Funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto

En el análisis matemático , y especialmente en el análisis funcional , el espacio de funciones continuas sobre un espacio de Hausdorff compacto con valores en los números reales o complejos desempeña un papel fundamental . Este espacio, denotado por es un espacio vectorial con respecto a la adición puntual de funciones y a la multiplicación escalar por constantes. Es, además, un espacio normado con norma definida por la norma uniforme . La norma uniforme define la topología de convergencia uniforme de funciones sobre El espacio es un álgebra de Banach con respecto a esta norma. (Rudin 1973, §11.3) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$ $${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Propiedades

• Por el lema de Urysohn , separa puntos de : Si son puntos distintos, entonces existe un tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
• El espacio es de dimensión infinita siempre que es un espacio infinito (ya que separa puntos). Por lo tanto, en particular, generalmente no es localmente compacto . ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• El teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani proporciona una caracterización del espacio dual continuo de Específicamente, este espacio dual es el espacio de las medidas de Radon en ( medidas regulares de Borel ), denotado por Este espacio, con la norma dada por la variación total de una medida, es también un espacio de Banach perteneciente a la clase de espacios ba . (Dunford y Schwartz 1958, §IV.6.3) ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {rca} (X).}$
• Los funcionales lineales positivos en corresponden a medidas de Borel regulares (positivas) en mediante una forma diferente del teorema de representación de Riesz. (Rudin 1966, Capítulo 2) ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Si es infinito, entonces no es reflexivo ni es débilmente completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$
• El teorema de Arzelà-Ascoli es válido: un subconjunto de es relativamente compacto si y sólo si está acotado en la norma de y es equicontinuo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X),}$
• El teorema de Stone-Weierstrass es válido para En el caso de funciones reales, si es un subanillo de que contiene todas las constantes y separa puntos, entonces el cierre de es En el caso de funciones complejas, el enunciado es válido con la hipótesis adicional de que es cerrado bajo conjugación compleja . ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle A}$
• Si y son dos espacios de Hausdorff compactos, y es un homomorfismo de álgebras que conmuta con conjugación compleja, entonces es continuo. Además, tiene la forma para alguna función continua . En particular, si y son isomorfos como álgebras, entonces y son espacios topológicos homeomorfos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(h)(y)=h(f(y))}$ ${\displaystyle f:Y\to X.}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Sea el espacio de ideales máximos en Entonces existe una correspondencia biunívoca entre Δ y los puntos de Además, puede identificarse con la colección de todos los homomorfismos complejos Equipar con la topología inicial con respecto a este emparejamiento con (es decir, la transformada de Gelfand ). Entonces es homeomorfo a Δ equipado con esta topología. (Rudin 1973, §11.13) ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Una sucesión en es débilmente Cauchy si y solo si está (uniformemente) acotada en y es convergente puntualmente. En particular, es solo débilmente completa para un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ ${\displaystyle X}$
• La topología vaga es la topología débil* en el dual de ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X).}$
• El teorema de Banach-Alaoglu implica que cualquier espacio normado es isométricamente isomorfo a un subespacio de para algún ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X.}$

Generalizaciones

El espacio de funciones continuas reales o complejas puede definirse en cualquier espacio topológico . Sin embargo, en el caso no compacto, no es en general un espacio de Banach con respecto a la norma uniforme, ya que puede contener funciones no acotadas. Por lo tanto, es más típico considerar el espacio, denotado aquí, de funciones continuas acotadas en Este es un espacio de Banach (de hecho, un álgebra de Banach conmutativa con identidad) con respecto a la norma uniforme. (Hewitt y Stromberg 1965, Teorema 7.9) ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C_{B}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

A veces es deseable, particularmente en la teoría de la medida , refinar aún más esta definición general considerando el caso especial cuando es un espacio de Hausdorff localmente compacto . En este caso, es posible identificar un par de subconjuntos distinguidos de : (Hewitt y Stromberg 1965, §II.7) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{B}(X)}$

• ${\displaystyle C_{00}(X),}$el subconjunto de funciones que tienen un soporte compacto . Se denomina espacio de funciones que se desvanecen en un entorno del infinito . ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle C_{0}(X),}$el subconjunto de que consiste en funciones tales que para cada existe un conjunto compacto tal que para todos Esto se llama el espacio de funciones que se desvanecen en el infinito . ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle |f(x)|<r}$ ${\displaystyle x\in X\backslash K.}$

El cierre de es precisamente En particular, este último es un espacio de Banach. ${\displaystyle C_{00}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X).}$

Referencias

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Rudin, Walter (1966), Análisis real y complejo , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.