Distribución Mittag-Leffler

Las distribuciones Mittag-Leffler son dos familias de distribuciones de probabilidad en la semirrecta . Están parametrizadas por un número real o . Ambas se definen con la función Mittag-Leffler , llamada así en honor a Gösta Mittag-Leffler . ^[1] ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

La función Mittag-Leffler

Para cualquier complejo cuya parte real sea positiva, la serie ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}}$

define una función completa. Para , la serie converge solo en un disco de radio uno, pero se puede extender analíticamente a . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Primera familia de distribuciones Mittag-Leffler

La primera familia de distribuciones Mittag-Leffler está definida por una relación entre la función Mittag-Leffler y sus funciones de distribución acumulativas .

Para todos , la función es creciente en la línea real, converge a en , y . Por lo tanto, la función es la función de distribución acumulativa de una medida de probabilidad en los números reales no negativos. La distribución así definida, y cualquiera de sus múltiplos, se denomina distribución Mittag-Leffler de orden . ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$ ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$

Todas estas distribuciones de probabilidad son absolutamente continuas . Dado que es la función exponencial, la distribución Mittag-Leffler de orden es una distribución exponencial . Sin embargo, para , las distribuciones Mittag-Leffler tienen colas pesadas , con ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

${\displaystyle E_{\alpha }(-x^{\alpha })\sim {\frac {x^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}},\quad x\to \infty .}$

Su transformada de Laplace viene dada por:

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

lo que implica que, para , la expectativa es infinita. Además, estas distribuciones son distribuciones geométricamente estables . Los procedimientos de estimación de parámetros se pueden encontrar aquí. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Segunda familia de distribuciones Mittag-Leffler

La segunda familia de distribuciones Mittag-Leffler está definida por una relación entre la función Mittag-Leffler y sus funciones generadoras de momentos .

Para todos , se dice que una variable aleatoria sigue una distribución de orden Mittag-Leffler si, para alguna constante , ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),}$

donde la convergencia representa todos los valores en el plano complejo si , y todos los valores en un disco de radio si . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1/C}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

Una distribución de orden Mittag-Leffler es una distribución exponencial. Una distribución de orden Mittag-Leffler es la distribución del valor absoluto de una variable aleatoria de distribución normal . Una distribución de orden Mittag-Leffler es una distribución degenerada . A diferencia de la primera familia de distribuciones Mittag-Leffler, estas distribuciones no tienen colas pesadas. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1}$

Estas distribuciones se encuentran comúnmente en relación con el tiempo local de los procesos de Markov.

Referencias

1. HJ Haubold AM Mathai (2009). Actas del tercer taller de la ONU/ESA/NASA sobre el Año Heliofísico Internacional 2007 y la ciencia espacial básica: Observatorio Astronómico Nacional de Japón. Actas de Astrofísica y Ciencia Espacial. Springer. pág. 79. ISBN 978-3-642-03325-4.
2. DO Cahoy VV Uhaikin WA Woyczyński (2010). "Estimación de parámetros para procesos de Poisson fraccionarios". Revista de planificación e inferencia estadística . 140 (11): 3106–3120. arXiv : 1806.02774 . doi :10.1016/j.jspi.2010.04.016.
3. DO Cahoy (2013). "Estimación de parámetros Mittag-Leffler". Comunicaciones en Estadística - Simulación y Computación . 42 (2): 303–315. arXiv : 1806.02792 . doi :10.1080/03610918.2011.640094.