Singularidad esencial

Ubicación alrededor de la cual una función muestra un comportamiento irregular

Gráfico de la función exp(1/ z ) , centrada en la singularidad esencial en z = 0 . El tono representa el argumento complejo , la luminancia representa el valor absoluto . Este gráfico muestra cómo el acercamiento a la singularidad esencial desde diferentes direcciones produce diferentes comportamientos (a diferencia de un polo, que, al acercarlo desde cualquier dirección, sería uniformemente blanco).

Modelo que ilustra la singularidad esencial de una función compleja 6 w = exp(1/(6 z ))

En el análisis complejo , una singularidad esencial de una función es una singularidad "severa" cerca de la cual la función exhibe un comportamiento sorprendente.

La categoría de singularidad esencial es un grupo “sobrante” o por defecto de singularidades aisladas que son especialmente difíciles de manejar: por definición, no encajan en ninguna de las otras dos categorías de singularidad que pueden abordarse de alguna manera: singularidades removibles y polos . En la práctica, algunas ^{[¿ quiénes? ]} incluyen también singularidades no aisladas; éstas no tienen residuo .

Descripción formal

Considérese un subconjunto abierto del plano complejo . Sea un elemento de , y una función holomorfa . El punto se denomina singularidad esencial de la función si la singularidad no es ni un polo ni una singularidad removible . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Por ejemplo, la función tiene una singularidad esencial en . ${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$ ${\displaystyle z=0}$

Descripciones alternativas

Sea un número complejo , y supongamos que no está definido en pero es analítico en alguna región del plano complejo, y que cada vecindad abierta de tiene intersección no vacía con . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$

Si ambos existen y , entonces es una singularidad removible de ambos y . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Si existe pero no existe (de hecho ), entonces es un cero de y un polo de . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}|1/f(z)|=\infty }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

De manera similar, si no existe (de hecho ) pero existe, entonces es un polo de y un cero de . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}|f(z)|=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Si ni existe ni , entonces es una singularidad esencial de ambos y . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Otra forma de caracterizar una singularidad esencial es que la serie de Laurent de en el punto tiene infinitos términos de grado negativo (es decir, la parte principal de la serie de Laurent es una suma infinita). Una definición relacionada es que si hay un punto para el cual ninguna derivada de converge a un límite como tiende a , entonces es una singularidad esencial de . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

En una esfera de Riemann con un punto en el infinito , , la función tiene una singularidad esencial en ese punto si y solo si tiene una singularidad esencial en 0: es decir, ni existe ni existe. ^[2] La función zeta de Riemann en la esfera de Riemann tiene solo una singularidad esencial, en . ^[3] De hecho, cada función meromorfa aparte de que no sea una función racional tiene una singularidad esencial única en . ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {f(z)}}$ ${\displaystyle {f(1/z)}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{f(1/z)}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}}$ ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$

El comportamiento de las funciones holomorfas cerca de sus singularidades esenciales se describe mediante el teorema de Casorati-Weierstrass y mediante el teorema de Picard , considerablemente más fuerte . Este último dice que en cada entorno de una singularidad esencial , la función toma todos los valores complejos, excepto posiblemente uno, infinitas veces. (La excepción es necesaria; por ejemplo, la función nunca toma el valor 0.) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \exp(1/z)}$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Singularidad esencial". MathWorld . Wolfram . Consultado el 11 de febrero de 2014 .
2. "El infinito como singularidad aislada" (PDF) . Consultado el 6 de enero de 2022 .
3. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 de noviembre de 2020). "Distribución de valores de la función zeta de Riemann a lo largo de sus líneas de Julia". Métodos computacionales y teoría de funciones . 20 (3): 389–401. doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724.

• Lars V. Ahlfors; Análisis complejo , McGraw-Hill, 1979
• Rajendra Kumar Jain, SRK Iyengar; Matemáticas avanzadas para ingeniería . Página 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4 

Enlaces externos

• Una singularidad esencial por Stephen Wolfram , Wolfram Demonstrations Project .
• Singularidad esencial en el planeta Matemáticas