Suma de Mittag-Leffler

En matemáticas, la suma de Mittag-Leffler es cualquiera de las diversas variaciones del método de suma de Borel para sumar series de potencias formales posiblemente divergentes , introducido por Mittag-Leffler  (1908).

Definición

Dejar

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{k}}$

sea ​​una serie de potencia formal en z .

Definir la transformada de por ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y}$ ${\displaystyle \scriptstyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}}$

Entonces la suma Mittag-Leffler de y está dada por

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z)}$

si cada suma converge y el límite existe.

A continuación se ofrece un método de suma estrechamente relacionado, también llamado suma de Mittag-Leffler (Sansone y Gerretsen, 1960). Supongamos que la transformada de Borel converge a una función analítica cercana a 0 que puede continuarse analíticamente a lo largo del eje real positivo hasta una función que crece lo suficientemente lentamente como para que la siguiente integral esté bien definida (como una integral impropia). Entonces, la suma de Mittag-Leffler de y está dada por ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}y(z)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,dt}$

Cuando α  = 1 esto es lo mismo que la suma de Borel .

Véase también

• Distribución Mittag-Leffler
• Función Mittag-Leffler
• Teorema de Nachbin

Referencias

• "Método de suma de Mittag-Leffler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mittag-Leffler, G. (1908), "Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe", Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6 a 11 de abril de 1908), vol. I, págs. 67–86, archivado desde el original el 24 de septiembre de 2016 , consultado el 2 de noviembre de 2012.
• Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Lecciones sobre la teoría de funciones de una variable compleja. I. Funciones holomorfas , P. Noordhoff, Groningen, MR  0113988