Espacio ultrabornológico

En análisis funcional , un espacio vectorial topológico (TVS) se llama ultrabornológico si cada operador lineal acotado desde otro TVS es necesariamente continuo . Una versión general del teorema del grafo cerrado es válida para espacios ultrabornológicos. Los espacios ultrabornológicos fueron introducidos por Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, p. 17] "espace du type (β)"). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones

Sea un espacio vectorial topológico (TVS). ${\displaystyle X}$

Preliminares

Un disco es un conjunto convexo y equilibrado . Un disco en un TVS se llama bornívoro ^[2] si absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infralimitado ^[2] si asigna discos de Banach a discos acotados.

Un disco en un TVS se llama infrabornívoro si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle D}$ absorbe todos los discos de Banach en ${\displaystyle X.}$

mientras que si es localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

2. el indicador de es un mapa infralimitado; ^[2] ${\displaystyle D}$

mientras que si es localmente convexo y Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

3. ${\displaystyle D}$absorbe todos los discos compactos; ^[2] es decir, es "compactivo". ${\displaystyle D}$

Espacio ultrabornológico

Un TVS es ultrabornológico si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. cada disco infrabornívoro es una vecindad del origen; ^[2] ${\displaystyle X}$

mientras que si es un espacio localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

2. cada operador lineal acotado desde un TVS metrizable completo es necesariamente continuo; ${\displaystyle X}$
3. cada disco infrabornívoro está en una vecindad de 0;
4. ${\displaystyle X}$sea ​​el límite inductivo de los espacios cuando D varía en todos los discos compactos en ; ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X}$
5. una seminorma que está acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua; ${\displaystyle X}$
6. para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal, si está acotada en cada disco de Banach, entonces es continua; ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
7. para cada espacio de Banach y cada mapa lineal, si está acotado en cada disco de Banach, entonces es continuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

mientras que si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

8. ${\displaystyle X}$es un límite inductivo de los espacios de Banach; ^[2]

Propiedades

Todo espacio ultrabornológico localmente convexo tiene un cañón , ^[2] un espacio cuasi ultrabornológico y un espacio bornológico , pero existen espacios bornológicos que no son ultrabornológicos.

• Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios nucleares de Fréchet , que abarcan ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios DF nucleares , que abarcan ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. ^[2] Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.

Todo espacio bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico. ^[2] Así, todo espacio bornológico completo de Hausdorff es ultrabornológico. En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico. ^[2]

El fuerte espacio dual de un espacio de Schwartz completo es ultrabornológico.

Todo espacio bornológico de Hausdorff que sea cuasi completo es ultrabornológico. ^{[ cita necesaria ]}

Contraejemplos

Existen espacios ultrabarrilados que no son ultrabornológicos. Existen espacios ultrabornológicos que no están ultrabarrilados.

Ver también

• Operador lineal acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  - Generalización de la acotación
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Bornología  : generalización matemática de la acotación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio de mapas lineales.
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía
• Bornología vectorial

enlaces externos

• Algunas caracterizaciones de los espacios ultrabornológicos

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, pag. 441.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional . Ámsterdam: North-Holland Publishing Co. págs. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. SEÑOR  0500064.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Grothendieck, Alejandro (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares]. Serie Memorias de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas (en francés). dieciséis . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1216-7. SEÑOR  0075539. OCLC  1315788.
• Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Kriegl, Andreas; Micor, Peter W. (1997). El entorno conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 53. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.