Método de descenso más pronunciado

Extensión del método de Laplace para aproximar integrales

En matemáticas, el método del descenso más pronunciado o método del punto de silla es una extensión del método de Laplace para aproximar una integral, donde se deforma una integral de contorno en el plano complejo para que pase cerca de un punto estacionario ( punto de silla ), aproximadamente en la dirección del descenso más pronunciado o fase estacionaria. La aproximación del punto de silla se utiliza con integrales en el plano complejo, mientras que el método de Laplace se utiliza con integrales reales.

La integral a estimar suele tener la forma

${\displaystyle \int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,}$

donde C es un contorno y λ es grande. Una versión del método de descenso más pronunciado deforma el contorno de integración C en una nueva integración de trayectoria C′ de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

1. C′ pasa por uno o más ceros de la derivada g ′( z ),
2. la parte imaginaria de g ( z ) es constante en C′ .

El método del descenso más pronunciado fue publicado por primera vez por Debye (1909), quien lo utilizó para estimar funciones de Bessel y señaló que aparecía en la nota inédita de Riemann (1863) sobre funciones hipergeométricas . El contorno del descenso más pronunciado tiene una propiedad minimax, véase Fedoryuk (2001). Siegel (1932) describió algunas otras notas inéditas de Riemann, donde utilizó este método para derivar la fórmula de Riemann-Siegel .

Idea básica

El método del descenso más pronunciado es un método para aproximar una integral compleja de la forma para valores grandes de , donde y son funciones analíticas de . Debido a que el integrando es analítico, el contorno se puede deformar en un nuevo contorno sin cambiar la integral. En particular, se busca un nuevo contorno en el que la parte imaginaria, denotada , de sea constante ( denota la parte real). Entonces y la integral restante se puede aproximar con otros métodos como el método de Laplace . ^[1] $${\displaystyle I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z}$$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle \Im (\cdot )}$ ${\displaystyle g(z)=\Re [g(z)]+i\,\Im [g(z)]}$ ${\displaystyle \Re (\cdot )}$ $${\displaystyle I(\lambda )=e^{i\lambda \Im \{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda \Re \{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,}$$

Etimología

El método se denomina método de descenso más pronunciado porque para el análisis , los contornos de fase constante son equivalentes a los contornos de descenso más pronunciado. ${\displaystyle g(z)}$

Si es una función analítica de , satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann Entonces los contornos de fase constante son también contornos de descenso más pronunciado. ${\displaystyle g(z)=X(z)+iY(z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,}$$

Una estimación sencilla

Sea f , S  : C ⁿ → C y C ⊂ C ⁿ . Si 

${\displaystyle M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,}$

donde denota la parte real, y existe un número real positivo λ ₀ tal que ${\displaystyle \Re (\cdot )}$

${\displaystyle \int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,}$

Entonces se cumple la siguiente estimación: ^[2]

${\displaystyle \left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}$

Prueba de la estimación simple:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}}$

El caso de un único punto de silla no degenerado

Nociones básicas y notación

Sea x un vector complejo de n dimensiones, y

${\displaystyle S''_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,}$

denota la matriz hessiana para una función S ( x ) . Si

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))}$

es una función vectorial, entonces su matriz jacobiana se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.}$

Un punto de silla no degenerado , z ⁰ ∈ C ⁿ , de una función holomorfa S ( z ) es un punto crítico de la función (es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 ) donde la matriz hessiana de la función tiene un determinante no nulo (es decir, ). ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

La siguiente es la herramienta principal para construir las asíntotas de integrales en el caso de un punto de silla no degenerado:

Lema complejo de Morse

El lema de Morse para funciones de valores reales se generaliza de la siguiente manera ^[3] para funciones holomorfas : cerca de un punto de silla no degenerado z ⁰ de una función holomorfa S ( z ) , existen coordenadas en términos de las cuales S ( z ) − S ( z ⁰ ) es exactamente cuadrática. Para hacer esto preciso, sea S una función holomorfa con dominio W ⊂ C ⁿ , y sea z ⁰ en W un punto de silla no degenerado de S , es decir, ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y . Entonces existen vecindades U ⊂ W de z ⁰ y V ⊂ C ⁿ de w = 0 , y una función holomorfa biyectiva φ  : V → U con φ (0) = z ⁰ tal que ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})\neq 0}$

${\displaystyle \forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,}$

Aquí, los μ _j son los valores propios de la matriz . ${\displaystyle S_{zz}''(z^{0})}$

Una ilustración del lema Morse complejo

Prueba del lema complejo de Morse

La siguiente prueba es una generalización directa de la prueba del Lema de Morse real , que se puede encontrar en. ^[4] Comenzamos demostrando

Enunciado auxiliar. Sea f   : C ⁿ → C holomorfa en un entorno del origen y f  (0) = 0 . Entonces , en algún entorno, existen funciones g _i  : C ⁿ → C tales que donde cada g _i es holomorfa y   $${\displaystyle f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$$ $${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$$

Desde la identidad

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,}$

Concluimos que

${\displaystyle g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt}$

y

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

Sin pérdida de generalidad, trasladamos el origen a z ⁰ , de modo que z ⁰ = 0 y S (0) = 0 . Utilizando la Proposición Auxiliar, tenemos

${\displaystyle S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).}$

Dado que el origen es un punto de silla,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,}$

También podemos aplicar la Enunciación Auxiliar a las funciones g _i ( z ) y obtener

Recordemos que una matriz arbitraria A puede representarse como una suma de matrices simétricas A ^{( s )} y antisimétricas A ^{( a ) ,}

${\displaystyle A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).}$

La contracción de cualquier matriz simétrica B con una matriz arbitraria A es

es decir, el componente antisimétrico de A no contribuye porque

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.}$

Por lo tanto, se puede suponer que h _ij ( z ) en la ecuación (1) es simétrica con respecto al intercambio de los índices i y j . Nótese que

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);}$

Por lo tanto, det( h _ij (0)) ≠ 0 porque el origen es un punto de silla no degenerado.

Demostremos por inducción que existen coordenadas locales u = ( u ₁ , ... u _n ), z = ψ ( u ), 0 = ψ (0) , tales que

Primero, supongamos que existen coordenadas locales y = ( y ₁ , ... y _n ), z = φ ( y ), 0 = φ (0) , tales que

donde H _ij es simétrica debido a la ecuación (2). Mediante un cambio lineal de las variables ( y _r , ... y _n ) , podemos asegurar que H _rr (0) ≠ 0 . De la regla de la cadena , tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;}$

De dónde,

${\displaystyle 0\neq \det S''_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).}$

La matriz ( H _ij (0)) se puede reformular en la forma normal de Jordan : ( H _ij (0)) = LJL ⁻¹ , donde L da la transformación lineal no singular deseada y la diagonal de J contiene valores propios distintos de cero de ( H _ij (0)) . Si H _ij (0) ≠ 0 entonces, debido a la continuidad de H _ij ( y ) , también debe ser no nula en algún entorno del origen. Habiendo introducido , escribimos ${\displaystyle {\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}}$

Motivados por la última expresión, introducimos nuevas coordenadas z = η ( x ), 0 = η (0),

${\displaystyle x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.}$

El cambio de las variables y ↔ x es localmente invertible ya que el jacobiano correspondiente no es cero,

${\displaystyle \left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].}$

Por lo tanto,

Comparando las ecuaciones (4) y (5), concluimos que la ecuación (3) se verifica. Denotando los valores propios de por μ _j , la ecuación (3) puede reescribirse como ${\displaystyle S''_{zz}(0)}$

Por lo tanto,

De la ecuación (6), se deduce que . La forma normal de Jordan de se lee , donde J _z es una matriz diagonal superior que contiene los valores propios y det P ≠ 0 ; por lo tanto, . Obtenemos de la ecuación (7) ${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ ${\displaystyle S''_{zz}(0)}$ ${\displaystyle S''_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}}$ ${\displaystyle \det S''_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$

${\displaystyle \det S''_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.}$

Si , entonces intercambiar dos variables asegura que . ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1}$ ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1}$

La expansión asintótica en el caso de un único punto de silla no degenerado

Asumir

1.  f  ( z ) y S ( z ) sonfunciones holomorfas en un conjunto abierto , acotado y simplemente conexo Ω _x ⊂ C ⁿ tales que I _x = Ω _x ∩ R ⁿ es conexo ;
2. ${\displaystyle \Re (S(z))}$tiene un único máximo: para exactamente un punto x ⁰ ∈ I _x ; ${\displaystyle \max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))}$
3. x ⁰ es un punto de silla no degenerado (es decir, ∇ S ( x ⁰ ) = 0 y). ${\displaystyle \det S''_{xx}(x^{0})\neq 0}$

Entonces, se cumple la siguiente asintótica

donde μ _j son valores propios del hessiano y se definen con argumentos ${\displaystyle S''_{xx}(x^{0})}$ ${\displaystyle (-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}}$

Esta afirmación es un caso especial de los resultados más generales presentados en Fedoryuk (1987). ^[5]

Derivación de la ecuación (8)

Una ilustración para la derivación de la ecuación (8)

Primero, deformamos el contorno I _x en un nuevo contorno que pasa por el punto de silla x ⁰ y comparte el límite con I _x . Esta deformación no cambia el valor de la integral I ( λ ) . Empleamos el Lema de Morse complejo para cambiar las variables de integración. Según el lema, la función φ ( w ) mapea un entorno x ⁰ ∈ U ⊂ Ω _x sobre un entorno Ω _w que contiene el origen. La integral I ( λ ) se puede dividir en dos: I ( λ ) = I ₀ ( λ ) + I ₁ ( λ ) , donde I ₀ ( λ ) es la integral sobre , mientras que I ₁ ( λ ) es sobre (es decir, la parte restante del contorno I′ _x ). Como la última región no contiene el punto de silla x ⁰ , el valor de I ₁ ( λ ) es exponencialmente menor que I ₀ ( λ ) cuando λ → ∞ ; ^[6] por lo tanto, se ignora I ₁ ( λ ) . Introduciendo el contorno I _w tal que , tenemos ${\displaystyle I'_{x}\subset \Omega _{x}}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}}$ ${\displaystyle I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})}$

Recordando que x ⁰ = φ (0) así como , desarrollamos la función preexponencial en una serie de Taylor y conservamos solo el término principal de orden cero ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1}$ ${\displaystyle f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]}$

Aquí, hemos sustituido la región de integración I _w por R ⁿ porque ambas contienen el origen, que es un punto de silla, por lo tanto son iguales hasta un término exponencialmente pequeño. ^[7] Las integrales en el lado derecho de la ecuación (11) se pueden expresar como

De esta representación, concluimos que la condición (9) debe cumplirse para que los lados derecho e izquierdo de la ecuación (12) coincidan. Según el supuesto 2, es una forma cuadrática definida negativamente (es decir, ) lo que implica la existencia de la integral , que se calcula fácilmente ${\displaystyle \Re \left(S_{xx}''(x^{0})\right)}$ ${\displaystyle \Re (\mu _{j})<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

La ecuación (8) también se puede escribir como

donde la rama de

${\displaystyle {\sqrt {\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)}}}$

se selecciona de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\det \left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Consideremos casos especiales importantes:

• Si S ( x ) tiene un valor real para x real y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método de Laplace multidimensional ), entonces ^[8] $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)=0.}$$
• Si S ( x ) es puramente imaginario para x real (es decir, para todo x en R ⁿ ) y x ⁰ en R ⁿ (también conocido como el método de fase estacionaria multidimensional ), ^[9] entonces ^[10] donde denota la firma de la matriz , que es igual al número de valores propios negativos menos el número de positivos. Es de destacar que en aplicaciones del método de fase estacionaria a la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica (así como en óptica), Ind está relacionado con el índice de Maslov , véase, por ejemplo, Chaichian & Demichev (2001) y Schulman (2005). ${\displaystyle \Re (S(x))=0}$ $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S_{xx}''(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S_{xx}''(x_{0}),}$$ ${\displaystyle {\text{sign }}S_{xx}''(x_{0})}$ ${\displaystyle S_{xx}''(x_{0})}$

El caso de múltiples puntos de silla no degenerados

Si la función S ( x ) tiene múltiples puntos de silla aislados no degenerados, es decir,

${\displaystyle \nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},}$

dónde

${\displaystyle \left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}}$

es una cubierta abierta de Ω _x , entonces el cálculo de la asintótica integral se reduce al caso de un único punto de silla empleando la partición de la unidad . La partición de la unidad nos permite construir un conjunto de funciones continuas ρ _k ( x ) : Ω _x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ K , tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}}$

De dónde,

${\displaystyle \int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.}$

Por lo tanto, como λ → ∞ tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S_{xx}''\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),}$

donde la ecuación (13) se utilizó en la última etapa, y la función preexponencial f  ( x ) al menos debe ser continua. 

Los otros casos

Cuando ∇ S ( z ⁰ ) = 0 y , el punto z ⁰ ∈ C ⁿ se llama punto de silla degenerado de una función S ( z ) . ${\displaystyle \det S''_{zz}(z^{0})=0}$

Calcular la asintótica de

${\displaystyle \int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,}$

cuando λ → ∞,   f  ( x ) es continua y S ( z ) tiene un punto de silla degenerado, es un problema muy rico, cuya solución se basa en gran medida en la teoría de catástrofes . Aquí, la teoría de catástrofes reemplaza el lema de Morse, válido solo en el caso no degenerado, para transformar la función S ( z ) en una de la multitud de representaciones canónicas. Para más detalles, véase, por ejemplo, Poston & Stewart (1978) y Fedoryuk (1987).

Las integrales con puntos de silla degenerados aparecen naturalmente en muchas aplicaciones, incluidas las cáusticas ópticas y la aproximación multidimensional WKB en mecánica cuántica.

Los otros casos como, por ejemplo, f  ( x ) y/o S ( x ) son discontinuos o cuando un extremo de S ( x ) se encuentra en el límite de la región de integración, requieren un cuidado especial (véase, por ejemplo, Fedoryuk (1987) y Wong (1989)). 

Extensiones y generalizaciones

Una extensión del método de descenso más pronunciado es el llamado método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado . Aquí, en lugar de integrales, es necesario evaluar asintóticamente soluciones de problemas de factorización de Riemann-Hilbert .

Dado un contorno C en la esfera compleja , una función f definida en ese contorno y un punto especial, digamos el infinito, se busca una función M holomorfa que se aleje del contorno C , con un salto prescrito a través de C y con una normalización dada en el infinito. Si f y, por lo tanto, M son matrices en lugar de escalares, este es un problema que, en general, no admite una solución explícita.

En este caso, es posible realizar una evaluación asintótica siguiendo el método de la fase estacionaria lineal/descenso más pronunciado. La idea es reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann-Hilbert dado a la de un problema de Riemann-Hilbert más simple y explícitamente solucionable. El teorema de Cauchy se utiliza para justificar las deformaciones del contorno de salto.

La fase estacionaria no lineal fue introducida por Deift y Zhou en 1993, basándose en trabajos anteriores del matemático ruso Alexander Its. Un método de descenso más pronunciado (propiamente dicho) no lineal fue introducido por Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller en 2003, basándose en trabajos previos de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Al igual que en el caso lineal, las curvas de descenso más pronunciado resuelven un problema de mínimo-máximo. En el caso no lineal, resultan ser "curvas en S" (definidas en un contexto diferente en los años 80 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).

El método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado tiene aplicaciones en la teoría de ecuaciones de solitones y modelos integrables , matrices aleatorias y combinatoria .

Otra extensión es el método de Chester-Friedman-Ursell para fusionar puntos de silla y extensiones asintóticas uniformes.

Véase también

• Integral de Pearcey
• Aproximación de fase estacionaria
• El método de Laplace

Notas

1. Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I. Nueva York, NY: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4757-3069-2. ISBN 978-1-4419-3187-0.
2. Una versión modificada del Lema 2.1.1 en la página 56 en Fedoryuk (1987).
3. Lema 3.3.2 en la página 113 en Fedoryuk (1987)
4. Poston y Stewart (1978), página 54; véase también el comentario en la página 479 en Wong (1989).
5. Fedoryuk (1987), páginas 417-420.
6. Esta conclusión se desprende de una comparación entre la asintótica final para I ₀ ( λ ) , dada por la ecuación (8), y una estimación simple para la integral descartada I ₁ ( λ ) .
7. Esto se justifica comparando la integral asintótica sobre R ⁿ [ver ecuación (8)] con una estimación simple para la parte alterada.
8. Véase la ecuación (4.4.9) en la página 125 en Fedoryuk (1987)
9. En rigor, este caso no se puede inferir de la ecuación (8) porque se viola el segundo supuesto utilizado en la derivación. Para incluir el caso analizado de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debe reemplazarse por ${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.}$
10. Véase la ecuación (2.2.6') en la página 186 en Fedoryuk (1987)

Referencias

• Chaichian, M.; Demichev, A. (2001), Integrales de trayectoria en física, volumen 1: Proceso estocástico y mecánica cuántica , Taylor & Francis, pág. 174, ISBN 075030801X
• Debye, P. (1909), "Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index", Mathematische Annalen , 67 (4): 535–558, doi :10.1007/BF01450097, S2CID  122219667Traducción al inglés en Debye, Peter JW (1954), The gathered papers of Peter JW Debye , Interscience Publishers, Inc., Nueva York, ISBN 978-0-918024-58-9, Sr.  0063975
• Deift, P.; Zhou, X. (1993), "Un método de descenso más pronunciado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert. Asintótica para la ecuación MKdV", Ann. of Math. , vol. 137, no. 2, The Annals of Mathematics, vol. 137, no. 2, págs. 295–368, arXiv : math/9201261 ​​, doi :10.2307/2946540, JSTOR  2946540, S2CID  12699956.
• Erdelyi, A. (1956), Expansiones asintóticas , Dover.
• Fedoryuk, MV (2001) [1994], "Método del punto de silla de montar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Fedoryuk, MV (1987), Asintótica: integrales y series , Nauka, Moscú[en ruso].
• Kamvissis, S.; McLaughlin, KT-R.; Miller, P. (2003), "Conjuntos de solitones semiclásicos para la ecuación de Schrödinger no lineal focalizada", Anales de estudios matemáticos , vol. 154, Princeton University Press.
• Riemann, B. (1863), Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita(Nota inédita, reproducida en los documentos recopilados de Riemann.)
• Siegel, CL (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik , 2 : 45–80Reimpreso en Gesammelte Abhandlungen, vol. 1. Berlín: Springer-Verlag, 1966.
  • Traducido en Barkan, Eric; Sklar, David (2018), "Sobre el Nachlass de Riemann para la teoría analítica de números: una traducción del Uber de Siegel", arXiv : 1810.05198 [math.HO].
• Poston, T.; Stewart, I. (1978), Teoría de catástrofes y sus aplicaciones , Pitman.
• Schulman, LS (2005), "Cap. 17: La fase de la amplitud semiclásica", Técnicas y aplicaciones de la integración de trayectorias , Dover, ISBN 0486445283
• Wong, R. (1989), Aproximaciones asintóticas de integrales , Academic Press.