Espacio ultrabornológico

En el análisis funcional , un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina ultrabornológico si cada operador lineal acotado de en otro TVS es necesariamente continuo . Una versión general del teorema del grafo cerrado se aplica a los espacios ultrabornológicos. Los espacios ultrabornológicos fueron introducidos por Alexander Grothendieck (Grothendieck [1955, p. 17] "espace du type (β)"). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones

Sea un espacio vectorial topológico (TVS). ${\displaystyle X}$

Preliminares

Un disco es un conjunto convexo y equilibrado . Un disco en un TVS se llama bornívoro ^[2] si absorbe cada subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infralimitado ^[2] si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Un disco en un TVS se llama infrabornívoro si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle D}$ Absorbe todos los discos de Banach en ${\displaystyle X.}$

Mientras que si es localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

2. El calibre de es un mapa infralimitado; ^[2] ${\displaystyle D}$

Mientras que si es localmente convexo y Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

3. ${\displaystyle D}$absorbe todos los discos compactos; ^[2] es decir, es "compactivorio". ${\displaystyle D}$

Espacio ultrabornológico

Un TVS es ultrabornológico si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. Cada disco infrabornívoro es un vecindario del origen; ^[2] ${\displaystyle X}$

mientras que si es un espacio localmente convexo entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

2. todo operador lineal acotado de en un TVS metrizable completo es necesariamente continuo; ${\displaystyle X}$
3. cada disco infrabornívoro es un vecindario de 0;
4. ${\displaystyle X}$sea ​​el límite inductivo de los espacios a medida que D varía en todos los discos compactos en ; ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X}$
5. una seminorma que está acotada en cada disco de Banach es necesariamente continua; ${\displaystyle X}$
6. para cada espacio localmente convexo y cada aplicación lineal si está acotada en cada disco de Banach entonces es continua; ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
7. para cada espacio de Banach y cada aplicación lineal si está acotada en cada disco de Banach entonces es continua. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

mientras que si es un espacio localmente convexo de Hausdorff entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$

8. ${\displaystyle X}$es un límite inductivo de los espacios de Banach; ^[2]

Propiedades

Todo espacio ultrabornológico localmente convexo es un espacio barrelizado , ^[2] cuasi-ultrabarrelled y un espacio bornológico pero existen espacios bornológicos que no son ultrabornológicos.

• Todo espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios nucleares de Fréchet , que abarca ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Cada espacio ultrabornológico es el límite inductivo de una familia de espacios DF nucleares , que abarca ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos y condiciones suficientes

El producto finito de espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. ^[2] Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.

Todo espacio bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico. ^[2] Por lo tanto, todo espacio bornológico de Hausdorff completo es ultrabornológico. En particular, todo espacio de Fréchet es ultrabornológico. ^[2]

El fuerte espacio dual de un espacio de Schwartz completo es ultrabornológico.

Todo espacio bornológico de Hausdorff que sea cuasi-completo es ultrabornológico. ^{[ cita requerida ]}

Contraejemplos

Existen espacios ultrabarrilados que no son ultrabornológicos. Existen espacios ultrabornológicos que no son ultrabarrilados.

Véase también

• Operador lineal acotado  – Transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)  : generalización de la acotación
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad
• Bornología vectorial

Enlaces externos

• Algunas caracterizaciones de los espacios ultrabornológicos

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, pág. 441.
2. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional . Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5.Sr. 0500064  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1955). "Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares". Memorias de la serie American Mathematical Society (en francés). 16 . Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1216-7. Sr.  0075539. OCLC  1315788.
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El marco conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4.OCLC 37141279  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .