Residuo en el infinito

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el residuo en el infinito es un residuo de una función holomorfa en un anillo que tiene un radio externo infinito. El infinito es un punto añadido al espacio local para hacerlo compacto (en este caso es una compactificación de un punto ). Este espacio denotado es isomorfo a la esfera de Riemann . ^[1] Se puede utilizar el residuo en el infinito para calcular algunas integrales . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$

Definición

Dada una función holomorfa f en un anillo (centrado en 0, con radio interior y radio exterior infinito), el residuo en el infinito de la función f se puede definir en términos del residuo habitual de la siguiente manera: ${\displaystyle A(0,R,\infty )}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\operatorname {Res} \left({1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)}$

De esta manera, se puede trasladar el estudio del infinito al estudio del origen. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1/z)}$

Tenga en cuenta que tenemos ${\displaystyle \forall r>R}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)\,dz}$

Dado que, para funciones holomorfas, la suma de los residuos en las singularidades aisladas más el residuo en el infinito es cero, se puede expresar como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} \left(f\left(z\right),a_{k}\right).}$

Motivación

En primer lugar, se podría suponer que la definición del residuo de en el infinito debería ser simplemente el residuo de en . Sin embargo, la razón que consideramos en su lugar es que no se toman residuos de funciones , sino de formas diferenciales , es decir, el residuo de en el infinito es el residuo de en . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1/z)}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle -{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)}$ ${\displaystyle f(z)dz}$ ${\displaystyle f\left({\frac {1}{z}}\right)d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)dz}$ ${\displaystyle z=0}$

Véase también

• Esfera de Riemann
• Variedad algebraica
• Teorema del residuo

Referencias

1. Michèle Audin, Analyse Complexe , apuntes de la Universidad de Estrasburgo disponibles en la web, pp. 70-72

• Murray R. Spiegel, Complejos variables , Schaum, ISBN  2-7042-0020-3
• Henri Cartan , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes , Hermann, 1961
• Mark J. Ablowitz y Athanassios S. Fokas, Variables complejas: Introducción y aplicaciones (segunda edición), 2003, ISBN 978-0-521-53429-1 , P211-212.