espacio DF

En el campo del análisis funcional , los espacios DF , también escritos ( DF ), son espacios vectoriales topológicos localmente convexos que tienen una propiedad compartida por los espacios vectoriales topológicos metrizables localmente convexos . Desempeñan un papel considerable en la teoría de los productos tensoriales topológicos. ^[1]

Los espacios DF fueron definidos por primera vez por Alexander Grothendieck y estudiados en detalle por él en (Grothendieck 1954). Grothendieck fue llevado a introducir estos espacios por la siguiente propiedad de los duales fuertes de espacios metrizables: si es un espacio metrizable localmente convexo y es una secuencia de vecindades 0 convexas de tal manera que absorbe cada conjunto fuertemente acotado, entonces es una vecindad 0 en (¿Dónde está el espacio dual continuo dotado de la topología dual fuerte)? ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Un espacio vectorial topológico localmente convexo (TVS) es un espacio DF , también escrito ( DF )-espacio , si ^[1] ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es un espacio cuasi-barril numerable (es decir, cada unión contable fuertemente acotada de subconjuntos equicontinuos de es equicontinua), y ${\displaystyle X^{\prime }}$
2. ${\displaystyle X}$posee una secuencia fundamental de acotados (es decir, existe una secuencia contable de subconjuntos acotados de modo que cada subconjunto acotado de está contenido en algún ^[3] ). ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{i}}$

Propiedades

• Sea un espacio DF y sea un subconjunto balanceado convexo de Entonces es una vecindad del origen si y solo si para cada subconjunto acotado, balanceado y convexo hay una vecindad del origen en ^[1] En consecuencia, un mapa lineal de un El espacio DF en un espacio localmente convexo es continuo si su restricción a cada subconjunto acotado del dominio es continua. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B\cap V}$ ${\displaystyle B.}$
• El espacio dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet . ^[4]
• Todo espacio Montel DF de dimensión infinita es un espacio secuencial pero no un espacio de Fréchet-Urysohn .
• Supongamos que es un espacio DF o un espacio LM . Si es un espacio secuencial , entonces es metrizable o es un espacio DF de espacio Montel . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Todo espacio DF cuasi completo está completo. ^[5]
• Si es un espacio DF nuclear completo , entonces es un espacio de Montel . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet es un espacio DF. ^[7] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• El dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio DF ^[8] pero lo converso en general no es cierto ^[8] (lo contrario es la afirmación de que todo espacio DF es el dual fuerte de algún espacio localmente convexo metrizable) . De esto se sigue:
  • Todo espacio normado es un espacio DF. ^[9]
  • Cada espacio de Banach es un espacio DF. ^[1]
  • Todo espacio infrabarril que posee una secuencia fundamental de conjuntos acotados es un espacio DF.
• Cada cociente de Hausdorff de un espacio DF es un espacio DF. ^[10]
• La finalización de un espacio DF es un espacio DF. ^[10]
• La suma localmente convexa de una secuencia de espacios DF es un espacio DF. ^[10]
• Un límite inductivo de una secuencia de espacios DF es un espacio DF. ^[10]
• Supongamos que y son espacios DF. Entonces el producto tensor proyectivo , así como su terminación, de estos espacios es un espacio DF. ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Sin embargo,

• Un producto infinito de espacios DF no triviales (es decir, todos los factores tienen una dimensión distinta de 0) no es un espacio DF. ^[10]
• Un subespacio vectorial cerrado de un espacio DF no es necesariamente un espacio DF. ^[10]
• Existen espacios DF completos que no son TVS-isomorfos al dual fuerte de un TVS localmente convexo metrizable. ^[10]

Ejemplos

Existen espacios DF completos que no son isomorfos TVS con el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable. ^[10] Existen espacios DF que tienen subespacios vectoriales cerrados que no son espacios DF. ^[11]

Ver también

• Espacio en barril  : tipo de espacio vectorial topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Espacio contablemente cuasi-barril
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
• espacio LB
• Espacio LF  - Espacio vectorial topológico
• Espacio nuclear  : una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Citas

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 154-155.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs.152, 154.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 25.
4. Schaefer y Wolff 1999, pág. 196.
5. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
6. Schaefer y Wolff 1999, págs. 199-202.
7. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes locales contables (2014)
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 154.
9. Khaleelulla 1982, pag. 33.
10. Schaefer y Wolff 1999, págs. 196-197.
11. Khaleelulla 1982, págs. 103-110.

Bibliografía

• Grothendieck, Alejandro (1954). "Sobre los espacios (F) y (DF)". Suma Brasil. Matemáticas. (en francés). 3 : 57-123. SEÑOR  0075542.
• Grothendieck, Alejandro (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares]. Serie Memorias de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas (en francés). dieciséis . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-1216-7. SEÑOR  0075539. OCLC  1315788.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Pietsch, Albrecht (1979). Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. vol. 66 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 726. Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.

enlaces externos

• Espacio DF en ncatlab