coseno de dirección

Cosenos de los ángulos entre el vector y los tres ejes coordenados.

En geometría analítica , los cosenos directores (o cosenos direccionales ) de un vector son los cosenos de los ángulos entre el vector y los tres ejes de coordenadas positivos. De manera equivalente, son las contribuciones de cada componente de la base a un vector unitario en esa dirección.

Coordenadas cartesianas tridimensionales

Vector v en R ³

Cosenos directores y ángulos directores para el vector unitario v /| v |

Si v es un vector euclidiano en un espacio euclidiano tridimensional , R ³ ,

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$

donde e _x , e _y , e _z son la base estándar en notación cartesiana, entonces los cosenos directores son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

Se deduce que elevando al cuadrado cada ecuación y sumando los resultados

${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$

Aquí α , β y γ son los cosenos directores y las coordenadas cartesianas del vector unitario v /| v |, y a , b y c son los ángulos directores del vector v .

Los ángulos directores a , b y c son ángulos agudos u obtusos , es decir, 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π y 0 ≤ c ≤ π , y denotan los ángulos formados entre v y los vectores de base unitaria, e _x , e _y y e _z .

Significado general

De manera más general, el coseno director se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores cualesquiera . Son útiles para formar matrices de cosenos directores que expresan un conjunto de vectores de base ortonormal en términos de otro conjunto, o para expresar un vector conocido en una base diferente.

Ver también

• tensor cartesiano

Referencias

• Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. págs. 18-19. ISBN 0-07-033484-6.
• Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw-Hill. págs.15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
• Tyldesley, JR (1975). Una introducción al análisis de tensores para ingenieros y científicos aplicados. Longman. pag. 5.ISBN​ 0-582-44355-5.
• Tang, KT (2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos . vol. 2. Saltador. pag. 13.ISBN​ 3-540-30268-9.
• Weisstein, Eric W. "Dirección coseno". MundoMatemático .