Suma de Lambert

Método de sumabilidad para una clase de series divergentes

En el análisis matemático y la teoría analítica de números , la suma de Lambert es un método de sumabilidad para sumar series infinitas relacionadas con las series de Lambert especialmente relevantes en la teoría analítica de números.

Definición

Defina el núcleo de Lambert mediante con . Nótese que es decreciente en función de cuando . Una suma es sumable en Lambert a si , escrito . ${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$ ${\displaystyle L(1)=1}$ ${\displaystyle L(x^{n})>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$

Teorema de Abel y Tauber

Teorema abeliano : si una serie es convergente a entonces es sumable en el sentido de Lambert a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Teorema de Tauber : Supóngase que es Lambert sumable a . Entonces es Abel sumable a . En particular, si es Lambert sumable a y entonces converge a . ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle na_{n}\geq -C}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle A}$

El teorema de Tauber fue demostrado por primera vez por GH Hardy y John Edensor Littlewood , pero no era independiente de la teoría de números; de hecho, utilizaron una estimación de la teoría de números que es algo más sólida que el propio teorema de los números primos. La situación insatisfactoria en torno al teorema de Tauber de Lambert fue resuelta por Norbert Wiener .

Ejemplos

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$, donde μ es la función de Möbius . Por lo tanto, si esta serie converge, converge a cero. Nótese que la secuencia satisface la condición de Tauber, por lo tanto, el teorema de Tauber implica en el sentido ordinario. Esto es equivalente al teorema de los números primos . ${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$donde es la función de von Mangoldt y es la constante de Euler . Por el teorema de Tauber, la suma ordinaria converge y en particular converge a . Esto es equivalente a donde es la segunda función de Chebyshev . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle -2\gamma }$ ${\displaystyle \psi (x)\sim x}$ ${\displaystyle \psi }$

Véase también

• Serie Lambert
• Fórmula de Abel-Plana
• Teoremas abeliano y tauberio

Referencias

• Jacob Korevaar (2004). Teoría Tauberiana. Un siglo de avances . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 329. Springer-Verlag . pag. 18.ISBN​ 3-540-21058-X.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. págs. 159–160. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Norbert Wiener (1932). "Teoremas de Tauber". Ann. of Math . 33 (1). Anales de Matemáticas, vol. 33, núm. 1: 1–100. doi :10.2307/1968102. JSTOR  1968102.