Aproximación WKB

Método de solución de ecuaciones diferenciales lineales

En física matemática , la aproximación WKB o método WKB es un método para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes que varían espacialmente. Se utiliza normalmente para un cálculo semiclásico en mecánica cuántica en el que la función de onda se reformula como una función exponencial, se expande de forma semiclásica y luego se considera que la amplitud o la fase cambian lentamente.

El nombre es una sigla de Wentzel–Kramers–Brillouin . También se lo conoce como método LG o Liouville–Green . Otras combinaciones de letras que se usan con frecuencia son JWKB y WKBJ , donde la "J" significa Jeffreys.

Breve historia

Este método debe su nombre a los físicos Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers y Léon Brillouin , quienes lo desarrollaron en 1926. ^[1] En 1923, el matemático Harold Jeffreys había desarrollado un método general para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, una clase que incluye la ecuación de Schrödinger . La ecuación de Schrödinger en sí no se desarrolló hasta dos años después, y Wentzel, Kramers y Brillouin aparentemente desconocían este trabajo anterior, por lo que a menudo se descuida el mérito de Jeffreys. Los primeros textos de mecánica cuántica contienen cualquier número de combinaciones de sus iniciales, incluidas WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ. Robert B. Dingle ha realizado una discusión autorizada y una revisión crítica. ^[2]

Apariciones anteriores de métodos esencialmente equivalentes son: Francesco Carlini en 1817, Joseph Liouville en 1837, George Green en 1837, Lord Rayleigh en 1912 y Richard Gans en 1915. Se puede decir que Liouville y Green fundaron el método en 1837, y también se lo conoce comúnmente como el método Liouville-Green o LG. ^{[3] [4]}

La importante contribución de Jeffreys, Wentzel, Kramers y Brillouin al método fue la inclusión del tratamiento de los puntos de inflexión , conectando las soluciones evanescentes y oscilatorias a ambos lados del punto de inflexión. Por ejemplo, esto puede ocurrir en la ecuación de Schrödinger, debido a una colina de energía potencial .

Formulación

En general, la teoría WKB es un método para aproximar la solución de una ecuación diferencial cuya derivada más alta se multiplica por un parámetro pequeño ε . El método de aproximación es el siguiente.

Para una ecuación diferencial, supongamos una solución en forma de una expansión en serie asintótica en el límite δ → 0. La escala asintótica de δ en términos de ε estará determinada por la ecuación (véase el ejemplo siguiente). $${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$ $${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

Sustituir el ansatz anterior en la ecuación diferencial y cancelar los términos exponenciales permite resolver un número arbitrario de términos S _n ( x ) en la expansión.

La teoría WKB es un caso especial de análisis de escalas múltiples . ^{[5] [6] [7]}

Un ejemplo

Este ejemplo proviene del texto de Carl M. Bender y Steven Orszag . ^[7] Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden donde . Sustituyendo en la ecuación se obtiene $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$ $${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$ $${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$$

Para el orden principal en ϵ (suponiendo, por el momento, que la serie será asintóticamente consistente), lo anterior se puede aproximar como $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$$

En el límite δ → 0 , el equilibrio dominante viene dado por $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$$

Por lo tanto, δ es proporcional a ϵ . Al igualarlos y comparar las potencias, se obtiene lo que puede reconocerse como la ecuación eikonal , con solución $${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

Considerando potencias de primer orden de ϵ se fija Esto tiene la solución donde k ₁ es una constante arbitraria. $${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$$ $${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

Ahora tenemos un par de aproximaciones al sistema (un par, porque S ₀ puede tomar dos signos); la aproximación WKB de primer orden será una combinación lineal de las dos: $${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$$

Los términos de orden superior se pueden obtener observando ecuaciones para potencias mayores de δ . Explícitamente, para n ≥ 2 . $${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0}$$

Precisión de la serie asintótica

La serie asintótica para y ( x ) es normalmente una serie divergente , cuyo término general δ ⁿ S _n ( x ) empieza a aumentar a partir de un cierto valor n = n _max . Por lo tanto, el error más pequeño que se consigue con el método WKB es, en el mejor de los casos, del orden del último término incluido.

Para la ecuación con Q ( x ) < 0 una función analítica, el valor y la magnitud del último término se pueden estimar de la siguiente manera: ^[8] donde es el punto en el que se necesita evaluar y es el punto de inflexión (complejo) donde , más cercano a . $${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ ${\displaystyle n_{\max }}$ $${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$ $${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{\ast }}$ ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

El número nmax se puede interpretar como el número de oscilaciones entre y el punto _de inflexión más cercano. ${\displaystyle x_{0}}$

Si es una función que cambia lentamente, el número nmax será grande y el error mínimo de la serie asintótica será exponencialmente pequeño _. ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ $${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

Aplicación en mecánica cuántica no relativista

Aproximación WKB al potencial indicado. Las líneas verticales indican los puntos de inflexión.

Densidad de probabilidad para la función de onda aproximada. Las líneas verticales muestran los puntos de inflexión.

El ejemplo anterior se puede aplicar específicamente a la ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo , que se puede reescribir como $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

Aproximación a partir de los puntos de giro

La función de onda puede reescribirse como la exponencial de otra función S (estrechamente relacionada con la acción ), que podría ser compleja, de modo que su sustitución en la ecuación de Schrödinger dé: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

A continuación, se utiliza la aproximación semiclásica. Esto significa que cada función se desarrolla como una serie de potencias en ħ . Sustituyendo en la ecuación, y conservando solo los términos hasta el primer orden en ℏ , obtenemos: que da las siguientes dos relaciones: que se pueden resolver para sistemas 1D, la primera ecuación resulta en: y la segunda ecuación calculada para los posibles valores de los anteriores, generalmente se expresa como: $${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$ $${\displaystyle (\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

Por lo tanto, la función de onda resultante en la aproximación WKB de primer orden se presenta como, ^{[9] [10]}

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}+C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx}}{\sqrt[{4}]{2m\mid E-V(x)\mid }}}}$

En la región clásicamente permitida, es decir, la región donde el integrando en el exponente es imaginario y la función de onda aproximada es oscilatoria. En la región clásicamente prohibida , las soluciones son crecientes o decrecientes. Es evidente en el denominador que ambas soluciones aproximadas se vuelven singulares cerca de los puntos de inflexión clásicos , donde E = V ( x ) , y no pueden ser válidas. (Los puntos de inflexión son los puntos donde la partícula clásica cambia de dirección). ${\displaystyle V(x)<E}$ ${\displaystyle V(x)>E}$

Por lo tanto, cuando , la función de onda puede elegirse para expresarse como: y para , La integración en esta solución se calcula entre el punto de inflexión clásico y la posición arbitraria x'. ${\displaystyle E>V(x)}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$ ${\displaystyle V(x)>E}$ $${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

Validez de las soluciones WKB

De la condición: $${\displaystyle (S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0}$$

Resulta que: ${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

Para lo cual las dos desigualdades siguientes son equivalentes ya que los términos en ambos lados son equivalentes, como se utiliza en la aproximación WKB:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}}$$

La primera desigualdad se puede utilizar para demostrar lo siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

donde se utiliza y es la longitud de onda local de De Broglie de la función de onda. La desigualdad implica que se supone que la variación del potencial varía lentamente. ^{[10] [11]} Esta condición también se puede reformular como el cambio fraccionario de o el del momento , sobre la longitud de onda , siendo mucho menor que . ^[12] ${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$ ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle E-V(x)}$ ${\textstyle p(x)}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1}$

De manera similar, se puede demostrar que también tiene restricciones basadas en supuestos subyacentes para la aproximación WKB que: lo que implica que la longitud de onda de De Broglie de la partícula varía lentamente. ^[11] ${\textstyle \lambda (x)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

Comportamiento cerca de los puntos de inflexión

Ahora consideramos el comportamiento de la función de onda cerca de los puntos de inflexión. Para ello, necesitamos un método diferente. Cerca de los primeros puntos de inflexión, x ₁ , el término puede desarrollarse en una serie de potencias, ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

En primer orden, se encuentra que esta ecuación diferencial se conoce como ecuación de Airy , y la solución puede escribirse en términos de funciones de Airy , ^[13] $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$ $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).}$$

Aunque para cualquier valor fijo de , la función de onda está limitada cerca de los puntos de inflexión, la función de onda alcanzará su máximo allí, como se puede ver en las imágenes anteriores. A medida que se hace más pequeño, la altura de la función de onda en los puntos de inflexión aumenta. También se deduce de esta aproximación que: ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}$$

Condiciones de conexión

Ahora queda construir una solución global (aproximada) para la ecuación de Schrödinger. Para que la función de onda sea integrable al cuadrado, debemos tomar solo la solución que decae exponencialmente en las dos regiones clásicamente prohibidas. Estas deben entonces "conectarse" correctamente a través de los puntos de inflexión a la región clásicamente permitida. Para la mayoría de los valores de E , este procedimiento de coincidencia no funcionará: la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida no concordará con la función obtenida al conectar la solución cerca de la región clásicamente permitida. El requisito de que las dos funciones concuerden impone una condición sobre la energía E , que dará una aproximación a los niveles de energía cuántica exactos. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Aproximación WKB al potencial indicado. Las líneas verticales muestran el nivel de energía y su intersección con el potencial muestra los puntos de inflexión con líneas de puntos. El problema tiene dos puntos de inflexión clásicos con at y at . ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

Los coeficientes de la función de onda se pueden calcular para un problema simple que se muestra en la figura. Supongamos que el primer punto de inflexión, donde el potencial disminuye con respecto a x, se produce en y el segundo punto de inflexión, donde el potencial aumenta con respecto a x, se produce en . Dado que esperamos que las funciones de onda tengan la siguiente forma, podemos calcular sus coeficientes conectando las diferentes regiones mediante las funciones de Airy y Bairy. ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}}$$

Primer punto de inflexión clásico

Para la condición de potencial decreciente, por ejemplo, o en el ejemplo dado que se muestra en la figura, necesitamos que la función exponencial decaiga para valores negativos de x de modo que la función de onda llegue a cero. Considerando que las funciones de Bairy son la fórmula de conexión requerida, obtenemos: ^[14] ${\displaystyle U_{1}<0}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}}$$

No podemos utilizar la función Airy, ya que da un comportamiento exponencial creciente para x negativo. Al comparar las soluciones WKB y comparar sus comportamientos en , concluimos: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle A=-D=N}$, y . ${\displaystyle B=C=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Por lo tanto, dejando una constante de normalización igual a , la función de onda se da para un potencial creciente (con x) como: ^[10] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$

Segundo punto de inflexión clásico

Para la condición de potencial creciente, por ejemplo, en el ejemplo dado que se muestra en la figura, necesitamos que la función exponencial decaiga para valores positivos de x de modo que la función de onda llegue a cero. Considerando que las funciones de Airy son la fórmula de conexión requerida, obtenemos: ^[14] ${\displaystyle U_{1}>0}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

No podemos utilizar la función de Bairy porque da un comportamiento exponencial creciente para x positivo. Al comparar las soluciones de WKB y comparar sus comportamientos en , concluimos: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2B=C=N'}$, y . ${\displaystyle D=A=0}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

Por lo tanto, dejando una constante de normalización igual a , la función de onda se da para un potencial creciente (con x) como: ^[10] ${\displaystyle N'}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$

Función de onda oscilante común

Para hacer coincidir las dos soluciones para la región , se requiere que la diferencia entre los ángulos en estas funciones sea donde la diferencia de fase representa el cambio de coseno a seno para la función de onda y la diferencia, ya que la negación de la función puede ocurrir al dejar . Por lo tanto: Donde n es un entero no negativo. Esta condición también se puede reescribir diciendo que: ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$$

El área encerrada por la curva de energía clásica es . ${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

De cualquier manera, la condición de la energía es una versión de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld , con una " corrección de Maslov " igual a 1/2. ^[15]

Es posible demostrar que, tras unir las aproximaciones en las distintas regiones, se obtiene una buena aproximación a la función propia real. En particular, las energías de Bohr-Sommerfeld corregidas por Maslov son buenas aproximaciones a los valores propios reales del operador de Schrödinger. ^[16] En concreto, el error en las energías es pequeño en comparación con el espaciamiento típico de los niveles de energía cuántica. Por tanto, aunque la "vieja teoría cuántica" de Bohr y Sommerfeld fue finalmente sustituida por la ecuación de Schrödinger, quedan algunos vestigios de esa teoría, como aproximación a los valores propios del operador de Schrödinger adecuado.

Condiciones generales de conexión

Así, de los dos casos se obtiene la fórmula de conexión en un punto de inflexión clásico, : ^[11] ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

y:

${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

La función de onda WKB en el punto de inflexión clásico que se aleja de él se aproxima mediante la función oscilatoria seno o coseno en la región clásicamente permitida, representada a la izquierda, y exponenciales crecientes o decrecientes en la región prohibida, representada a la derecha. La implicación se desprende del predominio de la exponencial creciente en comparación con la exponencial decreciente. Por lo tanto, las soluciones de la parte oscilante o exponencial de las funciones de onda pueden implicar la forma de la función de onda en la otra región del potencial, así como en el punto de inflexión asociado.

Densidad de probabilidad

Se puede calcular entonces la densidad de probabilidad asociada a la función de onda aproximada. La probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en la región clásicamente prohibida es pequeña. Mientras tanto, en la región clásicamente permitida, la probabilidad de que la partícula cuántica se encuentre en un intervalo dado es aproximadamente la fracción de tiempo que la partícula clásica pasa en ese intervalo durante un período de movimiento. ^[17] Dado que la velocidad de la partícula clásica tiende a cero en los puntos de inflexión, pasa más tiempo cerca de los puntos de inflexión que en otras regiones clásicamente permitidas. Esta observación explica el pico en la función de onda (y su densidad de probabilidad) cerca de los puntos de inflexión.

En Müller-Kirsten se tratan las aplicaciones del método WKB a las ecuaciones de Schrödinger con una gran variedad de potenciales y la comparación con métodos de perturbación e integrales de trayectoria. ^[18]

Ejemplos en mecánica cuántica

Aunque el potencial WKB sólo se aplica a potenciales que varían suavemente, ^[11] en los ejemplos donde las paredes rígidas producen infinitos para el potencial, la aproximación WKB todavía se puede utilizar para aproximar funciones de onda en regiones de potenciales que varían suavemente. Dado que las paredes rígidas tienen un potencial altamente discontinuo, la condición de conexión no se puede utilizar en estos puntos y los resultados obtenidos también pueden diferir de los del tratamiento anterior. ^[10]

Estados ligados para 1 pared rígida

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Encontrando la función de onda en la región límite, es decir, dentro de los puntos de inflexión clásicos y , considerando aproximaciones alejadas de y respectivamente, tenemos dos soluciones: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}}$

Como la función de onda debe desaparecer cerca de , concluimos . Para funciones aéreas cerca de , requerimos . Requerimos que los ángulos dentro de estas funciones tengan una diferencia de fase donde la diferencia de fase explica el cambio de seno a coseno y permite . ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle \alpha =0}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi (n+1/2)}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$Donde n es un entero no negativo. ^[10] Nótese que el lado derecho de esto sería, en cambio, si n solo se permitiera a números naturales distintos de cero. ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

Por lo tanto concluimos que, para In 3 dimensiones con simetría esférica, se cumple la misma condición donde la posición x se reemplaza por la distancia radial r, debido a su similitud con este problema. ^[19] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

Estados ligados dentro de 2 paredes rígidas

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Porque entre y que son por tanto los puntos de inflexión clásicos, considerando aproximaciones alejadas de y respectivamente tenemos dos soluciones: ${\textstyle E\geq V(x)}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}}$

Dado que las funciones de onda deben desaparecer en y . Aquí, la diferencia de fase solo debe tener en cuenta lo que permite . Por lo tanto, la condición se convierte en: ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\displaystyle n\pi }$ ${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$donde pero no es igual a cero ya que hace que la función de onda sea cero en todas partes. ^[10] ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

Pelota que rebota cuánticamente

Considere el siguiente potencial al que está sometida una pelota que rebota:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

Las soluciones de la función de onda de lo anterior se pueden resolver utilizando el método WKB considerando únicamente soluciones de paridad impar del potencial alternativo . Se identifican los puntos de inflexión clásicos y . Aplicando así la condición de cuantificación obtenida en WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$ ${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$ ${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

Dejando donde , resolviendo para con dado , obtenemos la energía mecánica cuántica de una pelota que rebota: ^[20] ${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$ ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$ ${\textstyle E}$ ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

Este resultado también es consistente con el uso de la ecuación del estado límite de una pared rígida sin necesidad de considerar un potencial alternativo.

Efecto túnel cuántico

El potencial de tales sistemas se puede expresar en la forma:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

dónde . ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

Sus soluciones para una onda incidente se dan como

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

donde la función de onda en la región clásicamente prohibida es la aproximación WKB pero sin considerar el crecimiento exponencial. Esta es una suposición razonable para barreras de potencial amplias a través de las cuales no se espera que la función de onda crezca a magnitudes altas.

Por el requisito de continuidad de la función de onda y sus derivadas, se puede demostrar la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

donde y . ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

Utilizamos expresamos los valores sin signos como: ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

Por tanto, el coeficiente de transmisión es:

$${\displaystyle T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

donde , y . El resultado puede expresarse como donde . ^[10] ${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$ ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$ ${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ ${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$ ${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Función aérea
• Método de Einstein-Brillouin-Keller
• Emisión de electrones de campo
• Instantáneo
• Corrección de Langer
• Índice de Maslov
• Método de equilibrio dominante
• Método de expansiones asintóticas emparejadas
• Método de descenso más pronunciado
• Antigua teoría cuántica
• Métodos de perturbación
• Tunelización cuántica
• Aproximación de envolvente que varía lentamente
• Aproximación supersimétrica WKB

Referencias

1. Hall 2013 Sección 15.1
2. Dingle, Robert Balson (1973). Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación . Academic Press. ISBN 0-12-216550-0.
3. Adrian E. Gill (1982). Dinámica atmósfera-océano . Academic Press. pág. 297. ISBN 978-0-12-283522-3.Liouville -Verde WKBJ WKB.
4. Renato Spigler y Marco Vianello (1998). "Un estudio sobre la aproximación de Liouville–Green (WKB) para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden". En Saber Elaydi; I. Győri y GE Ladas (eds.). Avances en ecuaciones diferenciales: actas de la Segunda Conferencia Internacional sobre Ecuaciones Diferenciales: Veszprém, Hungría, 7-11 de agosto de 1995. CRC Press. pág. 567. ISBN 978-90-5699-521-8.
5. Filippi, Paul (1999). Acústica: física básica, teoría y métodos. Academic Press. pág. 171. ISBN 978-0-12-256190-0.
6. Kevorkian, J.; Cole, JD (1996). Métodos de perturbación singular y de escala múltiple . Springer. ISBN 0-387-94202-5.
7. Bender, Carl M. ; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Springer. págs. 549–568. ISBN 0-387-98931-5.
8. Winitzki, S. (2005). "Producción de partículas cosmológicas y precisión de la aproximación WKB". Phys. Rev. D . 72 (10): 104011, 14 pp. arXiv : gr-qc/0510001 . Código Bibliográfico :2005PhRvD..72j4011W. doi :10.1103/PhysRevD.72.104011. S2CID  119152049.
9. Hall 2013 Sección 15.4
10. Zettili, Nouredine (2009). Mecánica cuántica: conceptos y aplicaciones (2.ª ed.). Chichester: Wiley. ISBN 978-0-470-02679-3.
11. Zwiebach, Barton. "Aproximación semiclásica" (PDF) .
12. Bransden, BH; Joachain, Charles Jean (2003). Física de átomos y moléculas. Prentice Hall. pp. 140–141. ISBN 978-0-582-35692-4.
13. Hall 2013 Sección 15.5
14. Ramkarthik, MS; Pereira, Elizabeth Louis (1 de junio de 2021). "Funciones aéreas desmitificadas — II". Resonancia . 26 (6): 757–789. doi :10.1007/s12045-021-1179-z. ISSN  0973-712X.
15. Hall 2013 Sección 15.2
16. Hall 2013 Teorema 15.8
17. Hall 2013 Conclusión 15.5
18. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed. (World Scientific, 2012).
19. Weinberg, Steven (10 de septiembre de 2015). Lecciones sobre mecánica cuántica (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 204. doi :10.1017/cbo9781316276105. ISBN 978-1-107-11166-0.
20. Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47322-4.

Referencias modernas

• Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.
• Child, MS (1991). Mecánica semiclásica con aplicaciones moleculares . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Fröman, N.; Fröman, P.-O. (1965). Aproximación JWKB: contribuciones a la teoría . Ámsterdam: Holanda Septentrional.
• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Introducción a la mecánica cuántica (4.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asintótica y funciones especiales . Academic Press. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Teoría cuántica del efecto túnel . World Scientific. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, JJ (1993). Mecánica cuántica moderna . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Referencias históricas

• Carlini, Francisco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla solucion del problema di Keplero . Milán.
• Liouville, José (1837). "Sur le développement des fonctions et séries". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 : 16–35.
• Green, George (1837). "Sobre el movimiento de las olas en un canal variable de pequeña profundidad y anchura". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 6 : 457–462.
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). "Sobre la propagación de ondas a través de un medio estratificado, con especial referencia a la cuestión de la reflexión". Actas de la Royal Society A . 86 (586): 207–226. Bibcode :1912RSPSA..86..207R. doi : 10.1098/rspa.1912.0014 .
• Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium". Annalen der Physik . 47 (14): 709–736. Código bibliográfico : 1915AnP...352..709G. doi : 10.1002/andp.19153521402.
• Jeffreys, Harold (1924). "Sobre ciertas soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden". Actas de la London Mathematical Society . 23 : 428–436. doi :10.1112/plms/s2-23.1.428.
• Brillouin, León (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolución par aproximaciones sucesivas". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 183 : 24-26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik . 39 (10–11): 828–840. Código Bib : 1926ZPhy...39..828K. doi :10.1007/BF01451751. S2CID  122955156.
• Wenzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Código Bib : 1926ZPhy...38..518W. doi :10.1007/BF01397171. S2CID  120096571.

Enlaces externos

• Fitzpatrick, Richard (2002). "La aproximación WKB".(Una aplicación de la aproximación WKB a la dispersión de ondas de radio de la ionosfera).