En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un funcional de Minkowski (según Hermann Minkowski ) o función de calibre es una función que recupera una noción de distancia en un espacio lineal.
A menudo se supone/se elige que el conjunto tiene propiedades, como ser un disco absorbente , lo que garantiza que será una seminorma de valor real .
De hecho, cada seminorma de es igual al funcional de Minkowski (es decir, ) de cualquier subconjunto de satisfactorio (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes y el primero y el último también son discos).
Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de manera no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski ( que necesariamente será una seminorma). Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten "traducir" ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de en ciertas propiedades algebraicas de una función en
La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir ). Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como las funciones sublineales y las funcionales lineales reales , que sí permiten valores negativos. Sin embargo, es posible que no tenga un valor real ya que para cualquier valor dado, el valor es un número real si y solo si no está vacío . En consecuencia, generalmente se supone que tiene propiedades (como ser absorbente , por ejemplo) que garantizarán su valor real.
Definición
Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo. Defina el calibre de o el funcional de Minkowski asociado o inducido por como la función valorada en los números reales extendidos , definidos por
Para cualquier si y sólo si no está vacío. Las operaciones aritméticas en se pueden extender para operar en donde para todos
los productos reales distintos de cero y permanecen indefinidos.
Algunas condiciones que hacen que un indicador tenga valor real
En el campo del análisis convexo , el mapa que toma el valor de no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de ), lo que ocurre si y sólo si el conjunto no está vacío para cada
Para que tenga valor real basta con que el origen de pertenezca al interior algebraico o núcleo de in [1]
Si es absorbente en donde recordemos que esto implica que entonces el origen pertenece al interior algebraico de in y por tanto tiene valor real. A continuación se dan las caracterizaciones de cuándo tiene valor real.
Ejemplos motivadores
Ejemplo 1
Considere un espacio vectorial normado con la norma y sea la bola unitaria en Entonces para cada Por lo tanto, el funcional de Minkowski es solo la norma en
Ejemplo 2
Sea un espacio vectorial sin topología con campo escalar subyacente.
Sea cualquier funcional lineal (no necesariamente continuo) . Arreglar
Sea el conjunto
Es subaditivo :
Es absolutamente homogéneo : para todos los escalares.
No es negativo :
Por lo tanto, es una seminorma con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos "agradables". Existe una correspondencia uno a uno entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos. Lo que se entiende precisamente por "agradable" se analiza en la siguiente sección.
Observe que, a diferencia de un requisito más estricto de una norma, no es necesario que
en el ejemplo anterior se pueda tomar un valor distinto de cero del núcleo de
En consecuencia, la topología resultante no tiene por qué ser Hausdorff .
Las condiciones comunes que garantizan que los medidores sean seminormas.
Para garantizar que en adelante se supondrá que
Para que sea una seminorma basta con que sea un disco (es decir, convexo y equilibrado) y absorbente, que son los supuestos más comunes que se le atribuyen.
Teorema [2] - Si hay un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces cuyo funcional de Minkowski es el mapa definido por
es una seminorma sobre
Además,
De manera más general, si es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de entonces es un funcional sublineal no negativo , lo que implica en particular que es subaditivo y homogéneo positivo . Si es absorbente entonces es homogéneo positivo, lo que significa que para todos los reales donde [3]
Si es una función de valor real no negativa que es homogénea positiva, entonces los conjuntos y satisfacen y
si además es absolutamente homogéneo entonces ambos y están equilibrados . [3]
Calibres de discos absorbentes.
Podría decirse que los requisitos más comunes que se imponen a un conjunto para garantizar que sea una seminorma son que sea un disco absorbente .
Debido a lo comunes que son estas suposiciones, ahora se investigarán las propiedades de un funcional de Minkowski cuando es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hicieron pocas (si es que hay alguna) suposición, se pueden aplicar en este caso especial.
Teorema : suponga que es un subconjunto absorbente de.
Se demuestra que:
Además, la funcional de Minkowski es continua si y sólo si es una vecindad del origen en [6]
Si es continua entonces [6]
Requisitos mínimos en el set.
Esta sección investigará el caso más general del calibre de cualquier subconjunto de
El caso especial más común donde se supone que es un disco absorbente se analizó anteriormente.
Propiedades
Todos los resultados de esta sección se pueden aplicar al caso en el que se trate de un disco absorbente.
En todo momento, ¿hay algún subconjunto de
Resumen : supongamos que es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo.
Una aplicación se llama homogénea no negativa [7] si para todos y todos los reales no negativos ya no está definida, una aplicación que toma el infinito como valor no es homogénea no negativa.
Valores reales : es el conjunto de todos los puntos sobre los que se valora real. Entonces tiene valor real si y sólo si, en cuyo caso
Valor en : si y sólo si si y sólo si
Espacio nulo : Sientoncessi y sólo sisi y sólo si existe una secuencia divergente de números reales positivostal quepara todosAdemás, el conjunto cero dees
Comparación con una constante : Si entonces para cualquier si y solo si esto se puede reformular como: Si entonces
Se deduce que si es real entonces donde el conjunto del lado derecho denota y no su subconjunto. Si entonces estos conjuntos son iguales si y sólo si contiene
En particular, si o entonces , pero lo que es más importante, lo contrario no es necesariamente cierto.
Comparación de calibres : para cualquier subconjunto si y solo si así si y solo si
La asignación es de orden inverso en el sentido de que si entonces [8]
Debido a que el conjunto satisface, se deduce que reemplazar con no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo ocurre con y con
Si entonces y tiene la propiedad particularmente buena de que si es real entonces si y sólo si o [nota 1] Además, si es real entonces si y sólo si
Desigualdad subaditiva / triangular :es subaditiva si y sólo sies convexa. Sies convexo, entonces también lo son ambosy, además,es subaditivo.
Escalar el conjunto : si es escalar, entonces para todos.
Por lo tanto, si es real, entonces
Simétrico : es simétrico (lo que significa que para todos ) si y sólo si es un conjunto simétrico (lo que significa que ), lo que ocurre si y sólo si
Homogeneidad absoluta :para todosy todos los escalares de longitud unitaria [nota 2] si y solo sipara todos los escalares de longitud unitaria,en cuyo casopara todosy todoslos escalares distintos de cero Si ademástambién tiene valor real, entonces esto es válido para todos los escalares(es decir es decir,es absolutamente homogéneo [nota 3] ).
para toda la unidad de longitud si y sólo si para toda la unidad de longitud
para todos los escalares unitarios si y sólo si para todos los escalares unitarios si este es el caso entonces para todos los escalares unitarios
Absorbente : Sies convexo o equilibrado y sientonceses absorbente en
Si un conjunto está absorbiendo y luego está absorbiendo en
Si es convexo y entonces en cuyo caso
Restricción a un subespacio vectorial : If es un subespacio vectorial de y if denota la función de Minkowski de on entonces donde denota la restricción de a
Ejemplos
Si es una colección no vacía de subconjuntos de entonces para todos donde
Así para todos
Si es una colección no vacía de subconjuntos de y satisface
entonces para todos
Los siguientes ejemplos muestran que la contención podría ser adecuada.
Ejemplo : Si y entonces , pero que muestra que es posible que sea un subconjunto adecuado de cuando
El siguiente ejemplo muestra que la contención puede ser adecuada cuando el ejemplo puede generalizarse a cualquier situación real.
Suponiendo que el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede lo que satisface pero
Ejemplo : Sea distinto de cero y sea así que y
De ello se sigue que
Eso se sigue de observar eso para cada que contiene
Así y
Sin embargo, de modo que como se desee.
La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski.
El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones que tienen cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente.
Teorema : Sea cualquier función. Las siguientes declaraciones son equivalentes:
Este teorema se puede ampliar para caracterizar ciertas clases de aplicaciones con valores (por ejemplo, funciones sublineales con valores reales ) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad.
Caracterización de los funcionales de Minkowski en conjuntos de estrellas.
Proposición [10] — Sea cualquier función y sea cualquier subconjunto. Las siguientes declaraciones son equivalentes:
es (estrictamente) positivo homogéneo, y
es el funcional de Minkowski de (es decir, ), contiene el origen y tiene forma de estrella en el origen.
El conjunto tiene forma de estrella en el origen si y sólo si siempre y Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto de estrellas . [9]
Caracterización de funcionales de Minkowski que son seminormas
En el siguiente teorema, que se sigue inmediatamente de las afirmaciones anteriores, no se supone que esté absorbiendo y, en cambio, se deduce que está absorbiendo cuando es una seminorma. Tampoco se supone que esté equilibrado (que es una propiedad que a menudo se requiere tener); en su lugar está la condición más débil que para todos los escalares que satisfacen
el requisito común de que sea convexo también se debilita para requerir solo que sea convexo.
Teorema : Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo.
Entonces es una seminorma si y solo si se cumplen todas las condiciones siguientes:
Es suficiente (pero no necesario) que sea convexo.
para todos los escalares unitarios
Esta condición se cumple si está equilibrada o, más generalmente, si para todos los escalares unitarios
en cuyo caso y ambos y serán subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de
Por el contrario, si es una seminorma, entonces el conjunto satisface las tres condiciones anteriores (y por tanto también las conclusiones) y además
, es necesariamente convexo, equilibrado, absorbente y satisface
Corolario : si es un subconjunto convexo, equilibrado y absorbente de un espacio vectorial real o complejo, entonces es una seminorma en
Funciones sublineales positivas y funcionales de Minkowski
Se puede demostrar que una función subaditiva de valor real en un espacio vectorial topológico arbitrario es continua en el origen si y sólo si es uniformemente continua, donde si además es no negativa, entonces es continua si y sólo si es una vecindad abierta en [11]
Si es subaditivo y satisface entonces es continuo si y sólo si su valor absoluto es continuo.
Una función sublineal no negativa es una función homogénea no negativa que satisface la desigualdad del triángulo. De los resultados siguientes se deduce inmediatamente que para tal función si entonces
Dado el funcional de Minkowski es una función sublineal si y sólo si es de valor real y subaditivo, lo que sucede si y sólo si y es convexo.
Correspondencia entre conjuntos convexos abiertos y funciones sublineales continuas positivas
Teorema [11] - Supongamos que es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff) sobre números reales o complejos. Entonces los subconjuntos convexos abiertos no vacíos de son exactamente aquellos conjuntos que tienen la forma para alguna y alguna función sublineal continua positiva en
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^ En general, es falso que si y solo si (por ejemplo, considere cuándo es una norma o una seminorma). La afirmación correcta es: Si entonces si y sólo si o
^ tiene unidad de longitud significa que
^ El mapa se llama absolutamente homogéneo si está bien definido y para todos y cada uno de los escalares (no solo los escalares distintos de cero).
Referencias
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