Teorema de Nachbin

Teorema que limita la tasa de crecimiento de funciones analíticas

En matemáticas , en el área de análisis complejo , el teorema de Nachbin (llamado así por Leopoldo Nachbin ) es un resultado utilizado para establecer límites a las tasas de crecimiento de las funciones analíticas . En particular, el teorema de Nachbin puede utilizarse para dar el dominio de convergencia de la transformada de Borel generalizada , también llamada sumatoria de Nachbin .

Este artículo ofrece una breve revisión de las tasas de crecimiento, incluida la idea de una función de tipo exponencial . La clasificación de las tasas de crecimiento según el tipo ayuda a proporcionar una herramienta más precisa que la notación O grande o la notación de Landau , ya que se pueden enunciar varios teoremas sobre la estructura analítica de la función acotada y sus transformadas integrales .

Tipo exponencial

Una función definida en el plano complejo se dice que es de tipo exponencial si existen constantes y tales que ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

en el límite de . Aquí, la variable compleja se escribió para enfatizar que el límite debe cumplirse en todas las direcciones . Si se deja que n represente el ínfimo de todas esas , se dice entonces que la función es de tipo exponencial . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

Por ejemplo, sea . Entonces se dice que es de tipo exponencial , ya que es el número más pequeño que limita el crecimiento de a lo largo del eje imaginario. Por lo tanto, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que . ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$

tipo Ψ

Se pueden definir tipos de funciones adicionales para otras funciones de límite además de la función exponencial. En general, una función es una función de comparación si tiene una serie ${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

con para todos , y ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Las funciones de comparación son necesariamente enteras , lo que se deduce de la prueba de proporción . Si es una función de comparación de este tipo, se dice que es de tipo si existen constantes y tales que ${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

como . Si es el ínfimo de todos se dice que es de tipo . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

El teorema de Nachbin establece que una función con la serie ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

es de tipo si y solo si ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

Esto está naturalmente conectado con la prueba de la raíz y puede considerarse un pariente del teorema de Cauchy-Hadamard .

Transformada de Borel generalizada

El teorema de Nachbin tiene aplicaciones inmediatas en situaciones similares al teorema de Cauchy y para transformadas integrales . Por ejemplo, la transformada de Borel generalizada está dada por

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Si es de tipo , entonces el exterior del dominio de convergencia de , y todos sus puntos singulares, están contenidos dentro del disco ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Además, uno tiene

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

donde el contorno de integración γ rodea el disco . Esto generaliza la transformada de Borel habitual para funciones de tipo exponencial, donde . La forma integral para la transformada de Borel generalizada también se deduce. Sea una función cuya primera derivada está acotada en el intervalo y que satisface la ecuación definitoria ${\displaystyle |w|\leq \tau }$ ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

donde . Entonces la forma integral de la transformada de Borel generalizada es ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

La transformada de Borel ordinaria se recupera estableciendo . Nótese que la forma integral de la transformada de Borel es la transformada de Laplace . ${\displaystyle \alpha (t)=e^{-t}}$

Resumen de Nachbin

La suma de Nachbin se puede utilizar para sumar series divergentes que la suma de Borel no permite, por ejemplo, para resolver asintóticamente ecuaciones integrales de la forma:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

donde , puede ser o no de tipo exponencial, y el núcleo tiene una transformada de Mellin . La solución se puede obtener utilizando la suma de Nachbin como con el de y con la transformada de Mellin de . Un ejemplo de esto es la serie de Gram ${\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

En algunos casos, como condición adicional, requerimos que sea finito y distinto de cero para ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ ${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$

El espacio de Fréchet

Las colecciones de funciones de tipo exponencial pueden formar un espacio uniforme completo , es decir, un espacio de Fréchet , por la topología inducida por la familia contable de normas. ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

Véase también

• Serie divergente
• Suma de Borel
• Suma de Euler
• Resumen de Cesáro
• Suma de Lambert
• Suma de Mittag-Leffler
• Principio de Phragmén-Lindelöf
• Teoremas abeliano y tauberio
• Transformación de Van Wijngaarden

Referencias

• L. Nachbin, "Una extensión de la noción de funciones integrales del tipo exponencial finito", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Número de tarjeta de la Biblioteca del Congreso 63-23263. (Proporciona un enunciado y una prueba del teorema de Nachbin, así como una revisión general de este tema).
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Función de tipo exponencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• AF Leont'ev (2001) [1994], "Transformada de Borel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press