integral de darboux

Integral construida usando sumas de Darboux

En la rama de las matemáticas conocida como análisis real , la integral de Darboux se construye utilizando sumas de Darboux y es una posible definición de la integral de una función . Las integrales de Darboux son equivalentes a las integrales de Riemann , lo que significa que una función es integrable en Darboux si y sólo si es integrable en Riemann, y los valores de las dos integrales, si existen, son iguales. ^[1] La definición de la integral de Darboux tiene la ventaja de ser más fácil de aplicar en cálculos o pruebas que la de la integral de Riemann. En consecuencia, los libros de texto de introducción al cálculo y al análisis real a menudo desarrollan la integración de Riemann utilizando la integral de Darboux, en lugar de la verdadera integral de Riemann. ^[2] Además, la definición se extiende fácilmente para definir la integración de Riemann-Stieltjes . ^[3] Las integrales de Darboux llevan el nombre de su inventor, Gaston Darboux (1842-1917).

Definición

La definición de la integral de Darboux considera las integrales superior e inferior (Darboux) , que existen para cualquier función acotada de valor real en el intervalo. La integral de Darboux existe si y sólo si las integrales superior e inferior son iguales. Las integrales superior e inferior son a su vez el mínimo y el supremo , respectivamente, de las sumas superior e inferior (Darboux) que sobreestiman y subestiman, respectivamente, el "área bajo la curva". En particular, para una partición dada del intervalo de integración, las sumas superior e inferior suman las áreas de cortes rectangulares cuyas alturas son el supremo y el mínimo, respectivamente, de f en cada subintervalo de la partición. Estas ideas se precisan a continuación: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

sumas de darboux

Sumas de Darboux inferior (verde) y superior (verde más lavanda) para cuatro subintervalos

Una partición de un intervalo es una secuencia finita de valores tal que ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}$

Cada intervalo se denomina subintervalo de la partición. Sea una función acotada y sea ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$

ser una partición de . Dejar ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).\end{aligned}}}$

La suma superior de Darboux con respecto a es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}$

La suma de Darboux inferior con respecto a es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}$

Las sumas de Darboux superior e inferior a menudo se denominan sumas superior e inferior.

Integrales de Darboux

La integral de Darboux superior de f es

${\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

La integral de Darboux inferior de f es

${\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}[a,b]\}.}$

En alguna literatura, un símbolo integral con un subrayado y un subrayado representan las integrales de Darboux inferior y superior respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}$

y al igual que las sumas de Darboux, a veces se les llama simplemente integrales superior e inferior .

Si U _f  =  L _f , entonces llamamos al valor común integral de Darboux . ^[4] También decimos que f es integrable en Darboux o simplemente integrable y establecida

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}$

Un criterio equivalente y a veces útil para la integrabilidad de f es demostrar que para cada ε > 0 existe una partición P _ε de [ a ,  b ] tal que ^[5]

${\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}$

Propiedades

• Para cualquier partición dada, la suma de Darboux superior siempre es mayor o igual que la suma de Darboux inferior. Además, la suma inferior de Darboux está limitada por debajo por el rectángulo de ancho ( b - a ) y alto inf ( f ) tomado [ a ,  b ]. Asimismo, la suma superior está limitada arriba por el rectángulo de ancho ( b − a ) y alto sup ( f ).

  ${\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

• Las integrales de Darboux inferior y superior satisfacen

  ${\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}$

• Dado cualquier c en ( a ,  b )

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Las integrales de Darboux inferior y superior no son necesariamente lineales. Supongamos que g :[ a ,  b ] → R también es una función acotada, entonces las integrales superior e inferior satisfacen las siguientes desigualdades:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}$

• Para una constante c ≥ 0 tenemos

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Para una constante c ≤ 0 tenemos

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\[6pt]{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

• Considere la función

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:[a,b]\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$

entonces F es continua de Lipschitz . Se cumple un resultado idéntico si F se define utilizando una integral de Darboux superior.

Ejemplos

Una función integrable en Darboux

Supongamos que queremos demostrar que la función es integrable con Darboux en el intervalo y determinar su valor. Para hacer esto, dividimos en subintervalos del mismo tamaño, cada uno de ellos de longitud . Denotamos una partición de subintervalos de igual tamaño como . ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

Ahora bien, dado que es estrictamente creciente en , el mínimo en cualquier subintervalo particular viene dado por su punto de partida. Asimismo, el supremo en cualquier subintervalo particular viene dado por su punto final. El punto inicial del -ésimo subintervalo es y el punto final es . Así, la suma de Darboux inferior en una partición viene dada por ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (k-1)/n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

de manera similar, la suma superior de Darboux está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}}$

Desde

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}$

Así, para any dado , tenemos que cualquier partición con satisface ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }$

lo que demuestra que Darboux es integrable. Para encontrar el valor de la nota integral que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}$

sumas de darboux

Una función no integrable

Supongamos que tenemos la función de Dirichlet definida como ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Dado que los números racionales e irracionales son subconjuntos densos de , se deduce que toma el valor de 0 y 1 en cada subintervalo de cualquier partición. Así, para cualquier partición tenemos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}}$

de lo cual podemos ver que las integrales de Darboux inferior y superior son desiguales.

Refinamiento de una partición y relación con la integración de Riemann.

Al pasar a un refinamiento, la suma inferior aumenta y la suma superior disminuye.

Un refinamiento de la partición es una partición tal que para todo i = 0,…, n existe un número entero r ( i ) tal que ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}$

${\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}.}$

En otras palabras, para hacer un refinamiento, corte los subintervalos en trozos más pequeños y no elimine ningún corte existente.

Si es un refinamiento de entonces ${\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}$ ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}$

${\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}$

y

${\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}$

Si P ₁ , P ₂ son dos particiones del mismo intervalo (no es necesario que una sea un refinamiento de la otra), entonces

${\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}$

y se deduce que

${\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}$

Las sumas de Riemann siempre se encuentran entre las correspondientes sumas de Darboux inferiores y superiores. Formalmente, si y juntos hacen una partición etiquetada ${\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$

${\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}$

(como en la definición de la integral de Riemann ), y si la suma de Riemann de es igual a R correspondiente a P y T , entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}$

Del hecho anterior, las integrales de Riemann son al menos tan fuertes como las integrales de Darboux: si la integral de Darboux existe, entonces las sumas de Darboux superior e inferior correspondientes a una partición suficientemente fina estarán cercanas al valor de la integral, por lo que cualquier suma de Riemann sobre la misma partición también estará cerca del valor de la integral. Hay (ver más abajo) una partición etiquetada que se acerca arbitrariamente al valor de la integral de Darboux superior o de la integral de Darboux inferior y, en consecuencia, si la integral de Riemann existe, entonces la integral de Darboux también debe existir.

Ver también

• integral regulada
• Integración de Lebesgue
• Rectángulo delimitador mínimo

Notas

1. David J. Foulis; Mustafa A. Munem (1989). Después del cálculo: análisis. Compañía editorial Dellen. pag. 396.ISBN​ 978-0-02-339130-9.
2. Spivak, M. (1994). Cálculo (3.ª edición) . Houston, TX: Publish Or Perish, Inc. págs. ISBN 0-914098-89-6.
3. Rudin, W. (1976). Principios de Análisis Matemático (3.ª edición) . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 120-122. ISBN 007054235X.
4. Wolfram MathWorld
5. Spivak 2008, capítulo 13.

Referencias

• "Darboux Integral". Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de enero de 2013 .
• Integral de Darboux en la Enciclopedia de Matemáticas
• "Darboux sum", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Spivak, Michael (2008), Cálculo (4 ed.), Publicar o perecer, ISBN 978-0914098911
• "Equivalencia de la integral de Darboux y Riemann".^{[ enlace muerto de YouTube ]}