En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Carlson es un teorema de unicidad descubierto por Fritz David Carlson . Informalmente, afirma que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápidamente en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse del teorema de Phragmén-Lindelöf , que es en sí mismo una extensión del teorema del módulo máximo .
Normalmente se invoca el teorema de Carlson para defender la unicidad de una expansión en serie de Newton . El teorema de Carlson tiene análogos generalizados para otras expansiones.
Supongamos que f satisface las tres condiciones siguientes. Las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de f al infinito, mientras que la tercera establece que f desaparece en los números enteros no negativos.
Entonces f es idénticamente cero .
La primera condición puede flexibilizarse: basta con suponer que f es analítica en Re z > 0 , continua en Re z ≥ 0 y satisface
para algunos valores reales C , τ .
Para ver que la segunda condición es clara, considere la función f ( z ) = sin ( π z ) . Desaparece en los números enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de c = π y, de hecho, no es idénticamente cero.
Un resultado, debido a Rubel (1956), relaja la condición de que f desaparezca en los números enteros. Es decir, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si f desaparece en un subconjunto A ⊂ {0, 1, 2, ...} de densidad superior 1, lo que significa que
Esta condición es estricta, lo que significa que el teorema falla para conjuntos A de densidad superior menores que 1.
Supongamos que f ( z ) es una función que posee todas las diferencias directas finitas . Consideremos entonces la serie de Newton.
con es el coeficiente binomial y es la enésima diferencia directa . Por construcción, entonces se tiene que f ( k ) = g ( k ) para todos los enteros no negativos k , de modo que la diferencia h ( k ) = f ( k ) − g ( k ) = 0 . Ésta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si h obedece a los demás, entonces h es idénticamente cero y las diferencias finitas para f determinan de forma única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para f y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces f es única.
