Vector euclidiano

Objeto geométrico que tiene longitud y dirección.

Un vector que apunta de A a B

En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano o simplemente un vector (a veces llamado vector geométrico ^[1] o vector espacial ^[2] ) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección . Los vectores se pueden sumar a otros vectores según el álgebra vectorial . Un vector euclidiano se representa frecuentemente mediante un segmento de línea dirigido , o gráficamente como una flecha que conecta un punto inicial A con un punto terminal B , ^[3] y se denota por ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "portador". ^[4] Fue utilizado por primera vez por astrónomos del siglo XVIII que investigaban la revolución planetaria alrededor del Sol. [ ^5] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos, y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación , tienen analogías cercanas con los vectores, ^[6] operaciones que obedecen las familiares leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad . Estas operaciones y leyes asociadas califican a los vectores euclidianos como un ejemplo del concepto más generalizado de vectores definidos simplemente como elementos de un espacio vectorial .

Los vectores juegan un papel importante en física : la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento y las fuerzas que actúan sobre él se pueden describir con vectores. ^[7] Muchas otras cantidades físicas pueden considerarse útiles como vectores. Aunque la mayoría de ellos no representan distancias (excepto, por ejemplo, posición o desplazamiento ), su magnitud y dirección aún pueden representarse mediante la longitud y dirección de una flecha. La representación matemática de un vector físico depende del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Otros objetos similares a vectores que describen cantidades físicas y se transforman de manera similar bajo cambios del sistema de coordenadas incluyen pseudovectores y tensores . ^[8]

Historia

El concepto de vector, tal como lo conocemos hoy, es el resultado de un desarrollo gradual a lo largo de un período de más de 200 años. Alrededor de una docena de personas contribuyeron significativamente a su desarrollo. ^[9] En 1835, Giusto Bellavitis abstrajo la idea básica cuando estableció el concepto de equipolencia . Trabajando en un plano euclidiano, hizo equipolento cualquier par de segmentos de recta paralelos de la misma longitud y orientación. Esencialmente, realizó una relación de equivalencia en los pares de puntos (bipuntos) en el plano y así erigió el primer espacio de vectores en el plano. ^{[9] : 52–4} El término vector fue introducido por William Rowan Hamilton como parte de un cuaternión , que es una suma q = s + v de un número real s (también llamado escalar ) y un vector tridimensional . Al igual que Bellavitis, Hamilton veía los vectores como representativos de clases de segmentos dirigidos equipolentes. Como los números complejos utilizan una unidad imaginaria para complementar la recta real , Hamilton consideró que el vector v era la parte imaginaria de un cuaternión: ^[10]

La parte algebraicamente imaginaria, al estar construida geométricamente por una línea recta, o vector de radio, que tiene, en general, para cada cuaternión determinado, una longitud determinada y una dirección determinada en el espacio, puede denominarse parte vectorial, o simplemente vector de la cuaternio.

Varios otros matemáticos desarrollaron sistemas similares a vectores a mediados del siglo XIX, incluidos Augustin Cauchy , Hermann Grassmann , August Möbius , el conde de Saint-Venant y Matthew O'Brien . La obra de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoría del reflujo y el flujo) fue el primer sistema de análisis espacial similar al sistema actual y tenía ideas correspondientes al producto cruzado, el producto escalar y la diferenciación vectorial. El trabajo de Grassmann fue en gran medida ignorado hasta la década de 1870. ^[9] Peter Guthrie Tait llevó el estándar del cuaternión después de Hamilton. Su Tratado elemental de cuaterniones de 1867 incluyó un tratamiento extenso del nabla o del operador ∇. En 1878, William Kingdon Clifford publicó Elementos de dinámica . Clifford simplificó el estudio del cuaternión aislando el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores del producto completo del cuaternión. Este enfoque puso los cálculos vectoriales a disposición de los ingenieros (y de otras personas que trabajan en tres dimensiones y son escépticas respecto de la cuarta).

Josiah Willard Gibbs , que estuvo expuesto a los cuaterniones a través del Tratado sobre electricidad y magnetismo de James Clerk Maxwell , separó su parte vectorial para un tratamiento independiente. La primera mitad de Elementos de análisis vectorial de Gibbs , publicada en 1881, presenta lo que es esencialmente el sistema moderno de análisis vectorial. ^{[9] [6]} En 1901, Edwin Bidwell Wilson publicó Análisis vectorial , adaptado de las conferencias de Gibbs, que desterró cualquier mención de los cuaterniones en el desarrollo del cálculo vectorial.

Descripción general

En física e ingeniería , un vector suele considerarse como una entidad geométrica caracterizada por una magnitud y una dirección. Se define formalmente como un segmento de recta dirigido , o flecha, en un espacio euclidiano . ^[11] En matemáticas puras , un vector se define de manera más general como cualquier elemento de un espacio vectorial . En este contexto, los vectores son entidades abstractas que pueden caracterizarse o no por una magnitud y una dirección. Esta definición generalizada implica que las entidades geométricas antes mencionadas son un tipo especial de vectores, ya que son elementos de un tipo especial de espacio vectorial llamado espacio euclidiano . Este artículo en particular trata sobre vectores estrictamente definidos como flechas en el espacio euclidiano. Cuando es necesario distinguir estos vectores especiales de los vectores tal como se definen en matemáticas puras, a veces se los denomina vectores geométricos , espaciales o euclidianos .

Al ser una flecha, un vector euclidiano posee un punto inicial y un punto terminal definidos . Un vector con puntos inicial y terminal fijos se llama vector ligado . ^[12] Cuando sólo importan la magnitud y la dirección del vector, entonces el punto inicial particular no tiene importancia y el vector se llama vector libre . Así dos flechas y en el espacio representan el mismo vector libre si tienen la misma magnitud y dirección: es decir, son equipolentes si el cuadrilátero ABB′A′ es un paralelogramo . Si el espacio euclidiano está equipado con una opción de origen , entonces un vector libre es equivalente al vector ligado de la misma magnitud y dirección cuyo punto inicial es el origen. El término vector también tiene generalizaciones a dimensiones superiores y a enfoques más formales con aplicaciones mucho más amplias. ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{AB}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\,\longrightarrow }{A'B'}}}$

Más información

En la geometría euclidiana clásica (es decir, la geometría sintética ), los vectores se introdujeron (durante el siglo XIX) como clases de equivalencia bajo equipolencia , de pares ordenados de puntos; dos pares ( A , B ) y ( C , D ) son equipolentes si los puntos A , B , D , C , en este orden, forman un paralelogramo . Esta clase de equivalencia se llama vector , más precisamente, vector euclidiano. ^[13] La clase de equivalencia de ( A , B ) a menudo se denota ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

Un vector euclidiano es, por tanto, una clase de equivalencia de segmentos dirigidos con la misma magnitud (por ejemplo, la longitud del segmento de línea ( A , B ) ) y la misma dirección (por ejemplo, la dirección de A a B ). ^[14] En física, los vectores euclidianos se utilizan para representar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, pero que no están ubicadas en un lugar específico, a diferencia de los escalares , que no tienen dirección. ^[7] Por ejemplo, la velocidad , las fuerzas y la aceleración están representadas por vectores.

En la geometría moderna, los espacios euclidianos suelen definirse a partir del álgebra lineal . Más precisamente, un espacio euclidiano E se define como un conjunto al que está asociado un espacio producto interno de dimensión finita sobre los reales y una acción grupal del grupo aditivo del cual es libre y transitivo (Ver Espacio afín para detalles de esta construcción) . Los elementos de se llaman traducciones . Se ha demostrado que las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes y que las clases de equivalencia bajo equipolencia pueden identificarse con traducciones. ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

A veces, los vectores euclidianos se consideran sin referencia a un espacio euclidiano. En este caso, un vector euclidiano es un elemento de un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre los reales o, normalmente, un elemento equipado con el producto escalar . Esto tiene sentido, ya que la suma en dicho espacio vectorial actúa libre y transitivamente sobre el propio espacio vectorial. Es decir, es un espacio euclidiano, consigo mismo como espacio vectorial asociado y el producto escalar como producto interno. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

El espacio euclidiano a menudo se presenta como el espacio euclidiano de dimensión n . Esto está motivado por el hecho de que todo espacio euclidiano de dimensión n es isomorfo al espacio euclidiano. Más precisamente, dado dicho espacio euclidiano, se puede elegir cualquier punto O como origen . Mediante el proceso de Gram-Schmidt , también se puede encontrar una base ortonormal del espacio vectorial asociado (una base tal que el producto interno de dos vectores de base es 0 si son diferentes y 1 si son iguales). Esto define las coordenadas cartesianas de cualquier punto P del espacio, como las coordenadas sobre esta base del vector. Estas opciones definen un isomorfismo del espacio euclidiano dado al asignar cualquier punto a la n -tupla de sus coordenadas cartesianas, y cada vector a su vector de coordenadas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Ejemplos en una dimensión

Dado que el concepto físico de fuerza tiene una dirección y una magnitud, puede verse como un vector. Como ejemplo, considere una fuerza F hacia la derecha de 15 newtons . Si el eje positivo también está dirigido hacia la derecha, entonces F está representado por el vector 15 N, y si el eje positivo apunta hacia la izquierda, entonces el vector para F es −15 N. En cualquier caso, la magnitud del vector es 15 N. Asimismo, la representación vectorial de un desplazamiento Δ s de 4 metros sería 4 mo −4 m, dependiendo de su dirección, y su magnitud sería 4 m independientemente.

En física e ingeniería.

Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden utilizar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud, dirección y que cumpla con las reglas de la suma de vectores. Un ejemplo es la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma de vectores. ^[7] Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como desplazamiento lineal, desplazamiento , aceleración lineal, aceleración angular , momento lineal y momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial . Ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, pero que no siguen las reglas de la suma de vectores, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. En consecuencia, estos no son vectores.

En el espacio cartesiano

En el sistema de coordenadas cartesiano , un vector ligado se puede representar identificando las coordenadas de su punto inicial y terminal. Por ejemplo, los puntos A = (1, 0, 0) y B = (0, 1, 0) en el espacio determinan el vector ligado que apunta desde el punto x = 1 en el eje x hasta el punto y = 1 en el eje y . ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

En coordenadas cartesianas, un vector libre puede pensarse en términos de un vector ligado correspondiente, en este sentido, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen O = (0, 0, 0) . Luego está determinado por las coordenadas del punto terminal de ese vector vinculado. Por tanto, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector de longitud unitaria que apunta a lo largo de la dirección del eje x positivo .

Esta representación coordinada de vectores libres permite expresar sus características algebraicas de una manera numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre)

$${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

Vectores euclidianos y afines

En el ámbito geométrico y físico, a veces es posible asociar, de forma natural, una longitud o magnitud y una dirección a los vectores. Además, la noción de dirección está estrictamente asociada a la noción de ángulo entre dos vectores. Si se define el producto escalar de dos vectores (un producto escalar de dos vectores), entonces también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores cualesquiera distintos de cero) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, es posible definir además el producto vectorial , que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (utilizados como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, en dimensiones superiores), es posible definir el producto exterior , que (entre otras cosas) proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelotopo de n dimensiones definido por n vectores.

En un espacio pseudoeuclidiano , la longitud al cuadrado de un vector puede ser positiva, negativa o cero. Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es importante para nuestra comprensión de la relatividad especial ).

Sin embargo, no siempre es posible o deseable definir la longitud de un vector. Este tipo más general de vector espacial es el tema de los espacios vectoriales (para vectores libres) y espacios afines (para vectores ligados, cada uno representado por un par ordenado de "puntos"). Un ejemplo físico proviene de la termodinámica , donde muchas cantidades de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud o ángulo. ^[15]

Generalizaciones

En física, así como en matemáticas, un vector a menudo se identifica con una tupla de componentes, o lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores base . Cuando la base se transforma, por ejemplo mediante rotación o estiramiento, entonces los componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que los componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se llama covariante o contravariante , dependiendo de cómo se relaciona la transformación de las componentes del vector con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento) o distancia multiplicada por alguna otra unidad (como la velocidad o la aceleración); Los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre distancia, como el gradiente . Si cambia las unidades (un caso especial de cambio de base ) de metros a milímetros, un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1 m se convierte en 1000 mm, un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1  K /m se convierte en 0,001 K/mm, un cambio covariante en el valor (para obtener más información, consulte covarianza y contravarianza de vectores ). Los tensores son otro tipo de cantidades que se comportan de esta forma; un vector es un tipo de tensor .

En matemáticas puras , un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algún campo y a menudo se representa como un vector de coordenadas . Los vectores descritos en este artículo son un caso muy especial de esta definición general, porque son contravariantes con respecto al espacio ambiental. La contravarianza captura la intuición física detrás de la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".

Representaciones

Flecha vectorial que apunta de A a B

Los vectores generalmente se indican en negrita minúscula , como en , y , o en negrita cursiva minúscula, como en . ( Las letras mayúsculas se utilizan normalmente para representar matrices ). Otras convenciones incluyen o a , especialmente en escritura a mano. Alternativamente, algunos usan una tilde (~) o un subrayado ondulado dibujado debajo del símbolo, por ejemplo , que es una convención para indicar el tipo de letra en negrita. Si el vector representa una distancia o desplazamiento dirigido desde un punto A a un punto B (ver figura), también se puede denotar como o AB . En la literatura alemana era especialmente común representar vectores con letras pequeñas fraktur como . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Los vectores generalmente se muestran en gráficos u otros diagramas como flechas ( segmentos de línea dirigidos ), como se ilustra en la figura. Aquí, al punto A se le llama origen , cola , base o punto inicial , y al punto B se le llama cabeza , punta , punto final , punto terminal o punto final . La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector , mientras que la dirección en la que apunta la flecha indica la dirección del vector.

En un diagrama bidimensional, a veces se desea un vector perpendicular al plano del diagrama. Estos vectores se muestran comúnmente como pequeños círculos. Un círculo con un punto en el centro (Unicode U+2299 ⊙) indica un vector que apunta desde el frente del diagrama, hacia el espectador. Un círculo con una cruz inscrita en él (Unicode U+2297 ⊗) indica un vector que apunta hacia y detrás del diagrama. Se puede considerar que esto es como ver la punta de una punta de flecha y ver los vuelos de una flecha desde atrás.

Un vector en el plano cartesiano, que muestra la posición de un punto A con coordenadas (2, 3).

Para realizar cálculos con vectores, la representación gráfica puede resultar demasiado engorrosa. Los vectores en un espacio euclidiano de n dimensiones se pueden representar como vectores de coordenadas en un sistema de coordenadas cartesiano . El punto final de un vector se puede identificar con una lista ordenada de n números reales ( n - tupla ). Estos números son las coordenadas del punto final del vector, con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano dado , y normalmente se denominan componentes escalares (o proyecciones escalares ) del vector sobre los ejes del sistema de coordenadas.

Como ejemplo en dos dimensiones (ver figura), el vector desde el origen O = (0, 0) hasta el punto A = (2, 3) se escribe simplemente como

$${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}$$

La noción de que la cola del vector coincide con el origen está implícita y es fácil de entender. Por lo tanto, la notación más explícita normalmente no se considera necesaria (y de hecho rara vez se utiliza). ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$

En el espacio euclidiano tridimensional (o R ³ ), los vectores se identifican con ternas de componentes escalares:

$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}$$

$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}$$

Esto se puede generalizar al espacio euclidiano de n dimensiones (o R ⁿ ).

$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).}$$

Estos números a menudo se organizan en un vector de columna o un vector de fila , particularmente cuando se trata de matrices , de la siguiente manera:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}$$

Otra forma de representar un vector en n dimensiones es introducir los vectores base estándar . Por ejemplo, en tres dimensiones, hay tres:

$${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$$

xyzsistema de coordenadas cartesianoaR ³

$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$$

o

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}$$

donde a ₁ , a ₂ , a ₃ se denominan componentes vectoriales (o proyecciones vectoriales ) de a en los vectores base o, de manera equivalente, en los correspondientes ejes cartesianos x , y y z (ver figura), mientras que a ₁ , a ₂ , a ₃ son los respectivos componentes escalares (o proyecciones escalares).

En los libros de texto de introducción a la física, los vectores de base estándar a menudo se denotan (o , en los que el símbolo del sombrero normalmente denota vectores unitarios ). En este caso, los componentes escalar y vectorial se denotan respectivamente a _x , a _y , a _z y a _x , a _y , a _z (obsérvese la diferencia en negrita). De este modo, ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {}} }$

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}$$

La notación e _i es compatible con la notación de índice y la convención de suma comúnmente utilizadas en matemáticas, física e ingeniería de nivel superior.

Descomposición o resolución

Como se explicó anteriormente, un vector a menudo se describe mediante un conjunto de componentes vectoriales que se suman para formar el vector dado. Normalmente, estos componentes son proyecciones del vector sobre un conjunto de ejes de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Se dice que el vector está descompuesto o resuelto con respecto a ese conjunto.

Ilustración de las componentes tangenciales y normales de un vector a una superficie.

La descomposición o resolución ^[16] de un vector en componentes no es única, porque depende de la elección de los ejes sobre los que se proyecta el vector.

Además, no es obligatorio el uso de vectores unitarios cartesianos como base para representar un vector. Los vectores también se pueden expresar en términos de una base arbitraria, incluidos los vectores unitarios de un sistema de coordenadas cilíndrico ( ) o un sistema de coordenadas esférico ( ). Las dos últimas opciones son más convenientes para resolver problemas que poseen simetría cilíndrica o esférica, respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

La elección de una base no afecta las propiedades de un vector ni su comportamiento ante transformaciones.

Un vector también se puede dividir con respecto a vectores de base "no fijos" que cambian su orientación en función del tiempo o el espacio. Por ejemplo, un vector en el espacio tridimensional se puede descomponer con respecto a dos ejes, respectivamente normal y tangente a una superficie (ver figura). Además, las componentes radial y tangencial de un vector se relacionan con el radio de rotación de un objeto. El primero es paralelo al radio y el segundo es ortogonal a él. ^[17]

En estos casos, cada uno de los componentes puede a su vez descomponerse con respecto a un sistema de coordenadas fijo o conjunto de bases (por ejemplo, un sistema de coordenadas global o sistema de referencia inercial ).

Propiedades básicas

La siguiente sección utiliza el sistema de coordenadas cartesiano con vectores base.

$${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$$

a

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

Igualdad

Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. De manera equivalente serán iguales si sus coordenadas son iguales. Entonces dos vectores

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

$${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

Vectores opuestos, paralelos y antiparalelos

Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud pero dirección opuesta . Entonces dos vectores

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

y

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

son opuestos si

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección pero no necesariamente la misma magnitud, o antiparalelos si tienen dirección opuesta pero no necesariamente la misma magnitud. ^[18]

Adición y sustracción

La suma de a y b de dos vectores se puede definir como

$${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

vector resultanteab

La suma se puede representar gráficamente colocando la cola de la flecha b en la punta de la flecha a , y luego dibujando una flecha desde la cola de a hasta la cabeza de b . La nueva flecha dibujada representa el vector a + b , como se ilustra a continuación: ^[7]

La suma de dos vectores a y b

Este método de suma a veces se denomina regla del paralelogramo porque a y b forman los lados de un paralelogramo y a + b es una de las diagonales. Si a y b son vectores ligados que tienen el mismo punto base, este punto también será el punto base de a + b . Se puede comprobar geométricamente que a + b = b + a y ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La diferencia entre a y b es

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

La resta de dos vectores se puede ilustrar geométricamente de la siguiente manera: para restar b de a , coloque las colas de a y b en el mismo punto, y luego dibuje una flecha desde la cabeza de b hasta la cabeza de a . Esta nueva flecha representa el vector (-b) + a , siendo (-b) el opuesto de b , vea el dibujo. Y (-b) + a = a − b .

La resta de dos vectores a y b.

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar de un vector por un factor de 3 estira el vector.

Un vector también se puede multiplicar o cambiar de escala por un número real r . En el contexto del álgebra vectorial convencional , estos números reales suelen denominarse escalares (de escala ) para distinguirlos de los vectores. La operación de multiplicar un vector por un escalar se llama multiplicación escalar . El vector resultante es

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

Intuitivamente, multiplicar por un escalar r extiende un vector por un factor de r . Geométricamente, esto se puede visualizar (al menos en el caso en que r es un número entero) como colocar r copias del vector en una línea donde el punto final de un vector es el punto inicial del siguiente vector.

Si r es negativo, entonces el vector cambia de dirección: gira un ángulo de 180°. A continuación se dan dos ejemplos ( r = −1 y r = 2):

Las multiplicaciones escalares − a y 2 a de un vector a

La multiplicación escalar es distributiva sobre la suma de vectores en el siguiente sentido: r ( a + b ) = r a + r b para todos los vectores a y b y todos los escalares r . También se puede demostrar que a − b = a + (−1) b .

Longitud

La longitud , magnitud o norma del vector a se denota por ‖ a ‖ o, menos comúnmente, | a |, que no debe confundirse con el valor absoluto (una "norma" escalar).

La longitud del vector a se puede calcular con la norma euclidiana ,

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

lo cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras ya que los vectores base e ₁ , e ₂ , e ₃ son vectores unitarios ortogonales.

Esto resulta ser igual a la raíz cuadrada del producto escalar , que se analiza a continuación, del vector consigo mismo:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

Vector unitario

La normalización de un vector a en un vector unitario â

Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; normalmente los vectores unitarios se utilizan simplemente para indicar la dirección. Un vector de longitud arbitraria se puede dividir por su longitud para crear un vector unitario. ^[14] Esto se conoce como normalizar un vector. Un vector unitario a menudo se indica con un sombrero como en â .

Para normalizar un vector a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , escale el vector por el recíproco de su longitud ‖ a ‖. Eso es:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

vector cero

El vector cero es el vector de longitud cero. Escrito en coordenadas, el vector es (0, 0, 0) y comúnmente se denota como 0 o simplemente 0. A diferencia de cualquier otro vector, tiene una dirección arbitraria o indeterminada y no puede normalizarse (es decir, hay no hay un vector unitario que sea múltiplo del vector cero). La suma del vector cero con cualquier vector a es a (es decir, 0 + a = a ). ${\displaystyle {\vec {0}}}$

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores a y b (a veces llamado producto interno o, dado que su resultado es un escalar, producto escalar ) se denota por a  ∙  b, y se define como:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b (consulte la función trigonométrica para obtener una explicación del coseno). Geométricamente, esto significa que a y b se dibujan con un punto inicial común, y luego la longitud de a se multiplica por la longitud del componente de b que apunta en la misma dirección que a .

El producto escalar también se puede definir como la suma de los productos de los componentes de cada vector como

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

Producto cruzado

El producto vectorial (también llamado producto vectorial o producto exterior ) sólo tiene significado en tres o siete dimensiones. El producto vectorial se diferencia del producto escalar principalmente en que el resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto vectorial, denotado a  ×  b , es un vector perpendicular a a y b y se define como

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b , y n es un vector unitario perpendicular a a y b que completa un sistema diestro . La restricción de diestro es necesaria porque existen dos vectores unitarios que son perpendiculares tanto a a como a b , es decir, n y (− n ).

Una ilustración del producto cruzado.

El producto cruzado a  ×  b se define de modo que a , b y a  ×  b también se convierten en un sistema diestro (aunque a y b no son necesariamente ortogonales ). Esta es la regla de la mano derecha .

La longitud de a  ×  b se puede interpretar como el área del paralelogramo que tiene a y b como lados.

El producto cruzado se puede escribir como

$${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

Para elecciones arbitrarias de orientación espacial (es decir, permitir sistemas de coordenadas tanto para zurdos como para diestros), el producto cruzado de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (ver más abajo).

Producto triple escalar

El producto triple escalar (también llamado producto de caja o producto triple mixto ) no es realmente un operador nuevo, sino una forma de aplicar los otros dos operadores de multiplicación a tres vectores. El triple producto escalar a veces se denota por ( a b c ) y se define como:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

Tiene tres usos principales. Primero, el valor absoluto del producto de la caja es el volumen del paralelepípedo que tiene aristas definidas por los tres vectores. En segundo lugar, el triple producto escalar es cero si y sólo si los tres vectores son linealmente dependientes , lo que se puede probar fácilmente considerando que para que los tres vectores no formen un volumen, todos deben estar en el mismo plano. En tercer lugar, el producto de la caja es positivo si y sólo si los tres vectores a , b y c son diestros.

En componentes ( con respecto a una base ortonormal de mano derecha ), si los tres vectores se consideran filas (o columnas, pero en el mismo orden), el triple producto escalar es simplemente el determinante de la matriz de 3 por 3. teniendo los tres vectores como filas

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

El triple producto escalar es lineal en las tres entradas y antisimétrico en el siguiente sentido:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

Conversión entre múltiples bases cartesianas

Todos los ejemplos hasta ahora han tratado con vectores expresados ​​en términos de la misma base, es decir, la base e { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. Sin embargo, un vector se puede expresar en términos de cualquier número de bases diferentes que no necesariamente están alineadas entre sí y siguen siendo el mismo vector. En la base e , un vector a se expresa, por definición, como

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

Los componentes escalares en la base e son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

En otra base ortonormal n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } que no está necesariamente alineada con e , el vector a se expresa como

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

y los componentes escalares en la base n son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Los valores de p , q , r y u , v , w se relacionan con los vectores unitarios de tal manera que la suma vectorial resultante es exactamente el mismo vector físico a en ambos casos. Es común encontrar vectores conocidos en términos de diferentes bases (por ejemplo, una base fijada a la Tierra y una segunda base fijada a un vehículo en movimiento). En tal caso, es necesario desarrollar un método para convertir entre bases para que se puedan realizar las operaciones vectoriales básicas como la suma y la resta. Una forma de expresar u , v , w en términos de p , q , r es usar matrices de columnas junto con una matriz de coseno director que contenga la información que relaciona las dos bases. Tal expresión se puede formar sustituyendo las ecuaciones anteriores para formar

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Distribuir la multiplicación de puntos da

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Reemplazar cada producto escalar con un escalar único da

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

y estas ecuaciones se pueden expresar como la ecuación matricial única

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

Esta ecuación matricial relaciona los componentes escalares de a en la base n ( u , v y w ) con los de la base e ( p , q y r ). Cada elemento de la matriz c _jk es el coseno director que relaciona n _j con e _k . ^[19] El término coseno director se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores unitarios, que también es igual a su producto escalar. ^[19] Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

Al referirse colectivamente a e ₁ , e ₂ , e ₃ como base e y a n ₁ , n ₂ , n ₃ como base n , la matriz que contiene todos los c _jk se conoce como la " matriz de transformación de e a n " , o la " matriz de rotación de e an " (porque puede imaginarse como la "rotación" de un vector de una base a otra), o la " matriz de coseno director de e an " ^[19] (porque contiene cosenos directores). Las propiedades de una matriz de rotación son tales que su inversa es igual a su transpuesta . Esto significa que la "matriz de rotación de e a n " es la transposición de la "matriz de rotación de n a e ".

Las propiedades de una matriz coseno direccional, C, son: ^[20]

• el determinante es la unidad, |C| = 1;
• la inversa es igual a la transpuesta;
• las filas y columnas son vectores unitarios ortogonales, por lo tanto sus productos escalares son cero.

La ventaja de este método es que normalmente se puede obtener una matriz de coseno director de forma independiente utilizando ángulos de Euler o un cuaternión para relacionar las dos bases vectoriales, por lo que las conversiones de bases se pueden realizar directamente, sin tener que calcular todos los productos escalares descritos anteriormente. .

Aplicando varias multiplicaciones de matrices sucesivamente, cualquier vector puede expresarse en cualquier base siempre que se conozca el conjunto de cosenos directores que relacionan las bases sucesivas. ^[19]

Otras dimensiones

Con la excepción de los productos cruzado y triple, las fórmulas anteriores se generalizan a dos dimensiones y dimensiones superiores. Por ejemplo, la suma se generaliza a dos dimensiones como

$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

El producto cruzado no se generaliza fácilmente a otras dimensiones, aunque sí lo hace el producto exterior estrechamente relacionado , cuyo resultado es un bivector . En dos dimensiones esto es simplemente un pseudoescalar.

$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

Un producto vectorial de siete dimensiones es similar al producto vectorial en que su resultado es un vector ortogonal a los dos argumentos; Sin embargo, no existe una forma natural de seleccionar uno de los posibles productos de este tipo.

Física

Los vectores tienen muchos usos en física y otras ciencias.

Longitud y unidades

En espacios vectoriales abstractos, la longitud de la flecha depende de una escala adimensional . Si representa, por ejemplo, una fuerza, la "escala" es de dimensión física longitud/fuerza. Por lo tanto, normalmente hay coherencia en la escala entre cantidades de la misma dimensión, pero por lo demás las proporciones de escala pueden variar; por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" se representan con una flecha de 2 cm, las escalas son 1 m:50 N y 1:250 respectivamente. La longitud igual de vectores de diferente dimensión no tiene ningún significado particular a menos que exista alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que representa el diagrama. Además, la longitud de un vector unitario (de dimensión longitud, no longitud/fuerza, etc.) no tiene significado invariante en el sistema de coordenadas.

Funciones con valores vectoriales

A menudo, en áreas de física y matemáticas, un vector evoluciona en el tiempo, lo que significa que depende de un parámetro de tiempo t . Por ejemplo, si r representa el vector de posición de una partícula, entonces r ( t ) da una representación paramétrica de la trayectoria de la partícula. Las funciones con valores vectoriales se pueden diferenciar e integrar diferenciando o integrando los componentes del vector, y muchas de las reglas familiares del cálculo continúan siendo válidas para la derivada y la integral de funciones con valores vectoriales.

Posición, velocidad y aceleración.

La posición de un punto x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en el espacio tridimensional se puede representar como un vector de posición cuyo punto base es el origen.

$${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$

longitud

Dados dos puntos x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) su desplazamiento es un vector

$${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

yxLa longitud dexay

La velocidad v de un punto o partícula es un vector, su longitud da la velocidad . Para velocidad constante la posición en el tiempo t será

$${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$

x ₀t

La aceleración a de un punto es un vector que es la derivada del tiempo de la velocidad. Sus dimensiones son longitud/tiempo ² .

Fuerza, energía, trabajo.

La fuerza es un vector con dimensiones de masa×longitud/tiempo ² y la segunda ley de Newton es la multiplicación escalar

$${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

El trabajo es el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento.

$${\displaystyle E={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

Vectores, pseudovectores y transformaciones.

Una caracterización alternativa de los vectores euclidianos, especialmente en física, los describe como listas de cantidades que se comportan de cierta manera bajo una transformación de coordenadas . Se requiere que un vector contravariante tenga componentes que "se transformen en oposición a la base" bajo cambios de base . El vector en sí no cambia cuando se transforma la base; en cambio, los componentes del vector realizan un cambio que cancela el cambio en la base. En otras palabras, si los ejes de referencia (y la base derivada de ellos) se rotaran en una dirección, la representación componente del vector rotaría en la dirección opuesta para generar el mismo vector final. De manera similar, si los ejes de referencia se estiraran en una dirección, los componentes del vector se reducirían de manera exactamente compensada. Matemáticamente, si la base sufre una transformación descrita por una matriz invertible M , de modo que un vector de coordenadas x se transforma en x ′ = M x , entonces un vector contravariante v debe transformarse de manera similar mediante v ′ = M v ${\displaystyle ^{-1}}$ . Este importante requisito es lo que distingue a un vector contravariante de cualquier otro triple de cantidades físicamente significativas. Por ejemplo, si v consta de las componentes x , y y z de la velocidad , entonces v es un vector contravariante: si las coordenadas del espacio se estiran, giran o tuercen, entonces las componentes de la velocidad se transforman de la misma manera. . Por otro lado, por ejemplo, un triple formado por el largo, ancho y alto de una caja rectangular podría formar los tres componentes de un vector abstracto , pero este vector no sería contravariante, ya que al girar la caja no se cambia la largo, ancho y alto de la caja. Ejemplos de vectores contravariantes incluyen desplazamiento , velocidad , campo eléctrico , momento , fuerza y ​​aceleración .

En el lenguaje de la geometría diferencial , el requisito de que los componentes de un vector se transformen según la misma matriz de la transición de coordenadas equivale a definir un vector contravariante como un tensor de rango contravariante uno. Alternativamente, un vector contravariante se define como un vector tangente , y las reglas para transformar un vector contravariante se derivan de la regla de la cadena .

Algunos vectores se transforman como vectores contravariantes, excepto que cuando se reflejan a través de un espejo, se voltean y obtienen un signo menos. Se dice que una transformación que cambia de diestro a zurdo y viceversa como lo hace un espejo cambia la orientación del espacio. Un vector que gana un signo menos cuando cambia la orientación del espacio se llama pseudovector o vector axial . Los vectores ordinarios a veces se denominan vectores verdaderos o vectores polares para distinguirlos de los pseudovectores. Los pseudovectores aparecen con mayor frecuencia como producto cruzado de dos vectores ordinarios.

Un ejemplo de pseudovector es la velocidad angular . Conduciendo en un automóvil , y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de velocidad angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia el lado izquierdo y derecho del automóvil, el reflejo de este vector de velocidad angular apunta hacia la derecha, pero el vector de velocidad angular real de la rueda todavía apunta hacia la izquierda, correspondiente al menos firmar. Otros ejemplos de pseudovectores incluyen campo magnético , par o, más generalmente, cualquier producto cruzado de dos vectores (verdaderos).

Esta distinción entre vectores y pseudovectores a menudo se ignora, pero adquiere importancia en el estudio de las propiedades de simetría . Ver paridad (física) .

Ver también

• Espacio afín , que distingue entre vectores y puntos
• Matriz (estructura de datos)
• espacio banach
• Álgebra de Clifford
• Número complejo
• Sistema coordinado
• Covarianza y contravarianza de vectores.
• Cuatro vectores , un vector no euclidiano en el espacio de Minkowski (es decir, espacio-tiempo de cuatro dimensiones), importante en la relatividad
• Espacio funcional
• Ausdehnungslehre de Grassmann
• Espacio de Hilbert
• Vector normal
• vector nulo
• Posición (geometría)
• Pseudovector
• Cuaternio
• Componentes tangenciales y normales (de un vector)
• Tensor
• Vector unitario
• paquete de vectores
• Cálculo vectorial
• Notación vectorial
• Función con valores vectoriales

Notas

1. Ivánov 2001
2. Heinbockel 2001
3. Itô 1993, pag. 1678; Pedóe 1988
4. Latín: vectus, participio perfecto de vehere, "llevar"/ veho = "yo llevo". Para conocer el desarrollo histórico de la palabra vector , consulte "vector n". . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía en una institución participante) y Jeff Miller. "Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas" . Consultado el 25 de mayo de 2007 .
5. Diccionario de ingles Oxford (2ª ed.). Londres: Clarendon Press. 2001.ISBN _ 9780195219425.
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9. Michael J. Crowe , Una historia del análisis vectorial ; consulte también sus "notas de conferencias" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de enero de 2004 . Consultado el 4 de septiembre de 2010 .sobre el tema.
10. WR Hamilton (1846) Revista filosófica de Londres, Edimburgo y Dublín, tercera serie 29 27
11. Itô 1993, pag. 1678
12. Anteriormente conocido como vector localizado . Véase Lang 1986, pág. 9.
13. En algunos textos antiguos, el par ( A , B ) se denomina vector ligado y su clase de equivalencia se denomina vector libre .
14. "1.1: Vectores". Matemáticas LibreTexts . 2013-11-07 . Consultado el 19 de agosto de 2020 .
15. Termodinámica y formas diferenciales
16. Gibbs, JW (1901). Análisis vectorial: un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs , por EB Wilson, Chares Scribner's Sons, Nueva York, p. 15: "Cualquier vector r coplanar con dos vectores no colineales a y b puede resolverse en dos componentes paralelas a a y b respectivamente. Esta resolución se puede lograr construyendo el paralelogramo ..."
17. "Departamento de Física de la U. Guelph", par y aceleración angular"". Archivado desde el original el 22 de enero de 2007 . Consultado el 5 de enero de 2007 .
18. Harris, John W.; Stöcker, Horst (1998). Manual de matemáticas y ciencias computacionales. Birkhäuser. Capítulo 6, pág. 332.ISBN _ 0-387-94746-9.
19. Kane y Levinson 1996, págs.
20. Rogers, Robert M. (2007). Matemáticas aplicadas en sistemas de navegación integrados (3ª ed.). Reston, Va .: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. ISBN 9781563479274. OCLC  652389481.

Referencias

Tratamientos matemáticos

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• Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dinámica en línea , Sunnyvale, California: Dinámica en línea.
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• Pedoe, Daniel (1988). Geometría: un curso completo . Dover. ISBN 0-486-65812-0.

Tratamientos fisicos

• Aris, R. (1990). Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos. Dover. ISBN 978-0-486-66110-0.
• Feynman, Richard ; Leighton, R.; Arenas, M. (2005). "Capítulo 11". Las conferencias Feynman sobre física . vol. Yo (2ª ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9.

enlaces externos

• "Vector", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Identidades vectoriales en línea ( PDF )
• Introducción a los vectores Una introducción conceptual ( matemáticas aplicadas )