\displaystyle \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} \in \Lambda ^{2}V}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$

Tomando la L ^♯ aguda de L obtenemos

${\displaystyle (\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =L^{\sharp }\cdot (\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )}$

Presentando , como el dual de Hodge de L ^♯ , y aplicando la definición del dual de Hodge dos veces suponiendo que el 3-vector unitario preferido es ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\star }(L^{\sharp })}$ ${\displaystyle \star 1}$

${\displaystyle (\Omega \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ={\star }({\star }(L^{\sharp })\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ,}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} :={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )}$

por definición.

Como es un vector arbitrario, de la no degeneración del producto escalar se sigue ${\displaystyle \mathbf {s} }$

${\displaystyle \Omega \mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

La velocidad angular como campo vectorial

Dado que el tensor de velocidad angular de espín de un cuerpo rígido (en su marco de referencia en reposo) es una transformación lineal que asigna posiciones a velocidades (dentro del cuerpo rígido), se lo puede considerar como un campo vectorial constante . En particular, la velocidad angular de espín es un campo vectorial de Killing que pertenece a un elemento del álgebra de Lie SO(3) del grupo de rotación tridimensional SO(3) .

También se puede demostrar que el campo vectorial de velocidad angular de espín es exactamente la mitad del rizo del campo vectorial de velocidad lineal v ( r ) del cuerpo rígido. En símbolos,

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} }$

Consideraciones sobre cuerpos rígidos

Posición del punto P ubicado en el cuerpo rígido (mostrado en azul). R _i es la posición con respecto al marco del laboratorio, centrado en O y r _i es la posición con respecto al marco del cuerpo rígido, centrado en O ′ . El origen del marco del cuerpo rígido está en la posición vectorial R del marco del laboratorio.

Las mismas ecuaciones para la velocidad angular se pueden obtener razonando sobre un cuerpo rígido en rotación . Aquí no se supone que el cuerpo rígido gira alrededor del origen. En cambio, se puede suponer que gira alrededor de un punto arbitrario que se mueve con una velocidad lineal V ( t ) en cada instante.

Para obtener las ecuaciones es conveniente imaginar un cuerpo rígido unido a los marcos y considerar un sistema de coordenadas que se encuentre fijo respecto del cuerpo rígido. Luego estudiaremos las transformaciones de coordenadas entre esta coordenada y el marco fijo del laboratorio .

Como se muestra en la figura de la derecha, el origen del sistema de laboratorio está en el punto O , el origen del sistema de cuerpo rígido está en O ′ y el vector de O a O ′ es R. Una partícula ( i ) en el cuerpo rígido está ubicada en el punto P y la posición del vector de esta partícula es R _i en el marco de referencia del laboratorio, y en la posición r _i en el marco de referencia del cuerpo. Se ve que la posición de la partícula se puede escribir:

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}}$

La característica definitoria de un cuerpo rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera en un cuerpo rígido no cambia en el tiempo. Esto significa que la longitud del vector no cambia. Por el teorema de rotación de Euler , podemos reemplazar el vector con donde es una matriz de rotación de 3×3 y es la posición de la partícula en algún punto fijo en el tiempo, digamos t = 0. Este reemplazo es útil, porque ahora es solo la matriz de rotación la que cambia en el tiempo y no el vector de referencia , a medida que el cuerpo rígido gira alrededor del punto O ′ . Además, dado que las tres columnas de la matriz de rotación representan los tres versores de un marco de referencia que gira junto con el cuerpo rígido, cualquier rotación sobre cualquier eje ahora se vuelve visible, mientras que el vector no giraría si el eje de rotación fuera paralelo a él y, por lo tanto, solo describiría una rotación sobre un eje perpendicular a él (es decir, no vería el componente del pseudovector de velocidad angular paralelo a él, y solo permitiría el cálculo del componente perpendicular a él). La posición de la partícula ahora se escribe como: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{io}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

Tomando la derivada del tiempo se obtiene la velocidad de la partícula:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}}$

donde V _i es la velocidad de la partícula (en el marco del laboratorio) y V es la velocidad de O ′ (el origen del marco del cuerpo rígido). Como es una matriz de rotación, su inversa es su transpuesta. Por lo tanto, sustituimos : ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}$

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}$

o

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\Omega \mathbf {r} _{i}}$

donde es el tensor de velocidad angular anterior. ${\displaystyle \Omega ={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}$

Se puede demostrar que esta es una matriz antisimétrica , por lo que podemos tomar su dual para obtener un pseudovector tridimensional que es precisamente el vector de velocidad angular anterior : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

Sustituyendo ω por Ω en la expresión de velocidad anterior y reemplazando la multiplicación de matrices por un producto vectorial equivalente:

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}}$

Se puede observar que la velocidad de un punto en un cuerpo rígido se puede dividir en dos términos: la velocidad de un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido más el término del producto vectorial que involucra la velocidad angular orbital de la partícula con respecto al punto de referencia. Esta velocidad angular es lo que los físicos llaman la "velocidad angular de espín" del cuerpo rígido, en oposición a la velocidad angular orbital del punto de referencia O ′ con respecto al origen O .

Consistencia

Hemos supuesto que el cuerpo rígido gira alrededor de un punto arbitrario. Debemos demostrar que la velocidad angular de espín definida anteriormente es independiente de la elección del origen, lo que significa que la velocidad angular de espín es una propiedad intrínseca del cuerpo rígido que gira. (Obsérvese el marcado contraste de esto con la velocidad angular orbital de una partícula puntual, que ciertamente depende de la elección del origen.)

Demostración de la independencia de la velocidad angular de espín con respecto a la elección del origen

Vea el gráfico a la derecha: El origen del marco de laboratorio es O , mientras que O ₁ y O ₂ son dos puntos fijos en el cuerpo rígido, cuya velocidad es y respectivamente. Suponga que la velocidad angular con respecto a O ₁ y O ₂ es y respectivamente. Dado que los puntos P y O ₂ tienen solo una velocidad, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} _{1}=\mathbf {v} _{2}+{\boldsymbol {\omega }}_{2}\times \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{1}+{\boldsymbol {\omega }}_{1}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$

Los dos resultados anteriores dan como resultado que

${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}_{2}-{\boldsymbol {\omega }}_{1})\times \mathbf {r} _{2}=0}$

Como el punto P (y por tanto ) es arbitrario, se deduce que ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{1}={\boldsymbol {\omega }}_{2}}$

Si el punto de referencia es el eje instantáneo de rotación, la expresión de la velocidad de un punto del cuerpo rígido tendrá únicamente el término de velocidad angular. Esto se debe a que la velocidad del eje instantáneo de rotación es cero. Un ejemplo de eje instantáneo de rotación es la bisagra de una puerta. Otro ejemplo es el punto de contacto de un cuerpo rígido esférico (o, más generalmente, convexo) puramente rodante.

Referencias

1. Rotaciones y momento angular en la página de Mecánica clásica del sitio web de John Baez, especialmente las preguntas 1 y 2.