Fórmula integral de Schwarz

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, la fórmula integral de Schwarz , llamada así en honor a Hermann Schwarz , permite recuperar una función holomorfa , hasta una constante imaginaria, a partir de los valores límite de su parte real.

Disco unitario

Sea f una función holomorfa en el disco unitario cerrado { z  ∈  C  | | z | ≤ 1}. Entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|\zeta |=1}{\frac {\zeta +z}{\zeta -z}}\operatorname {Re} (f(\zeta ))\,{\frac {d\zeta }{\zeta }}+i\operatorname {Im} (f(0))}$

para todos | z | < 1.

Semiplano superior

Sea f una función holomorfa en el semiplano superior cerrado { z  ∈  C  | Im( z ) ≥ 0} tal que, para algún α  > 0, | z ^α  f ( z )| está acotada en el semiplano superior cerrado. Entonces

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z}}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

para todo Im( z ) > 0.

Tenga en cuenta que, en comparación con la versión en el disco unitario, esta fórmula no tiene una constante arbitraria agregada a la integral; esto se debe a que la condición de desintegración adicional hace que las condiciones para esta fórmula sean más estrictas.

Corolario de la fórmula integral de Poisson

La fórmula se deduce de la fórmula integral de Poisson aplicada a  u : ^{[1] [2]}

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatorname {Re} {e^{i\psi }+z \over e^{i\psi }-z}\,d\psi \qquad {\text{for }}|z|<1.}$

Mediante mapas conformes, la fórmula puede generalizarse a cualquier conjunto abierto simplemente conexo.

Notas y referencias

1. Lecciones sobre funciones completas , pág. 9, en Google Books
2. La derivación sin recurrir a la fórmula de Poisson se puede encontrar en: https://planetmath.org/schwarzandpoissonformulas Archivado el 24 de diciembre de 2021 en Wayback Machine.

• Ahlfors, Lars V. (1979), Análisis complejo , Tercera edición, McGraw-Hill, ISBN  0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Teoría de funciones complejas , segunda edición, Springer, ISBN 0-387-97195-5 
• Saff, EB y AD Snider (1993), Fundamentos del análisis complejo para matemáticas, ciencias e ingeniería , segunda edición, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6