Teorema de la serie de Riemann

Las series incondicionales convergen absolutamente.

En matemáticas , el teorema de la serie de Riemann , también llamado teorema de reordenamiento de Riemann , llamado así en honor al matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann , dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente , entonces sus términos se pueden ordenar en una permutación de manera que los la nueva serie converge a un número real arbitrario o diverge . Esto implica que una serie de números reales es absolutamente convergente si y sólo si es incondicionalmente convergente .

Como ejemplo, la serie 1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + ⋯ converge a 0 (para un número suficientemente grande de términos, la suma parcial se acerca arbitrariamente a 0); pero reemplazando todos los términos con sus valores absolutos se obtiene 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ⋯, que suma infinito. Por lo tanto, la serie original es condicionalmente convergente y se puede reordenar (tomando los dos primeros términos positivos seguidos del primer término negativo, seguido de los dos términos positivos siguientes y luego el siguiente término negativo, etc.) para dar una serie que converge. a una suma diferente: 1 + 1/2 − 1 + 1/3 + 1/4 − 1/2 + ⋯ = ln 2. De manera más general, usar este procedimiento con p positivos seguidos de q negativos da la suma ln( p / q ). Otros reordenamientos dan otras sumas finitas o no convergen a ninguna suma.

Historia

Es un resultado básico que la suma de un número finito de números no depende del orden en que se suman. Por ejemplo, 2 + 6 + 7 = 7 + 2 + 6 . La observación de que la suma de una secuencia infinita de números puede depender del orden de los sumandos se atribuye comúnmente a Augustin-Louis Cauchy en 1833. ^[1] Analizó la serie armónica alterna , mostrando que ciertos reordenamientos de sus sumandos dan como resultado diferentes límites. Casi al mismo tiempo, Peter Gustav Lejeune Dirichlet destacó que tales fenómenos están descartados en el contexto de la convergencia absoluta y dio más ejemplos del fenómeno de Cauchy para algunas otras series que no logran ser absolutamente convergentes. ^[2]

En el curso de su análisis de las series de Fourier y la teoría de la integración de Riemann , Bernhard Riemann dio una caracterización completa de los fenómenos de reordenamiento. ^[3] Demostró que en el caso de una serie convergente que no converge absolutamente (conocida como convergencia condicional ), se pueden encontrar reordenamientos de modo que la nueva serie converja a cualquier número real prescrito arbitrariamente. ^[4] El teorema de Riemann se considera actualmente como una parte básica del campo del análisis matemático . ^[5]

Para cualquier serie, se puede considerar el conjunto de todas las sumas posibles, correspondientes a todos los posibles reordenamientos de las sumandos. El teorema de Riemann se puede formular diciendo que, para una serie de números reales, este conjunto es vacío, un solo punto (en el caso de convergencia absoluta) o toda la recta numérica real (en el caso de convergencia condicional). En esta formulación, Paul Lévy y Ernst Steinitz ampliaron el teorema de Riemann a series cuyos sumandos son números complejos o, incluso más generalmente, elementos de un espacio vectorial real de dimensión finita . Demostraron que el conjunto de sumas posibles forma un subespacio afín real . Varios autores han considerado extensiones del teorema de Lévy-Steinitz a series en espacios de dimensión infinita. ^[6]

Definiciones

Una serie converge si existe un valor tal que la secuencia de las sumas parciales ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},}$

converge a . Es decir, para cualquier ε  > 0, existe un número entero N tal que si n  ≥  N , entonces ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq \varepsilon .}$

Una serie converge condicionalmente si la serie converge pero la serie diverge. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$

Una permutación es simplemente una biyección del conjunto de números enteros positivos hacia sí misma. Esto significa que si es una permutación, entonces para cualquier entero positivo existe exactamente un entero positivo tal que , en particular, si , entonces . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b.}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y)}$

Declaración del teorema

Supongamos que es una secuencia de números reales y que es condicionalmente convergente. Sea un número real. Entonces existe una permutación tal que ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=M.}$

También existe una permutación tal que ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty .}$

La suma también se puede reorganizar para divergir o no acercarse a ningún límite, finito o infinito. ${\displaystyle -\infty }$

Serie armónica alterna

Cambiando la suma

La serie armónica alterna es un ejemplo clásico de serie condicionalmente convergente:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$$

serie armónicaln(2)

Un ejemplo de esto es el siguiente. Comience con la serie escrita en el orden habitual,

${\displaystyle \ln(2)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}\cdots }$

y reordenar y reagrupar los términos como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\=&{}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \end{aligned}}}$

donde el patrón es: los dos primeros términos son 1 y −1/2, cuya suma es 1/2. El siguiente término es −1/4. Los siguientes dos términos son 1/3 y −1/6, cuya suma es 1/6. El siguiente término es −1/8. Los dos términos siguientes son 1/5 y −1/10, cuya suma es 1/10. En general, dado que cada número entero impar ocurre una vez positivamente y cada número par ocurre una vez negativamente (la mitad de ellos como múltiplos de 4, la otra mitad como dos veces enteros impares), la suma se compone de bloques de tres que se pueden simplificar como:

${\displaystyle \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}}=\left({\frac {1}{2(2k-1)}}\right)-{\frac {1}{4k}},\quad k=1,2,\dots .}$

Por lo tanto, la serie anterior puede escribirse como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$

que es la mitad de la suma originalmente y solo puede equivaler a la secuencia original si el valor fuera cero. Se puede demostrar que esta serie es mayor que cero mediante la prueba del teorema de Leibniz usando que la segunda suma parcial es la mitad. ^[7] Alternativamente, el valor al que converge no puede ser cero. Por lo tanto, se muestra que el valor de la secuencia depende del orden en que se calcula la serie. ${\displaystyle \ln(2)}$

Es cierto que la secuencia:

${\displaystyle \{b_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{6}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{10}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{14}},-{\frac {1}{16}},\cdots }$

contiene todos los elementos de la secuencia:

${\displaystyle \{a_{n}\}=1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{10}},{\frac {1}{11}},-{\frac {1}{12}},{\frac {1}{13}},-{\frac {1}{14}},{\frac {1}{15}},\cdots }$

Sin embargo, dado que la sumatoria se define como y , el orden de los términos puede influir en el límite. ^[7] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}:=\lim _{n\to \infty }\left(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}\right)}$

Obtener una suma arbitraria

Una forma eficiente de recuperar y generalizar el resultado de la sección anterior es utilizar el hecho de que

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\gamma +\ln n+o(1),}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni , y donde la notación o (1) denota una cantidad que depende de la variable actual (aquí, la variable es  n ) de tal manera que esta cantidad llega a 0 cuando la variable tiende al infinito .

De ello se deduce que la suma de q términos pares satisface

${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2q}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln q+o(1),}$

y al tomar la diferencia, se ve que la suma de p términos impares satisface

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\gamma +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1).}$

Supongamos que se dan dos números enteros positivos a y b , y que se forma un reordenamiento de la serie armónica alterna tomando, en orden, a términos positivos de la serie armónica alterna, seguidos de b términos negativos, y repitiendo este patrón en el infinito ( la serie alterna en sí corresponde a a = b = 1 , el ejemplo de la sección anterior corresponde a a  = 1, b  = 2):

${\displaystyle {1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2}-{1 \over 4}-\cdots -{1 \over 2b}+{1 \over 2a+1}+\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+2}-\cdots }$

Entonces la suma parcial de orden ( a  +  b ) n de esta serie reordenada contiene p = términos impares positivos y q = bn términos pares negativos, por lo tanto

${\displaystyle S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+o(1)={1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2+o(1).}$

De ello se deduce que la suma de esta serie reordenada es ^[8]

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right).}$

Supongamos ahora que, de manera más general, una serie reordenada de la serie armónica alterna está organizada de tal manera que la relación p _n / q _n entre el número de términos positivos y negativos en la suma parcial de orden n tiende a un límite positivo r. . Entonces, la suma de tal reordenamiento será

${\displaystyle \ln \left(2{\sqrt {r}}\right),}$

y esto explica que cualquier número real x pueda obtenerse como suma de una serie reordenada de la serie armónica alterna: basta con formar una reordenación cuyo límite r sea igual a e ^{2 x} / 4 .

Prueba

Existencia de un reordenamiento que suma cualquier M real positivo

La descripción de Riemann del teorema y su prueba dice completa: ^[9]

… las series infinitas se dividen en dos clases distintas, dependiendo de si permanecen convergentes o no cuando todos los términos se hacen positivos. En la primera clase los términos pueden reordenarse arbitrariamente; en el segundo, por el contrario, el valor depende del orden de los términos. De hecho, si denotamos los términos positivos de una serie de segunda clase por a ₁ , a ₂ , a ₃ ,... y los términos negativos por − b ₁ , − b ₂ , − b ₃ ,... entonces Está claro que tanto Σ a como Σ b deben ser infinitos. Porque si ambos fueran finitos, la serie seguiría siendo convergente después de que todos los signos fueran iguales. Si sólo uno fuera infinito, entonces la serie divergiría. Claramente ahora se puede obtener un valor C dado arbitrariamente mediante una reordenación adecuada de los términos. Tomamos alternativamente los términos positivos de la serie hasta que la suma sea mayor que C , y luego los términos negativos hasta que la suma sea menor que C. La desviación de C nunca supera el tamaño del término en el último lugar donde se cambiaron los signos. Ahora bien, dado que el número a y los números b se vuelven infinitamente pequeños al aumentar el índice , también lo son las desviaciones de C. Si avanzamos lo suficiente en la serie, la desviación se vuelve arbitrariamente pequeña, es decir, la serie converge a C.

Esto se puede dar más detalles a continuación. ^[10] Recuerde que una serie condicionalmente convergente de términos reales tiene infinitos términos negativos e infinitos términos positivos. Primero, defina dos cantidades, y por: ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle a_{n}^{+}={\begin{cases}a_{n}&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\0&{\text{if }}a_{n}<0,\end{cases}}\qquad a_{n}^{-}={\begin{cases}0&{\text{if }}a_{n}\geq 0\\a_{n}&{\text{if }}a_{n}<0.\end{cases}}}$

Es decir, la serie incluye todos los _n positivos, con todos los términos negativos reemplazados por ceros, y la serie incluye todos los _n negativos, con todos los términos positivos reemplazados por ceros. Dado que es condicionalmente convergente, tanto la serie "positiva" como la "negativa" divergen. Sea M cualquier número real. Tome la cantidad suficiente de términos positivos para que su suma exceda M . Es decir, sea p ₁ el entero positivo más pequeño tal que ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}^{+}}$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}.}$

Esto es posible porque las sumas parciales de la serie tienden a . Ahora sea q ₁ el entero positivo más pequeño tal que ${\displaystyle a_{n}^{+}}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle M>\sum _{n=1}^{p_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-}.}$

Este número existe porque las sumas parciales de tienden a . Ahora continúe inductivamente, definiendo p ₂ como el entero más pequeño mayor que p ₁ tal que ${\displaystyle a_{n}^{-}}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle M<\sum _{n=1}^{p_{2}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{1}}a_{n}^{-},}$

etcétera. El resultado puede verse como una nueva secuencia.

${\displaystyle a_{1}^{+},\ldots ,a_{p_{1}}^{+},a_{1}^{-},\ldots ,a_{q_{1}}^{-},a_{p_{1}+1}^{+},\ldots ,a_{p_{2}}^{+},a_{q_{1}+1}^{-},\ldots ,a_{q_{2}}^{-},a_{p_{2}+1}^{+},\ldots .}$

Además, las sumas parciales de esta nueva secuencia convergen a M . Esto se puede ver por el hecho de que para cualquier i ,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}-1}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\leq M<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

manteniéndose la primera desigualdad debido al hecho de que p _{i +1} se ha definido como el número más pequeño mayor que p _i, lo que hace que la segunda desigualdad sea verdadera; en consecuencia, sostiene que

${\displaystyle 0<\left(\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-}\right)-M\leq a_{p_{i+1}}^{+}.}$

Dado que el lado derecho converge a cero debido al supuesto de convergencia condicional, esto muestra que la ( p _{i +1} + q _i ) 'ésima suma parcial de la nueva secuencia converge a M a medida que i aumenta. De manera similar, la ( p _{i +1} + q _{i +1} ) 'ésima suma parcial también converge a M . Dado que ( p _{i +1} + q _i + 1) 'ésima, ( p _{i +1} + q _i + 2) 'ésima, ... ( p _{i +1} + q _{i +1} − 1) 'ésima suma parcial se valoran entre las ( p _{i +1} + q _i ) 'ésima y ( p _{i +1} + q _{i +1} ) 'ésima sumas parciales, se deduce que toda la secuencia de sumas parciales converge a M .

Cada entrada en la secuencia original an _aparece en esta nueva secuencia cuyas sumas parciales convergen a M . Aquellas entradas de la secuencia original que sean cero aparecerán dos veces en la nueva secuencia (una en la secuencia 'positiva' y otra en la secuencia 'negativa'), y cada segundo dicha aparición se puede eliminar, lo que no afecta la suma en de todos modos. La nueva secuencia es, por tanto, una permutación de la secuencia original.

Existencia de un reordenamiento que diverge hasta el infinito

Sea una serie condicionalmente convergente. La siguiente es una prueba de que existe una reordenación de esta serie que tiende a (se puede utilizar un argumento similar para demostrar que también se puede lograr). ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La prueba anterior de la formulación original de Riemann sólo necesita modificarse para que p _{i +1} se seleccione como el entero más pequeño mayor que p _i tal que

${\displaystyle i+1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

y con q _{i +1} seleccionado como el entero más pequeño mayor que q _i tal que

${\displaystyle i+1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

La elección de i +1 en el lado izquierdo es irrelevante, ya que podría ser reemplazada por cualquier secuencia que aumente hasta el infinito. Dado que converge a cero a medida que n aumenta, para i suficientemente grande hay ${\displaystyle a_{n}^{-}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}>i,}$

y esto prueba (al igual que con el análisis de convergencia anterior) que la secuencia de sumas parciales de la nueva secuencia diverge hasta el infinito.

Existencia de un reordenamiento que no logra acercarse a ningún límite, finito o infinito.

La prueba anterior sólo necesita modificarse para que p _{i +1} se seleccione como el entero más pequeño mayor que p _i tal que

${\displaystyle 1<\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i}}a_{n}^{-},}$

y con q _{i +1} seleccionado como el entero más pequeño mayor que q _i tal que

${\displaystyle -1>\sum _{n=1}^{p_{i+1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q_{i+1}}a_{n}^{-}.}$

Esto muestra directamente que la secuencia de sumas parciales contiene infinitas entradas mayores que 1, y también infinitas entradas menores que −1 , de modo que la secuencia de sumas parciales no puede converger.

Generalizaciones

Teorema de Sierpiński

Dada una serie infinita , podemos considerar un conjunto de "puntos fijos" y estudiar los números reales que la serie puede sumar si solo se nos permite permutar índices en . Es decir, dejamos ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{\pi (n)}:\pi {\text{ is a permutation on }}\mathbb {N} ,{\text{ such that }}\forall n\not \in I,\pi (n)=n,{\text{ and the summation converges.}}\right\}}$$

• Si es finito, entonces . Aquí significa diferencia simétrica . ${\displaystyle I\mathbin {\triangle } I'}$ ${\displaystyle S(a,I)=S(a,I')}$ ${\displaystyle \triangle }$
• Si entonces . ${\displaystyle I\subset I'}$ ${\displaystyle S(a,I)\subset S(a,I')}$
• Si la serie es una suma absolutamente convergente, entonces para cualquier . ${\displaystyle S(a,I)=\left\{\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle I}$
• Si la serie es una suma condicionalmente convergente, entonces, según el teorema de la serie de Riemann, . ${\displaystyle S(a,\mathbb {N} )=[-\infty ,+\infty ]}$

Sierpiński demostró que reordenando sólo los términos positivos se puede obtener una serie que converge a cualquier valor prescrito menor o igual a la suma de la serie original, pero en general no se pueden alcanzar valores mayores. ^{[11] [12] [13]} Es decir, sea una suma condicionalmente convergente, entonces contiene , pero no hay garantía de que contenga ningún otro número. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>0\})}$ ${\displaystyle \left[-\infty ,\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}\right]}$

De manera más general, sea un ideal de , entonces podemos definir . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S(a,J)=\cup _{I\in J}S(a,I)}$

Sea el conjunto de todos los conjuntos de ceros de densidad asintótica , es decir ,. Está claro que es un ideal de . ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|[0,n]\cap I|}{n}}=0}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

(Władysław, 2007) ^[14]  —  Si es una suma condicionalmente convergente, entonces (es decir, es suficiente reorganizar un conjunto de índices de densidad asintótica cero). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S(a,J_{d})=[-\infty ,\infty ]}$

Bosquejo de prueba: dada una suma condicionalmente convergente, construya alguna tal que y sean ambas condicionalmente convergentes. Luego, reorganizar es suficiente para converger a cualquier número en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I\in J_{d}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\not \in I}a_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\in I}a_{n}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Filipów y Szuca demostraron que otros ideales también tienen esta propiedad. ^[15]

teorema de steinitz

Dada una serie convergente de números complejos , pueden ocurrir varios casos al considerar el conjunto de sumas posibles para todas las series obtenidas al reordenar (permutar) los términos de esa serie: ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{\sigma (n)}}$

• la serie puede converger incondicionalmente; entonces, todas las series reordenadas convergen y tienen la misma suma: el conjunto de sumas de las series reordenadas se reduce a un punto; ${\textstyle \sum a_{n}}$
• es posible que la serie no converja incondicionalmente; si S denota el conjunto de sumas de aquellas series reordenadas que convergen, entonces, o el conjunto S es una recta L en el plano complejo  C , de la forma ${\textstyle \sum a_{n}}$
  $${\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbb {R} \},\quad a,b\in \mathbb {C} ,\ b\neq 0,}$$
  o el conjunto S es todo el plano complejo  C .

De manera más general, dada una serie convergente de vectores en un espacio vectorial real de dimensión finita E , el conjunto de sumas de series reordenadas convergentes es un subespacio afín de  E.

Ver también

• Convergencia absoluta § Reordenamientos y convergencia incondicional

Referencias

1. Cauchy 1833, Sección 8; Apóstol 1967, p. 411.
2. Dirichlet 1837, Sección 1.
3. Riemann 1868.
4. Kline 1990, pag. 966.
5. Apóstol 1967, Sección 10.21; Apóstol 1974, Sección 8.18; Rudin 1976, Teorema 3.54; Whittaker & Watson 2021, Sección II.17.
6. Banaszczyk 1991, sección 10; Mauldin 2015, Problema 28 y Problema 106.
7. Spivak, Michael (2008). Cálculo (4ª ed.). Houston, Texas: Publicar o perecer. págs. 482–483. ISBN 978-0-914098-91-1.
8. Apóstol, Tom M. (16 de enero de 1991). Cálculo, volumen 1. John Wiley & Sons. pag. 416.ISBN​ 978-0-471-00005-1.
9. Riemann 1868, pag. 97, citado de la traducción al inglés de 2004.
10. Apóstol 1967, Sección 10.21; Whittaker & Watson 2021, Sección II.17.
11. Sierpiński, Wacław (1910). "Przyczynek do teoryi szeregów rozbieżnych [Contribución a la théorie des séries divergentes]" [Contribución a la teoría de series divergentes]. Sprawozdania Z Posiedzen Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (en polaco). 3 : 89–93.
12. Sierpiński, Wacław (1910). "Uwaga do twierdzenia Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych [Remarque sur le théorème de Riemann relatif aux séries semiconvergentes]" [Observación sobre el teorema de Riemann relacionado con las series semiconvergentes]. Prace Matematyczno-Fizyczne (en polaco). 21 (1): 17–20.
13. Sierpiński, Wacław (1911). "Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes [O pewnej własności szeregów warunkowo zbieżnych]". Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Serie A : 149-158.
14. Wilczyński, Władysław (2007). "Sobre el teorema del trastorno de Riemann". Słupskie Prace Matematyczno-Fizyczne . 4 : 79–82.
15. Filipów, Rafael; Szuca, Piotr (febrero de 2010). "Reordenamiento de series condicionalmente convergentes en un conjunto pequeño". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 362 (1): 64–71. doi : 10.1016/j.jmaa.2009.07.029 .

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de la serie de Riemann". MundoMatemático . Consultado el 1 de febrero de 2023 .